彎曲時空中轉(zhuǎn)動對自旋流的影響*

呂騰博 張沛 武瑞濤 王小力?

1)(西安交通大學(xué)理學(xué)院,陜西省量子信息與光電量子器件重點實驗室,西安 710049)

2)(陜西理工大學(xué)物理與電信工程學(xué)院物理系,漢中 723001)

1 引 言

近幾年來,自旋電子學(xué)和自旋軌道相互作用的研究受到廣泛關(guān)注,因為它是電子自旋流、自旋霍爾效應(yīng)或自旋電子器件的理論基礎(chǔ)[1-35].自旋電子學(xué)已經(jīng)發(fā)展成為一個跨基礎(chǔ)科學(xué)、材料科學(xué)與工業(yè)生產(chǎn)的重要領(lǐng)域.自旋霍爾效應(yīng)是由Dyakonov和Perel[9,10]在1971年預(yù)言的.根據(jù)他們的研究理論預(yù)測,自旋電子學(xué)的應(yīng)用已取得了相當(dāng)大的進(jìn)步,已經(jīng)在半導(dǎo)體和金屬中實驗觀察到了這種效應(yīng)[30-32].在該研究領(lǐng)域,人們研究了自旋霍爾效應(yīng)以及它在新型二維材料和光場中的行為[11,25].人們還研究了電子自旋的量子傳輸特性及其在技術(shù)中的應(yīng)用[33-35].一般來說,自旋流是不守恒的,由于它是非保守量,因此產(chǎn)生和控制自旋電流是一項具有挑戰(zhàn)性的任務(wù).自旋霍爾效應(yīng)是由于電子自旋而引起的異常霍爾效應(yīng)的一種形式,當(dāng)存在外加電場時,自旋方向不同的電子由于各自形成的磁場方向相反,會各自向相反的兩邊堆積.也就是說,沒有外磁場時也能產(chǎn)生一個與外加電場垂直的自旋向上的電子流和自旋向下的電子流,二者構(gòu)成一個自旋磁矩的流動,但是并沒有凈的電荷流動,稱之為自旋流.與經(jīng)典霍爾效應(yīng)相似,在自旋霍爾效應(yīng)中樣品兩側(cè)也會出現(xiàn)自旋的累積,相關(guān)的實驗已經(jīng)給出了理論預(yù)測的現(xiàn)象[1,12-14].不僅如此,自旋軌道相互作用使人們開辟了操縱非磁性材料中的電子自旋的可能性[3],由此引起了理論和實驗研究者的廣泛興趣.Matsuo等討論了晶體中電子的角動量和機(jī)械角動量之間的角動量轉(zhuǎn)換[15,20],并討論了在加速系統(tǒng)中和有雜質(zhì)散射存在時的機(jī)械操作對自旋電流的影響[22-24].Kobayashi等[25]討論了利用表面聲波注入產(chǎn)生自旋電流.文獻(xiàn)[28]首次通過推廣的Drude模型研究了非對易空間上的自旋霍爾效應(yīng),并且發(fā)現(xiàn)在非對易空間中,樣品邊緣會發(fā)生自旋態(tài)的變形累積,自旋霍爾電導(dǎo)率在不同的方向上會取不同的值,主要取決于非對易參數(shù).文獻(xiàn)[29]討論了宇宙弦時空中旋轉(zhuǎn)框架的非慣性效應(yīng)對狄拉克振子的影響,并證明了非慣性效應(yīng)和宇宙弦時空中的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)限制了粒子運動的區(qū)域.文獻(xiàn)[8]討論了加速系下慣性效應(yīng)對狄拉克電子、自旋霍爾效應(yīng)和動量空間Berry曲率的影響.這些工作都為帶電旋量粒子的電磁動力學(xué)理論做出了貢獻(xiàn).不僅如此,光子的自旋軌道相互作用和霍爾效應(yīng)也成為了近期研究的熱點問題.文獻(xiàn)[36]詳細(xì)介紹了光的自旋霍爾效應(yīng)的研究進(jìn)展,光的自旋霍爾效應(yīng)為我們展現(xiàn)了探索納米結(jié)構(gòu)物理性質(zhì)的獨特魅力,為控制光子自旋態(tài)和開發(fā)新型光子霍爾元件提供了捷徑,而且實驗上已經(jīng)實現(xiàn)了光子自旋霍爾效應(yīng)用于量子測量等[37-43].

本文的重點在于給出了非平庸幾何可以改變自旋和軌道之間相互作用的結(jié)論,能夠?qū)澢鷷r空旋量粒子電磁動力學(xué)問題的研究提供一定的理論支持,同時也可以對晶體中缺陷問題的研究提供重要的理論幫助.本文利用推廣的Drude模型,研究了宇宙弦時空中在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系下非慣性效應(yīng)對自旋流的影響.本文的內(nèi)容安排如下：第2節(jié)回顧了彎曲時空中的自旋動力學(xué);第3節(jié)討論了彎曲時空中轉(zhuǎn)動對自旋電流和自旋霍爾電導(dǎo)率的影響,通過計算表明,在彎曲時空中由于轉(zhuǎn)動的效應(yīng)而導(dǎo)致偏振矢量的變形,自旋流的大小和方向都會因為轉(zhuǎn)動而發(fā)生改變,因而自旋霍爾電導(dǎo)率也會隨之得到修正;第4節(jié)給出結(jié)論.

2 彎曲時空的自旋動力學(xué)

本文回顧了彎曲時空中自旋為1/2的粒子在電磁場中的電磁動力學(xué).在這種情況下,狄拉克方程擴(kuò)展為如下一般的協(xié)變形式：

其中q為電荷;m為質(zhì)量;c為光速;pμ為四維形式的動量;Aμ為電磁場的標(biāo)準(zhǔn)電勢;Γμ(x)為旋量聯(lián)絡(luò);(x)為彎曲時空中坐標(biāo)依賴克利福德代數(shù)的元素,并且滿足這里gμν(x)是 存在拓?fù)淙毕輹r的時空度規(guī),指標(biāo)μ,ν表示時空指數(shù).一般時空的線元由下式給出：

度規(guī)也可以寫成如下形式：

這里?μ=?μ+Γμ是由時空背景幾何決定的協(xié)變導(dǎo)數(shù);ωμab(x)有 如下關(guān)系：ωab(x)=ωμab(x)dxμ.根據(jù)(1)式,可以得到狄拉克哈密頓函數(shù),

其中β=γ0,αi=γ0γi,π=p-qA/c是物質(zhì)粒子的機(jī)械動量.為了方便計算,本文引入旋轉(zhuǎn)矩陣?,

此外,(5)式中的二階項α·?·π已被忽略.與普通狄拉克哈密頓算子相比,還有三個附加項.Γ0可看作電勢,但在本文中Γ0=0,對本文研究不產(chǎn)生影響.α·Γ直接來自類似最小相互作用的自旋聯(lián)絡(luò),并且表現(xiàn)得像一個隱藏動量,它可以產(chǎn)生一個幾何相位.cα·?·π是由時空幾何結(jié)構(gòu)引起,由gμν(x)決 定.從這個意義上說,它代表了對α和 π之間普通內(nèi)積的修正.

根據(jù)文獻(xiàn)[26,27],通過使用Foldy-Wouthuysen(FW)變換,研究了在存在拓?fù)淙毕莸那闆r下對旋量動力學(xué)的非相對論方法,

第一個項和最后一項分別是具有最小耦合類型和變形Darwin項修正的運動學(xué)部分.第二、三項分別描述了塞曼和自旋軌道相互作用,表達(dá)式分別為

其中σ為泡利算符;Bs=(?×Γ)/q和Bm=c[?×(?·π)]/q是直接由旋量Γ產(chǎn)生的有效磁場,而?·π是一個間接表示時空幾何的項;有效電場分別 定 義 為Es=-?Γ0/q和Em=-? ·?V.Hso中的第一項描述了普通的自旋軌道相互作用,并且在參考文獻(xiàn)[16—18]中討論了可以產(chǎn)生非平庸的自旋電流.接下來的兩項與塞曼耦合HZ中的附加項有關(guān),它們描述了有效的自旋軌道相互作用,預(yù)計會產(chǎn)生額外的自旋電流,這些將在以后再進(jìn)行深入討論.本文只討論與自旋軌道相互作用相關(guān)的哈密頓量

其中E′=-(I-?)·?V(r)表示由于時空的非平凡幾何形狀而引起的總電勢V(r)的變形.(10)式是彎曲時空中自旋軌道相互作用的一般形式.

為了討論這種相互作用的動力學(xué)結(jié)果,本文假定以一般的海森伯方程為序是正確的.然后,利用海森伯代數(shù)的正則共軛變量r和p,有

(11)式中的第三項是彎曲時空中電子磁矩與有效電場的叉積.于是有

將(13)和(14)式代入(12)式中,可以得到具有牛頓第二定律形式的變量r的電荷載體動力學(xué)方程：

這里一般的洛倫茲力F(q)有一個修正,它取決于自由度F′(σ).它由兩部分組成：由一般的自旋軌道相互作用產(chǎn)生的F(σ),

由于存在拓?fù)淙毕荻鴮?dǎo)致的Fcs(σ),

這里忽略了與 1 /c4成比例的項.更有趣的是,(15)式中總的力相當(dāng)于洛倫茲力

電荷為q粒子受電場E=-?V(r)和磁場的作用,磁場為

其中

由上述分析,哈密頓量可以寫成如下形式：

通過求解(15)式,可以得到自旋電流的普遍表達(dá)式.此方案是利用推廣的Drude模型[16,29],將自旋軌道相互作用納入電荷載體的動力學(xué)中.該模型能夠得到獨立于散射機(jī)制的自旋霍爾電導(dǎo)的通用表達(dá)式,可以清楚地看到拓?fù)淙毕輰ψ孕娏骱妥孕魻栯妼?dǎo)的影響.

3 轉(zhuǎn)動效應(yīng)影響的自旋流和自旋霍爾電導(dǎo)率

先介紹與宇宙弦時空相對應(yīng)的廣義相對論背景.宇宙弦時空中的線元由下式給出：

參數(shù)η可定義為η=1-4λG/c2,其中λ是宇宙弦的線性質(zhì)量密度.現(xiàn)在做一個坐標(biāo)變換,T=t,R=ρ,Φ=φ+ωt和Z=z,其中ω是轉(zhuǎn)動框架的恒定角速度.由此,(23)式變?yōu)?/p>

注意到(24)式是在范圍為ρ的徑向坐標(biāo)值內(nèi)定義的,其中

(3)式中定義的四元組在這里應(yīng)該為

其中,定義β=ωηρ,a=(t,x,y,z),μ=(t,ρ,φ,z).當(dāng)取極限η→1 中恢復(fù)平滑時空.由(6)式能夠得到相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣是

第2節(jié)中回顧了一般彎曲時空中的自旋動力學(xué)問題.通過(15)式,可以看到方程的通解是一個與自旋有關(guān)的力.在本節(jié)中求解該方程,并討論它的含義.本文采用與散射機(jī)制無關(guān)的推廣的Drude模型來求解這個方程.值得注意的是總電勢V(r)是 外部電勢Ve(r)和 晶格電勢Vl(r)的總和.而且,速度的弛豫時間τ由實驗可以給出.本文假設(shè)直到一級近似,電荷載流子的速度弛豫時間τ與自旋極化無關(guān).然后,利用微擾的方法求解方程.(15)式可以寫成下面的形式：

其中r0是自旋無關(guān)部分的解,

r1是自旋和轉(zhuǎn)動有關(guān)的解.對于一個恒定的外電場E=-?Ve(r),可以得到r1的微擾解,

對于立方晶格,所允許的唯一對稱不變量為

在文獻(xiàn)[16]中,已經(jīng)確定了常數(shù)χ.本文計算中,(30)式包含了靜電晶體電勢的體積平均值?i?jVl(r)和 矩陣的導(dǎo)數(shù)?ik.由于觀察到真實時空沒有偏離平滑時空,忽略了包含?ik導(dǎo)數(shù)部分的貢獻(xiàn),得到

下面僅討論坐標(biāo)架轉(zhuǎn)速很小的情況,即ω→0時,β →0,忽略β的高階項,(33)式可近似為

對于密度矩陣描述的極化電荷載體

其中ρ是電流的電荷總濃度,而λ是電子流體的自旋極化矢量.自旋流可以通過將速度與密度矩陣進(jìn)行卷積得到,因此有

自旋霍爾電導(dǎo)率由下式給出：

并且變形的偏振矢量為

其中 和 是方向夾角.得到

從以上分析可以看到,由于存在轉(zhuǎn)動慣性效應(yīng),不僅使得自旋電流的大小和方向發(fā)生了變化,而且自旋霍爾電導(dǎo)率也得到了修正,同時偏振矢量也發(fā)生了變形,對于實驗靈敏度δθ～10-3來說,可以在納米尺度系統(tǒng)中研究 1 0-12量級上的物理效應(yīng).文獻(xiàn)[23,29]中給出了宇宙弦的存在對自旋霍爾電導(dǎo)率有重要貢獻(xiàn),其數(shù)量級為λG/c2.與文獻(xiàn)[16]中的普通結(jié)果相比較,由于慣性效應(yīng)使得自旋霍爾電導(dǎo)率有一個附加項,見(37)式,使得自旋霍爾電導(dǎo)率得到了有效修正.

4 結(jié) 論

量子自旋霍爾效應(yīng)的本質(zhì)是自旋軌道相互作用.自旋動力學(xué)由Pauli-Schr?dinger哈密頓量給出,從中可得到帶電粒子的運動方程.Pauli-Schr?dinger哈密頓量利用Foldy-Wouthuysen變換可以得到,該變換給出了自旋為1/2的非相對論粒子在電磁場中運動的信息.在存在拓?fù)淙毕萸闆r下,可以通過(7)式看到哈密頓量會出現(xiàn)一些一般結(jié)論沒有的附加項,包括塞曼耦合與自旋軌道耦合的修正等,這些附加項描述了在平滑時空中自旋和電磁場的有效相互作用.這些相互作用的結(jié)果是通過位置算符在量子力學(xué)中的牛頓方程的比喻得到.此外,除了普通的洛倫茲力以外,還存在類似洛倫茲力的力,這個力就是自旋電流和自旋霍爾電導(dǎo)率存在修正的原因.基于推廣的Drude模型,本文將運動方程通過微擾方法求解,與普通結(jié)果相比,彎曲時空中轉(zhuǎn)動對自旋電流和自旋霍爾電導(dǎo)率都產(chǎn)生了影響.由于存在慣性效應(yīng),宇宙弦產(chǎn)生的力會使得自旋電流的大小和方向都會發(fā)生改變,見(37)和(41)式,相比參考文獻(xiàn)[16]中的普通結(jié)果,自旋霍爾電導(dǎo)率由于轉(zhuǎn)動產(chǎn)生了一個附加項,對于實驗靈敏度δθ～10-3來說,本文可在納米尺度系統(tǒng)中研究 1 0-12量級上的物理效應(yīng).本文采用的是不依賴于模型的一般方法,所以該結(jié)果能夠被用于量子霍爾系統(tǒng)中帶電旋量粒子的電磁動力學(xué)問題.由于彎曲時空理論還可以分析晶體中的缺陷問題,所以本文結(jié)論也可以提供幫助.本文結(jié)論還可以推廣到光子系統(tǒng)中,考慮到光子的自旋,由于光子的自旋軌道耦合,會在非均勻介質(zhì)中產(chǎn)生分光現(xiàn)象,就造成了光子的自旋霍爾效應(yīng).本文討論對于研究光子自旋霍爾效應(yīng)在靜態(tài)引力場中的行為有一定的參考價值,同時對于光子自旋霍爾效應(yīng)的應(yīng)用和利用光學(xué)芯片模擬彎曲時空、光子操控和精密測量方面,文獻(xiàn)[37—45]已經(jīng)在實驗上成功實現(xiàn),希望本文討論能夠給予一定的理論支持.