第二類兩端奇異Fredholm積分方程的分數階線性插值方法

郭嘉瑋,王同科

( 天津師范大學數學科學學院,天津300387)

1.引言

考慮如下形式的第二類Fredholm積分方程

其中,0是參數,f(x)、k(x,y)為已知函數,u(x)為待求函數,k(x,y)稱為積分方程(1.1)的核函數.假設核函數k(x,y)與右端項f(x)具有滿足需要的最低階光滑性使得積分方程(1.1)存在惟一的連續解[1].

退化核法[2?7]是一種求解積分方程的簡單方法.通常而言,退化核的構造是基于Taylor公式和Lagrange插值導出的.但如果在求解區間上,核函數有一個或多個奇點,由于函數在奇點處不存在通常意義上的Taylor公式,且多項式插值逼近精度低,所以,此種情形的退化核方法計算精度顯著下降.文[8]針對單點奇異核函數構造了一種分數階退化核方法.本文將針對在區間兩個端點處非充分光滑的核函數,設計基于分段混合線性插值的退化核方法.

假定在積分方程(1.1)中,核函數k(x,y)在積分區間的兩個端點均奇異,可以使用核函數在奇點處的分數階Taylor級數來近似.與整數階Taylor級數性質類似,分數階Taylor級數[9?10]也僅在奇點處有較高的精度,在遠離奇點的時候精度逐漸降低,故本文利用分段混合插值構造近似退化核,在包含奇點的小區間上使用分數階Taylor公式,在其它區間上使用標準的分段線性插值來逼近核函數,由此得到一種分段混合插值退化核方法.數值結果表明對于兩端奇異的積分方程,傳統方法如Nystrm方法[1,7]收斂階下降,本文所提出的插值方法仍保持二階逼近精度.

2.混合線性插值方法

考慮積分方程(1.1),假設其核函數k(x,y)在y=a和y=b處奇異且成立分數階Taylor展開式

將積分區間[a,b]劃分為n個子區間,第i個子區間的長度為hi,且記a0=a,ai=ai?1+hi,i=1,2,··· ,n.由積分區間的可加性,積分方程(1.1)則為

下面構造k(x,y)基于分數階Tylor展開和分段線性插值的離散退化核.

在區間[a0,a1]和[an?1,an]上,核函數k(x,y)分別在區間的左右端點處具有分數階Taylor展開式(2.1)和(2.2),取有限項如下

由于函數的分數階Taylor展開式僅在奇點附近具有較高的逼近程度,因此在其它區間利用插值方法來逼近.為了保證逼近函數的整體連續性,需要對(2.4)和(2.5)進行修正.令

其中κ1(x),κ2(x)為待定函數,分別由插值條件k1(x,a1)=k(x,a1),kn(x,an?1)=k(x,an?1)確定,計算可得

在下文中為方便推導,仍用ξma(x)、ηmb(x)代替κ1(x)、κ2(x),即將(2.6)和(2.7)分別記為

在區間[ai?1,ai],i=2,3··· ,n ?1上,做核函數k(x,y)關于自變量y的線性插值,有

其中

用上面構造的分段函數ki(x,y),i=1,2···n近似代替原方程中的核函數k(x,y),并記得到的近似解為un(x),則un(x)滿足

為了方便推導,將上式改寫為向量形式,即

其中

顯然Bi,i=1,2,··· ,n為未知向量,下面給出確定這組未知向量的方法.

首先,方程(2.13)兩邊同時乘以(x ?a)αυ,υ=1,2,··· ,ma,并在區間[a0,a1]上對x積分,得

其中Bi,j表示Bi的第j個分量.

將(2.15)寫成向量形式,即

其中

其次,將方程(2.13)兩邊同時乘以lj,γ(x),γ=1,2,并在區間[aj?1,aj],j=2,3,··· ,n?1上對x積分,得

將其寫成向量形式

最后,將方程(2.13)兩邊同時乘以(b ?x)βω,ω=1,2,··· ,mb,并在區間[an?1,an]上對x積分,得

將其寫成向量形式

其中

聯立(2.16)、(2.18)和(2.20),并令

則積分方程(1.1)離散為一個線性代數方程組

需要指出的是,為使(2.21)的解存在唯一,需要假定λ不是系數矩陣A的特征值.

記Ln(x,y)為上節構造的混合插值退化核,離散后的方程(2.13)寫成算子方程的形式

其中I為單位算子.為分析算法的收斂性,下面給出一些引理.

引理1[1]記

根據該引理,為說明算法的收斂性,需要證明當h →0時,ρn→0.經分析,ρn由三部分構成,分別是線性插值的誤差以及函數兩個奇點所在區間利用分數階Taylor展開而產生的誤差.考慮后兩種誤差,對于分數階插值公式(2.10)和(2.11),它們的插值余項分別為[11]

其中

由此可得

進一步,由(2.26)以及線性插值誤差估計式,得

其中

定理1當核函數k(x,y)關于x在[a,b]上連續,關于y在(a,b) 上二階可導,且在y=a和y=b點存在分數階Taylor展開式,則當h →0時,由分數階混合線性插值退化核方法所得到的近似解un(x) 一致收斂于精確解u(x),而且收斂階為min(αma+1,βmb+1,2).

需要指出的是,當函數接近奇異時,普通插值的精度將顯著下降,所以,在實際應用本文算法時,步長h1和hn要適當增大,相應地,核函數k(x,y) 在x=a和x=b的Taylor 展開式也應該多取幾項,以保證算法在包含奇點的小區間上的誤差小于總體計算誤差.

3.數值算例

例1用混合線性插值法求解如下的第二類Fredholm積分方程

其中

解該題中核函數k(x,y)本身就是退化核,方程可化為

求得c=6π,再將c帶回原方程可得精確解為u(x)=(6πx2?5πx2)/π=x2.

下面采用混合線性插值法求解該問題.根據(2.1)和(2.2),本例中核函數k(x,y)在y=0和y=4處的分數階Taylor展開式中

此時

當h1<2時,收斂.同理當hn<2時,也收斂,則由定理1可得,當h →0 時,所得到的近似解un(x)一致收斂于精確解u(x).

由于核函數k(x,y)越靠近積分區間的端點,函數的奇性越強,因此區間端點所在的區間長度不宜過小.將積分區間端點所在的小區間長度固定為0.2,其余部分分別按照步長h為0.2、0.1、0.05、0.025、0.0125均勻劃分,并按照第二節給出的方法,取分別得到近似解un(x).圖1是當h=0.0125時,u(x)?un(x)的圖像,此時un(x)=0.999970534x2.

計算最大誤差Eh=∥u(x)?un(x)∥∞及數值收斂階結果如表1所示.

表1 例1計算結果

圖1 例1當h=0.0125時的誤差圖形

另外,在表1中Condh指系數矩陣A的2-范數條件數,不同的h所對應的Condh雖然隨著h的減小而增加,但增長相對緩慢,并沒有出現數量級的變化,說明本文所提出的方法是良性的,表1中的結果顯示數值收斂階近似為2,與理論收斂階一致.需要指出的是,本例中的核函數k(x,y)在積分區間端點處函數值為∞,不能直接采用線性插值的方法來構造退化核.

例2用混合線性插值法求解如下的第二類Fredholm積分方程

其中

解在這個例子中,根據(2.1)和(2.2),核函數k(x,y)在y=0和y=1處的分數階Taylor展開式為

其中Γ(x)表示gamma函數,此時

當h1<1時,級數收斂.同樣地,當hn<1時也收斂.由定理1可得,當h →0時,近似解un(x)一致收斂于精確解u(x).

與例1的求解思路類似,將積分區間端點所在的小區間長度固定為0.2,其余部分分別按照步長h為0.2、0.1、0.05、0.025、0.0125均勻劃分,并按照第二節方法取分別得到近似解un(x).計算最大誤差Eh及數值收斂階Oh,結果如表2所示.

表2 例2混合插值方法計算結果

圖2 例2當h=0.0125時的誤差圖形

由表2可以看出,在例2中系數矩陣條件數變化很小,說明算法始終是良性的,誤差的收斂階近似等于2,與理論分析相吻合,說明本文所提出的算法是正確且有效的.

圖2是當h=0.0125時的誤差圖形.由該圖形可以看到,誤差u(x)?un(x)始終穩定在10?5數量級,說明混合插值算法對端點奇異核函數的處理是成功的.

此外,本例中的積分方程可以在全區間上直接利用插值構造退化核或采用Nystrm方法來求解.首先,對本例中的核函數k(x,y) 在積分區間[0,1] 上直接進行分段線性插值,取步長h分別為0.2、0.1、0.05、0.025、0.0125可得近似解、最大誤差以及數值收斂階,如表3所示.

表3 例2全區間上的分段線性插值計算結果

表4 例2Nystrm方法計算結果

表4 例2Nystrm方法計算結果

h Eh Oh Condh 0.2 9.13371×10?2 1.73324 0.1 4.07416×10?2 1.16470 1.83738 0.05 1.86295×10?2 1.12891 1.88729 0.025 9.48273×10?3 0.97421 1.90905 0.0125 5.76217×10?3 0.71869 1.91836

由表3和表4可以看出,傳統的基于插值構造的退化核方法以及Nystrm方法的收斂階均依賴核函數以及解的光滑性,當核函數與解存在奇點時,這兩種方法的計算精度很差.此算例說明對于非光滑核函數,本文構造的分數階混合插值退化核方法是成功的.