HilbertC?-模中K-框架的對偶性

相中啟,石黃萍

(上饒師范學院數學與計算機科學學院,江西 上饒334001)

1.引言

Hilbert空間中框架(經典框架)概念的出現可以追溯到上世紀50年代[1],當時它被用來處理非調和Fourier數中的一些深刻問題.1986年,Daubechies等[2]重新引入并進一步發展了框架理論,他們的開創性工作使得沉寂了30多年的框架理論再次進入人們的視野并引起了廣泛關注.因許多好的性質,目前框架已在理論和應用領域中發揮著重要的作用,更多詳情參看文[3-9].在研究算子的原子分解時,G?avrut?a[10]引入了K-框架的概念.由文[11-14]可知,盡管K-框架是框架的推廣,但是由于有界線性算子K的制約,其性質幾乎完全不同于框架.

最近,K-框架的概念被推廣到了HilbertC?-模中[15?16].雖然HilbertC?-模是Hilbert空間的一般化,但是由于二者之間的一些本質差異(比如HilbertC?-模中的閉子模未必正交可補;其上存在不可伴的有界算子,等),HilbertC?-模上的C?-代數的復雜性以及Hilbert空間中的一些有用的技巧不再適用于HilbertC?-模,致使HilbertC?-模中的K-框架問題要比Hilbert空間情形復雜很多,所以K-框架理論由Hilbert空間到HilbertC?-模的推廣工作并非平凡.

由于框架算子一般不可逆,所以HilbertC?-模中的K-框架沒有經典的典范對偶,這導致其對偶性問題研究起來相當困難,關于這方面的成果很少.本文從新的角度刻畫了HilbertC?-模中K-框架的對偶性.首先給出HilbertC?-模中的序列成為給定K-框架的K-對偶Bessel序列的充分必要條件; 其次得到K-對偶Bessel序列的等價條件,使得K-框架及由其K-對偶Bessel序列誘導的Bessel序列可以在一個閉子模上交換位置; 最后給出條件……