沙漏流動過程中重力變化現象

荊世宏,李川南,胡安平,尋之朋

(中國礦業大學 a.孫越崎學院;b.物理學院,江蘇 徐州 221116)

沙漏作為時間的度量工具,在古時非常常用. 當沙漏中的沙子流動時,沙漏的重力會發生變化[1-3],如圖1所示.

圖1 沙漏中沙子流動現象

沙漏的重力發生變化,主要是內部沙粒運動使得施加在沙漏上的力發生變化所致[4-8]. 本文采用理論和實驗相結合的方法,重點對沙漏中沙子流動導致沙漏重力變化的物理現象進行詳細的研究.

1 理論分析

實驗中發現沙漏重力變化如圖2所示,沙漏重力變化過程大致可分為6個階段,分別為初始階段、重力減小階段、重力回升階段、重力穩定階段、重力上升階段和恢復原始重力階段.

1.1 初始階段

提取關鍵因素,建立如圖3所示的簡化模型. 在初始階段,內部沙子處于靜止狀態,裝置對底面的壓力為定值,稱為初始靜壓力. 此時,裝置(包括沙子和沙漏)的重力即初始靜壓力為

(1)

其中M為容器質量,mi為沙漏中第i粒沙子的質量,n為沙粒總數量,g為萬有引力常量.

圖2 沙漏重力變化實驗曲線

對于沙子,寫出質心方程

(2)

其中m為沙子總質量,yc為質心高度,yi為第i粒沙子高度.

實驗中使用的沙粒很小,故可將(2)式推廣為積分形式

(3)

式中ρ為沙子密度,S(y)為y高度時沙子整體的截面面積.

1.2 重力減小階段

(4)

顯然,此時重力小于靜止時重力,表現為失重.

圖3 初始階段示意圖 圖4 重力減小階段示意圖

1.3 重力回升階段

如圖5所示. 此時,下落的沙子對沙漏底面產生沖擊,由動量定理有

Δmv=FΔt,

(5)

即沖力的大小為

(6)

式中v為沙粒下落速度,Δm為剛好與沙漏底部接觸的沙子質量,Δt為接觸時間.

底面的壓力為

(7)

1.4 重力穩定階段

如圖6所示. 沙子穩定流動[9-12],此時的質心方程為

(8)

式中,λ為沙子的質量流密度,Sa(y)為沙漏上方沙子在y高度處的截面積,Sn(y)為沙漏下方沙子在y高度處的截面積.

沙流穩定流動時,式(8)第二項僅與沙子種類和裝置結構有關,即

(9)

其中ξ(ρ)為取決于沙子種類的函數,ζ(h,σ)為取決于沙漏高度和孔徑大小的函數.

圖5 重力回升階段示意圖 圖6 重力穩定階段示意圖

將式(8)對時間求導,得

(10)

沙子穩定流動時,顯然可以得到恒等關系，即

(11)

η為沙漏上方沙子總質量對時間的變化率. 因此式(10)可以寫為

(12)

再對時間求導,得到質心的受力方程

(13)

由于是穩定流動,故式(13)第一項為零,將其代入式(11)得到

(14)

顯然式(14)表征了沙子穩定流動時裝置對底面的壓力變化數值.

1.5 重力上升階段

如圖7所示. 在這一階段,沙漏上部分的沙子全部漏完,下部分的沙子總重力不斷增大,而滯留在空中的沙子還在持續下落，即沙子對底面的沖力持續存在，此時裝置的總重力為

(15)

顯然,此階段重力數值將逐漸增大. 而當a→n即沙子幾乎全部落完時, 重力大小應當大于靜止狀態時的壓力,差值為F.

1.6 恢復初始重力階段

如圖8所示. 此時沙子全部落下,對底面沖量歸零,沙子對裝置的壓力完全由重力提供,數值與靜止初態壓力相同,即

(16)

圖7 重力上升階段示意圖 圖8 恢復初始重力階段示意圖

值得注意的是，重力隨時間變化的過程存在2個明顯的峰：

第一個峰出現在重力回升階段與重力穩定階段之間. 重力回升階段沙子開始沖擊底面，裝置總重力迅速回升，最初始時是沙子與沙漏底面的直接碰撞，兩者之間無緩沖；而后續的沙子落在底面時，先前已經落下的沙子起到緩沖作用，因此后續的沙子沖擊底面時，底面受到的沖力要小于最初始直接碰撞時的沖力，從而產生第一個重力變化峰.

(17)

當滯留在空中的沙子全部落到沙漏底面，此時沖力F消失，裝置總重力變為(16)式. 裝置狀態從重力上升階段過渡到恢復初始重力階段. 這個過程中，裝置總重力經歷了從(15)式到(17)式再到(16)式，從而產生第二個重力變化峰.

通過上述理論分析,可以做出如下理論預測：

2) 空中滯留沙粒的質量與沙漏孔徑和沙漏高度有關.

3) 沙漏粒徑大小可決定重力穩定階段沙粒流所產生沖擊力的穩定程度.

2 實驗研究

從沙漏孔徑、沙子粒徑、漏斗高度3方面對沙漏重力變化進行了實驗研究. 所使用的測量裝置及沙漏裝置如圖9～10所示. 實驗過程用到了M400數據采集軟件、高精度電子天平以及Arduino微控制器[13]. 實驗過程中所采集到的數據為裝置質量數據,由于實驗過程中環境條件未發生變化，因此裝置重力與質量為相互對應關系.

圖9 測量裝置

圖10 實驗裝置

2.1 沙漏孔徑的影響

圖11所示為沙漏孔徑為2.43 cm,2.76 cm,3.43 cm時,沙漏重力與時間的關系曲線. 設定初始時刻為零重力參考點,從圖11中可知,3.43 cm孔徑的沙漏在重力減小階段達到極小值時，裝置對外呈現的質量為-129 g，以g=9.8 N/kg,則裝置重力為-1.264 N,而孔徑為2.76 cm和2.43 cm時裝置重力分別為0.608 N和0.412 N. 因此,沙漏孔徑越大,沙漏在重力減小階段所能達到的極小值越小;同樣，在重力上升階段,3.43 cm，2.76 cm和2.43 cm沙漏孔徑在極大值處對外呈現的重力為0.823 N，0.294 N和0.225 N. 因此,沙漏在重力上升階段所能達到的重力極大值越大;由圖11可知,沙漏在重力穩定階段的時間越短.

圖11 改變沙漏孔徑后沙漏質量與時間的關系圖

2.2 沙子粒徑

如圖12所示. 分別為2～4目、4～8目、10～20目和40～80目沙粒從沙漏落下時,沙漏重力與時間的關系曲線. 從圖12可知,沙子粒徑越大,沙子對沙漏底部的沖擊越離散,沙漏重力曲線的振蕩現象越明顯;粒徑越小,沙子對沙漏底部的沖擊越趨近連續,沙漏重力曲線越平滑.

(a)2～4目

(b)4～8目

(c)10～20目

(d)40～80目圖12 改變粒后沙漏質量與時間的關系圖

2.3 漏斗高度

如圖13～15所示,沙漏在不同高度處,下落距離與裝置重力所達到的極值成線性關系. 分別對圖14和圖15中的沙漏最大重力、最小重力與下落高度的關系曲線進行擬合，得到沙漏最小重力Gmin(N)與下落高度h(m)的關系為

Gmin=-0.99h+14.30，

(18)

沙漏最大重力Gmax與下落高度h的關系為

Gmax=0.65h+14.52.

(19)

由以上分析可知,沙子下落高度越高,離開體系的沙子(未與沙漏直接接觸的沙子)越多,沙漏所能達到的重力最小值越小,最大值越大.

圖13 改變漏斗高度后沙漏質量與時間的關系圖

圖14 沙漏最小重力與下落高度的關系

3 結 論

對沙漏中沙子流動導致沙漏重力變化進行了詳細的研究. 依據實驗曲線,將下落過程分成6個階段并對每個階段沙漏的重力進行了理論分析. 實驗研究得出以下結論:

1)沙漏孔徑越大,離開體系的沙子越多,沙漏所能達到的重力最小值越小,最大值越大,同時沙子漏下的速度越快.

2)沙子下落高度越高,離開體系的沙子越多,沙漏所能達到的重力最小值越小,最大值越大.

3)沙子粒徑越大,沙子對沙漏底部的沖擊越離散,沙漏重力曲線的振蕩現象越明顯;粒徑越小,沙子對沙漏底部的沖擊越趨近連續,沙漏重力曲線越平滑.

4)在考察的沙子粒徑范圍內,粒徑越小,沙漏的流速越快.