一種小樣本下的方向圖副瓣控制算法

王 奇， 葛俊祥， 沈肖雅， 王 坡

(1.江蘇省氣象探測與信息處理重點實驗室， 江蘇南京 210044；2.江蘇省氣象傳感網(wǎng)技術(shù)工程中心， 江蘇南京 210044；3.南京信息工程大學(xué)雷達技術(shù)研究所， 江蘇南京 210044)

0 引言

在空間陣列信號處理中，常規(guī)算法通過最優(yōu)準(zhǔn)則計算得出的陣列權(quán)矢量對輸入信號進行加權(quán)處理，這樣可以零陷干擾，但副瓣電平一般較高。實際工程應(yīng)用中，陣列權(quán)矢量的計算需要一定的時間才能使空間陣列權(quán)矢量調(diào)整到新的最優(yōu)狀態(tài)。在新的權(quán)量形成之前，干擾環(huán)境變化很快時，新出現(xiàn)的干擾方向不能形成有效的零陷，從而影響接收性能。解決的方法是將對方向圖進行低副瓣控制，這樣就降低了突變干擾對空間陣列輸出方向圖的性能影響，這就是方向圖控制(Pattern Control, PC)。另一方面，一些算法在采樣數(shù)較少即小樣本條件下性能急劇下降，出現(xiàn)主峰可能偏移、整體旁瓣上升和波束波動較大的情況，這時低副瓣的控制方法也將失效，所以解決陣列輸出方向圖副瓣較高問題的同時進行小樣本量處理是非常有意義的。控制副瓣電平的方法有二階錐規(guī)劃(Second-Order Cone Program, SOCP)、旁瓣搜索及加窗等。文獻[1-3]將多約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃求解以降低副瓣電平，但求解條件多，比較復(fù)雜。文獻[4]通過采用對子陣級噪聲歸一化的方法改善了面陣非均勻劃分結(jié)構(gòu)的旁瓣電平，但沒有對低采樣下的算法進行分析。另一種方法是加窗，即幅度加權(quán)，如Chebyshev和Taylor加權(quán)，詳細的推導(dǎo)可見文獻[5]。這些降低副瓣電平的算法在小樣本下會失效，輸出方向圖副瓣電平會很高。基于對角加載的波束形成算法[6]通過對相關(guān)矩陣特征值加載一個值來解決低采樣下的方向圖畸變問題，但具體加載量不好確定。文獻[7]對常規(guī)算法的協(xié)方差矩陣進行修正，在低快拍情況下得到了穩(wěn)健的波束形成方向圖。特征干擾相消器(Eigencanceler, EC)最早由文獻[8]提出，通過直接約束在干擾特征向量方向產(chǎn)生零陷，使得零陷深度獨立于干擾噪聲比，從而使干擾抑制能力加強[9-10]。EC不僅可以增強干擾抑制能力，還能使陣列權(quán)矢量位于噪聲子空間，這樣波束形成器輸出方向圖在小樣本下也很穩(wěn)定。上述幾種降低樣本量的方法得到的方向圖副瓣電平都比較高。

本文基于MVDR算法，提出一種小樣本下的方向圖副瓣控制算法。該算法將常規(guī)算法輸出方向圖低副瓣控制和小樣本處理方法相結(jié)合，得到的輸出方向圖在小樣本情況下，期望信號方向增益最大，在干擾方向形成較深零陷的同時具有設(shè)定的低副瓣電平，下面將給出詳細公式推導(dǎo)過程，并進行仿真實驗驗證。

1 信號模型及新的波束形成器

1.1 算法流程圖

如圖1所示，本文先將MVDR算法分別進行低副瓣和小樣本量處理，然后將兩者結(jié)合得到新的具有低副瓣、低采樣特性的MVDR算法，即DREC-PC。具體詳細推導(dǎo)過程和理論分析見1.2節(jié)和1.3節(jié)，并對MVDR和DREC-PC算法進行了小樣本和低干噪比下的仿真，結(jié)果表明DREC-PC算法在小樣本下也具有良好的波束形成性能。

圖1 算法流程圖

1.2 低副瓣MVDR波束形成器(MVDR-PC)

考慮陣列為N元等距直線陣，陣元間距d，波長λ，假設(shè)陣元均為各向同性陣元。1個目標(biāo)信號和M個干擾從遠場以平面波入射到陣列上，目標(biāo)信號方向為θ0，則陣列接收數(shù)據(jù)矢量X(k)可表示為

X(k)=AS(k)+N(k)

(1)

式中，A為陣列流形矩陣，A=[a(θ0),a(θ1),…,a(θM)]，a(θj)=[1,ejβj,…,ej(N-1)βj]T，j=0,1,…,M，為j個方向信號的導(dǎo)向矢量，且

(2)

S0(k)為目標(biāo)信號向量，S(k)=[s0(k),s1(k),…,sM(k)]，N(k)為線陣陣元噪聲向量，陣列協(xié)方差矩陣RX=E[X(k)XH(k)]。空間陣列處理的直接形式如圖2所示，圖中y(k)為空間陣列輸出。

圖2 空間陣列處理的直接形式

MVDR波束形成器在期望信號方向接收最大，單位約束增益為1，且干擾和噪聲輸出功率最小。MVDR波束形成器的準(zhǔn)則為

(3)

可由拉格朗日法求解式(1)，經(jīng)整理得到

(4)

MVDR波束形成器輸出方向圖副瓣電平的降低可以通過加窗方法實現(xiàn)。隨著使空間陣列單元的幅值成錐形減弱，旁瓣電平也會進一步減少，現(xiàn)在使用錐化截取矢量W0，W0采用Dolph-Chebyshev加權(quán)加窗，加窗后的期望信號方向矢量為

aT(θ0)=W0⊙a(θ0)

(5)

式中，⊙表示兩個矢量的元素與元素之間相乘。用式(5)中的aT(θ0)代替式(4)中的a(θ0)，將加窗方法應(yīng)用到空間陣列中，得到低旁瓣MVDR波束形成器的權(quán)值

(6)

1.3 小樣本下的方向圖副瓣控制算法(DREC-PC)

雖然已經(jīng)對MVDR波束形成器進行了低副瓣處理，但在小樣本情況下，輸出方向圖會出現(xiàn)畸變，旁瓣電平偏高，下面通過特征干擾相消器解決這一問題。

特征干擾相消器直接在干擾特征向量方向建立零陷約束，這樣空間陣列權(quán)矢量只位于噪聲子空間，可以在一個波束寬度內(nèi)產(chǎn)生多個零陷(即所謂“超對消”)，優(yōu)點是減小噪聲的不穩(wěn)定對方向圖形成的影響的同時，零陷深度獨立于干擾噪聲比，從而使干擾抑制能力在小樣本數(shù)下得到加強。對應(yīng)MVDR算法，特征干擾相消器可稱為無失真響應(yīng)特征干擾相消器(DREC)。

DREC的準(zhǔn)則為

(7)

將式(3)與式(7)相比較，可以看出式(3)中抑制干擾的自由度轉(zhuǎn)化為式(7)中的約束自由度，剩余的自由度使空間陣列權(quán)矢量的模最小，即高斯白噪聲增益最小。

由拉格朗日法求得式(7)的解為

(8)

(9)

本文將上述處理方法應(yīng)用到低副瓣MVDR波束形成器中，通過將式(5)中的aT(θ0)代替式(9)中的a(θ0)，得到一種小樣本下的方向圖副瓣控制算法，權(quán)值為

(10)

1.4 算法計算量分析

表1列出了各個算法的權(quán)值求解運算量情況。因為常規(guī)的MVDR和低副瓣加權(quán)的MVDR算法權(quán)值需要求陣列相關(guān)矩陣的可逆，所以相對文中提出的DREC-PC算法運算量較多，DREC-PC算法有相對較少的運算量。

表1 各算法運算量對比

2 仿真實驗分析

取N=16元等距線陣，陣元間距為半波長，目標(biāo)信號方向為30°，干擾方向角度為-40°和50°，干擾間互不相關(guān)，W0采用-30 dB的Chebyshev低副瓣加權(quán)，干噪比為3 dB。

2.1 低副瓣MVDR波束形成器輸出方向圖

實驗1方向圖采用副瓣為-30 dB的Chebyshev加權(quán)。樣本數(shù)取為3 000N時，圖3(a)比較了常規(guī)MVDR和MVDR-PC方法的波束形成器輸出方向圖。從圖3(a)可以看出，常規(guī)MVDR雖然在干擾方向產(chǎn)生零陷，但方向圖的副瓣較高。而MVDR-PC方法在形成所要求零陷干擾的同時，較好地擬合了-30 dB的Chebyshev低副瓣特性，滿足設(shè)計需要。

相同條件下樣本數(shù)1.5N時兩種算法的波束形成器輸出方向圖如圖3(b)所示。MVDR和MVDR-PC波束形成器的輸出方向圖在干擾方向形成零陷，但整體副瓣起伏很大，電平較高，可見較少的采樣次數(shù)對其輸出方向圖影響很大，這些原因是低采樣數(shù)下式(2)和式(4)協(xié)方差矩陣中噪聲子空間對應(yīng)的特征值發(fā)生抖動，造成協(xié)方差陣的估計值與實際有偏差。

(a) 樣本數(shù)3 000N

(b) 樣本數(shù)1.5N圖3 MVDR和MVDR-PC波束形成方向圖

2.2 基于MVDR小樣本下的方向圖副瓣控制算法

為了解決MVDR算法在小樣本條件下，輸出方向圖出現(xiàn)的畸變、旁瓣電平過高和主瓣方向可能出現(xiàn)的偏移問題，本文提出基于最小方差無失真響應(yīng)(MVDR)將低副瓣加權(quán)和EC相結(jié)合的方法，即一種小樣本下的方向圖副瓣控制算法(DREC-PC)，條件與上面相同，用-30 dB的Chebyshev低副瓣加權(quán)和特征干擾相消器的小樣本處理方法來處理期望信號方向為30°，干擾角度為-40°和50°，干噪比為3 dB。

實驗2圖4(a)和圖4(b)分別給出了大樣本和小樣本時MVDR-PC和DREC-PC的波束形成輸出方向圖。

(a) 樣本數(shù)3 000N

(b) 樣本數(shù)1.5N圖4 MVDR-PC和DREC-PC波束形成方向圖

圖4(a)和圖4(b)分別給出了高低采樣數(shù)時MVDR-PC和DREC-PC算法的輸出方向圖，從 圖4(a)可以看出，采樣數(shù)為3 000N時，DREC-PC和MVDR-PC波束形成方向圖較吻合，都有在-35°和40°干擾處形成零陷和-30 dB的低副瓣特征，這也初步驗證了低副瓣加權(quán)和EC相結(jié)合的方法的正確性。從圖4(b)可以看出，采樣數(shù)為1.5N時，MVDR-PC方向圖雖然在兩個干擾處形成零陷，但副瓣區(qū)出現(xiàn)不同程度的起伏，副瓣電平偏高，主波束形成方向也發(fā)生了偏移，兩種方法相結(jié)合的DREC-PC方向圖在小樣本量下，副瓣電平較擬合設(shè)定的 -30 dB，整個副瓣區(qū)電平值很穩(wěn)定，主波束形成方向沒有發(fā)生偏移，由于干擾置零的作用，在-35°和40°附近出現(xiàn)個別電平值大于-30 dB的現(xiàn)象，但這不想影響整體的效果，在可接受范圍內(nèi)。

在相同的小樣本量下，圖5為在干擾-40°方向時MVDR-PC和DREC-PC算法的干擾零陷深度絕對值隨干噪比的變化曲線。從圖中可以看出，本文提出的DREC-PC算法對干擾的零陷深度在干噪比0 dB到10 dB都比MVDR-PC算法高，而且方向圖如圖4(b)所示很穩(wěn)定，干噪比10 dB以后兩種零陷深度將非常接近。

圖5 零陷深度隨干噪比的變化曲線

小樣本量的處理可能會帶來改進后的算法輸出信干噪比的下降，特別是在常規(guī)算法的波束形成需要的樣本量很大的情況下；因為對MVDR算法進行了低副瓣處理，所以波束寬度也有一定展寬。

3 結(jié)束語

本文提出一種小樣本下的方向圖副瓣控制算法(DREC-PC)。基于MVDR波束形成器，采用的低副瓣加權(quán)方法可以在大樣本量下實現(xiàn)低的副瓣，但樣本較多；在MVDR波束形成器加入特征干擾相消器可以解決小樣本下方向圖電平值的不穩(wěn)定問題，但副瓣電平偏高。本文的算法將MVDR波束形成器的低副瓣加權(quán)方法和小樣本解決方法相結(jié)合，在小樣本條件下，所得到的方向圖可以有效抑制干擾和保持方向圖穩(wěn)定，具有預(yù)先設(shè)置低副瓣電平。