一類退化拋物型方程組解的漸近性質

覃思乾,周澤文,凌征球

( 玉林師范學院數學與統計學院,廣西 玉林537000)

1.簡介

本文研究下列退化的拋物型方程組解的漸近性質，并專注于討論方程組解的整體存在與爆破的條件:

其中?是中具有光滑邊界??的一個有界區域,u0(x),v0(x)是非負的有界函數,

方程(1.1)-(1.2)組成一個反應擴散系統的簡單例子,可用于描述化學反應、熱傳導以及種群動力系統等過程的數學模型.最近,出現了許多非線性拋物方程組解的漸近性質問題的研究成果,如DENG[1],楊婕[2],雷學紅[3]，王文海[4],凌征球[5]等,他們通過使用不同的方法與手段,討論各種退化拋物型方程組解的性質。特別,周澤文[6]研究了p1=q1=1,p2=q2=1時方程組(1.1)-(1.2)的情況,借助于正則化技術與上下解方法,給出了方程組解的局部存在性,整體存在與爆破條件.受以上文獻思想啟發,本文在更一般的情況下討論方程組(1.1)-(1.2)的解的漸近性質,主要目的是要擴展文[6]的結果,而且給出有別于文[6]的方法得到了方程組解的整體存在與爆破的條件.

首先,當初值u0(x),v0(x)非負且具有緊支集和滿足適當相容性條件的光滑函數時,使用文[1]的方法,我們可以建立最大值原理與比較原理,而且通過正則化手段,還可以得到下列解的局部存在性定理:

定理1假設則存在使得對于任意的T

這里我們省略上述的細節而專注于討論解的性質.對于定理1的T?,如果T?<+∞,我們稱方程組的解(u(x,t),v(x,t))在有限時刻爆破,否則稱解是整體存在的.

2.解的整體存在定理及證明

定理2如果下列的條件之一成立:

(i)m>pp1,n>qq2,

(ii)m>pp1,n>qq2,以及區域(|?|)充分小;

(iii)m > pp1,n > qq2,或m ≤pp1或n ≤qq2,以及初值數據u0(x),v0(x)充分小.

那么,問題(1.1)-(1.4)的每個非負解都具……