矩陣在各種變換下的不變量及其運用分析

黃瑞芳

摘? 要：目前，矩陣較為常見的變換主要有初等變換、合同變換與相似變換，各種變換均具備自身所獨有的特點，伴隨矩陣變化的不斷發展，其在各行各業中有著較為廣泛的運用。在矩陣最初的變換中，不僅存在著矩陣有關內容的轉變，同時還有著由各個領域中所提煉出的和矩陣相關的概念。該文就矩陣在各種變換下的不變量及其運用進行深入的分析。

關鍵詞：矩陣? 不變量? 運用

中圖分類號：G64? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1672-3791（2019）03（c）-0211-02

1? 矩陣初等變換

1.1 定義

以下從3個不同的方面分析初等變換的定義：

（1）兩行互換（記作：ri←→rj）;

（2）將k（k≠0）與某行相乘（記作：ri×k）;

（3）將某行的k倍與另一行相加（記作：ri+krj）。

1.2 應用

求矩陣的秩。

常見格式：將m×n矩陣經過一系列的初等變化以產生階梯形矩陣行階梯型矩陣B，其中，B中非零行數，即A的秩，記為r（A）。

例1：求解矩陣的秩。

解：由

可得：A當中包含了2個非零行，因此，r（A）=2。

2? 矩陣合同變換

2.1 定義

以下從3個不同的方面分析合同變換的定義：

（1）兩行相互交換（記作：ri←→rj），并且兩列相互交換（記作：ci←→cj）;

（2）將（k≠0）與某行相乘（記作：ri×k），并且將（k≠0）與某列相乘（記作：ci×k）;

（3）將某行的k倍與另一行相加（記ri×krj），并且將某列的k倍與另一列相加（記作：ci×kcj）。

2.2 合同變換的性質

引理1 若實對稱矩陣A和B的正負慣性指標一致，則Sc（A1B）為群。

證明：針對全部的P1∈Sc（A，B），P2∈Sc（A，B），都有C1∈S0（A，B），C2∈S0（A，B），使P1=c-1c1，P2=c-1c2。

可得：

假設P∈Sc（A，B），存在C1∈S0（A，B），使得P=c-1c1;

P-1=c-1c=c-1（cc1-1c），因（cc1-1）1A（cc1-1c）=c1（c1-1）c1A（cc1-1c=c1（c1-1）Bc1-1c=c1Ac=B，

則cc1-1c∈S0（A，B），所以c1-1c∈Sc（A，B），即P-1∈Sc（A，B），

綜上，Sc（A，B）成群。

引理2 若實對稱矩陣A和B的正負慣性指標一致，則Sc（A，B）可記作：

證明：

。

3? 矩陣相似變換

以下幾種情況可以視作矩陣的相似變換：

（1）對調A的i、j兩行得到A1，再對調A1的i、j兩列得到A2。

（2）以a（a≠0）與A的第i行相乘得到A1，再用與A1的第i列相乘得到A2。

（3）以a（a≠0）乘以A的第i行加到A的第j行的對應元素上得到A1，再-a（a≠0）用乘以A1的第j列加到A1第i列的對應元素上得到A2。

在實數區間內，全部的n階對稱矩陣均A能夠由相似變

換而形成規范形，即存在Q，使，其

間λ1，λ2，...，λn是A的所有特征值。

參考文獻

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