二維時間分數階擴散方程的Hermite型矩形元的超收斂分析

王萍莉,牛裕琪,趙艷敏,王芬玲,史艷華

(許昌學院數學與統計學院,河南 許昌461000)

1.引言

本文考慮如下二維時間分數階擴散方程(TFDE)

其中? ?R2是x-y平面上具有Lipschitz連續邊界??的有界凸區域,u0(x,y)和f(x,y,t)是給定的適當光滑函數,為Caputo導數,其定義如下

其中Γ(·)是Gamma函數.

分數階偏微分方程(FPDEs)是傳統模型的擴展,基于分數微積分的定義發展起來的，因而根據定義的方式通常分為時間分數階,空間分數階及時空分數階偏微分方程.隨著FPDEs的不斷發展,可以發現其在越來越多的領域內均有重要的應用[1?4],故而人們對其日益重視.從分數階導數的定義知道其具有非局部性質,因而相對于整數階方程來說,分數階偏微分方程在聲波衰減,物質記憶及遺傳性質,連續時間隨機游走過程等方面具有更明顯的優勢.但對于大多數FPDEs來說,尋找它們的解析解比較困難,因而尋找其有效的數值求解方法成了眾多學者研究的熱點之一.針對時間分數階偏微分方程(TFPDEs)的數值方法大致分為直接數值算法和間接數值算法.早期關于TFPDEs的處理常常采用間接方法,將其轉化為積分微分方程進行求解[5?6].直接方法是對時間分數階導數進行直接逼近的數值方法[7?9],由于直接方法實施起來較直接簡便,因而深受研究者的關注,其中最常見的一種格式即為L1逼近方法.

關于TFPDEs人們研究了多種數值求解方法,如文[1,8,10-11]中考慮了其有限差分方法,文[12-13]中采用了譜方法,文[15-21]考慮了其有限元方法,除此之外還有許多其他……