一類具有記憶項(xiàng)的耦合方程組的全局吸引子

張利媛,任永華

( 太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 榆次030600)

1.引言

本文研究了方程組

在邊界條件

及初始條件

下,其全局吸引子的存在性.

關(guān)于方程的全局吸引子的相關(guān)研究有很多,早在19世紀(jì),Kirchhoff[1]建立了如下模型方程

用來(lái)描述彈性桿橫截面運(yùn)動(dòng),之后許多學(xué)者研究了此方程的初邊值問(wèn)題,得到了整體解的存在性或不存在性.Park[2]研究了具有記憶項(xiàng)的Euler-Bernoulli梁方程

在滿足一定條件下解的存在性和衰減性,之后許多學(xué)者考慮了此類方程的全局吸引子的存在性.在文獻(xiàn)中,還有有很多關(guān)于熱彈性梁、板方程的研究[4?6],本文在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,討論非線性問(wèn)題(1.1)-(1.3)全局解的漸近行為,首先我們討論全局解的存在性和唯一性,然后通過(guò)證明系統(tǒng)吸收集的存在性和半群S(t)的漸近緊性,證明方程組的全局吸引子的存在性.

2.定義及基本假設(shè)

Mμ=L2μ(R+;H20(?)),為實(shí)值函數(shù)空間,范數(shù)與內(nèi)積為

假設(shè)2.1(函數(shù)N(z)=(ζ)dζ的假設(shè))首先,我們假設(shè)

a) 若|ux|2

b) 若|ux|2< L,存在常數(shù)>0 使得其中

由于對(duì)一些L >0,有M(v)∈Cm+2(?),?A=suptmax0≤α≤|ux|2M(α),根據(jù)a),b),我們有下列不等式

假設(shè)2.2(函數(shù)f,g的假設(shè))f(u)和g(ut)的形式分別為

f,g: R→R,f,g ∈C1(R),f(0)=g(0)=0,且存在常數(shù)p,p1,p2,p3>0,L0,L1>0 使得?u,v ∈R,|f′(u)|≤p(1+|u|ρ),g′(u)≥0 并且

假設(shè)2.3(記憶項(xiàng)μ的假設(shè))?s ∈R+使得μ(0)≥0,μ′(s)≤0,μ′(s)+δμ(s)≤0,δ >0.

3.適定性

顯然,問(wèn)題(1.1)-(1.3)的系統(tǒng)不是自治的,我們定義一個(gè)新的變量η=ηt(x,s)=θ(x,t)?θ(x,t ?s),(x,s)∈?×R+,t ≥0 則有ηt+ηs=θt.

則我們可得到下面的新系統(tǒng)

邊界條件

及初始條件

我們的分析基于以下的Sobolev空間?=H20(?)×L2(?)×L2(?)×L2μ(R+;H20(?)),范數(shù)為|其中||·||p表示Lp范數(shù).

定理3.1設(shè)假設(shè)2.1-2.3成立,若初始值(u0,u1,θ0,η0)∈?1=H4(?)∩H20(?)×H20(?)×H20(?)×L2μ(R+;H4(?)∩H20(?)),系統(tǒng)(3.2)-(3.4)有唯一強(qiáng)解(u,ut,θ,η)滿足

定理3.2在定理3.1的條件下,若初值(u0,u1,θ0,η0,)∈?,系統(tǒng)(3.2)-(3.4)有唯一弱解(u,ut,θ,η)滿足(u,ut,θ,η)∈C(R+;?).

注3.1兩種情況下都有其中C是一個(gè)常數(shù),且C依賴于初始值。

注3.2……