結合結構模型與LMGP軟件包強化原子散射因子的教學

郭 騰，郭 雨，丁志杰，陳君華，汪徐春，閆浩然

(安徽科技學院 化學與材料工程學院，安徽 鳳陽 233100)

材料分析與測試技術課程是目前國內各個級別的本科院校為材料工程類本科生開設的一門比較重要的專業課，其講授的衍射學、電子顯微學、熱分析學以及光譜分析學等分析手段和方法具備重要的應用價值，對于這些專業的學生而言，其不僅可以為他們面向今后從事材料應用開發行業中的材料分析工作奠定基礎，也在他們在自身專業深造方面構成了所必不可少的重要的理論基礎以及相應的實踐性材料分析技能之一。在本課程上述的常規的四個部分的教學內容中，X射線衍射分析學部分通常都是排在最先講授，因為其構成內容龐雜，講授難度大，并且其也構成了后續電鏡部分內容的重要的基礎之一。因此，在日常的教研活動中有必要強化這一部分的教學研究與思考，為取得良好的教學效果奠定先決條件[1-3]。

在X射線衍射學的各個組成章節中，原子散射因子是構成X射線強度理論所必須的基本知識點之一。要實現對其良好的理解需要前面必備的理論基礎(布拉格方程、勞厄方程，尤其是后者)，并且其自身也是構成結構因子的重要組成部分之一，因為晶體的結構因子的推導需要原子散射因子理論做支撐，因而結構因子在X射線衍射分析學的教學中起到了承上啟下的作用，教師對這個知識點講授的內容的深度和廣度以及思路設計也將直接影響到學生對于后續知識系統的理解效果。但是，很多近幾年的教材上對于該內容的描述比較簡略，再加上該內容有一定理解難度，并且受限于有限的學時數等因素影響，在教學過程中往往存在學生反映有關原子散射因子的內容太難并且學習時間短，不能充分理解這些內容的問題。鑒于上述狀況，我院材料工程教研室在近期的教學研討活動中專門討論了該內容，并參考了很多國內的著名教材，設計并優化了針對原子散射因子的結構模型用于教學，同時結合以專用晶體學分析程序LMGP軟件包以用于演示，從而在控制教學篇幅和時長的同時取得了良好的教學效果。

1 針對原子散射因子的教學設計

原子散射因子是衡量的在某個入射X射線波長與衍射方向上，原子散射X射線能力的大小，因而，對其準確的理解應建立在簡明的結構模型的基礎上。通過廣泛參考國內各個著名高校編寫的材料分析技術類專業教材[4]，我們在選擇了合適的模型的基礎上，還對其進行了再設計與優化，添加了必要的內容，從而使其共同構成原子散射因子的典型教學實例。

1.1 有關衍射矢量

圖1 以單位矢量形式(a)和波矢量形式(b)表示的發生衍射時的矢量差關系
Fig.1 The graphical relations of various vectors when diffraction have been present in which:(a) in the form of unit vectors,(b) in the form of wave vectors

1.2 結合結構模型全面講授原子散射因子

如果將上面的矢量差值形式移植到原子中時，即可設計相應的原子散射因子的結構模型圖解。如圖2所示，以上兩種用以描述衍射的矢量都可以用于原子散射因子的推導，但是用單位矢量的形式相對簡單一些，故而采用頭一種。原子散射因子所要涉及的是具有多個電子的原子對X射線的散射波的相互干涉情況，因而，討論該因子的主要出發點就是討論原子中各個電子的散射波的疊加特性。每個電子都能夠散射X射線，因而當把對應每個電子的散射波采用相量表示法表示時都有其模值和位相值，其模值為單個電子的散射波的振幅Ee，其可視為常數實數，因而在這里主要需要計算的則是其位相值。其位相值計算需要借助如圖2所示的模型，其中O點為原子中心，j點為另一任意電子；為了求得該電子散射波的位相值，其所采用的是一種間接的方法，即需要先求出位相差值。圖中分別規定了通過原子中心和通過該討論電子的入射線和衍射線，并假設在衍射線所示的方向上出現了干涉加強。盡管實際上由于原子核和核外電子的質量和運動速度都相差非常大，進而導致這兩種散射主體對于X射線的散射特性無可比性，但是我們可以規定通過原子中心(原子核)的入射線和衍射線為參考零位相線，其在參與計算時并不應用其實際散射波的波長特性計算與電子的相干散射，而僅僅是采用了其零位相參考的功能，在規定了這一點的散射波的位相為零并且假定其散射波波長與電子散射波波長相等之后，此時即可討論兩個散射中心各自散射波的位相差，從而此時位相差值即可自動變為所討論的電子的散射波的位相值。上述的物理學情景和假設條件需要重點和學生強調。

接下來，需要通過波長的關系將兩折線段長度差轉換為所對應的兩波的角度差，即為相位差，其形式即為

將式(4)代入式(5)，即有

圖2 原子散射因子圖解Fig.2 Schematic representation of atomic scattering factor

課堂上需要重點講述上述推導的目的，在于使學生理解上述相位差(也代表了電子j所產生的散射波的相位)不僅與表示電子的位置矢量長度有關，也與散射角(其中角度α取決于電子位置和角度θ)以及所采用的輻射的波長有關，因此可以認為電子j散射波的相位角是sinθ/λ的函數。因此，依據波的相量表示法，其可以表示為

設該原子的原子序數為Z，則其中包含有Z個電子，依據矢量求和的法則，整個原子在圖示方向的散射波矢量即為Z個電子的散射波的矢量求和，即為下式

最后可以和學生說明的，是在實際的計算中，電子位置矢量可以用電子云密度的方法間接得到反映，通過套用電子云密度的方法即可計算任意一種原子的原子散射因子值。

上述方法重點和學生講授的目的，是為了強調簡化方法的運用，即通過規定零位相點或線的形式使得所討論的位相值轉變為求位相差值，進而能夠直接套用勞厄方程的推導方式，并且這種方法還需要用到后續的結構因子的推導過程中。

1.3 結合LMGP軟件包中專用程序 (ScatFac) 強化原子散射因子教學

圖3 通過LMGP軟件包中的ScatFac程序演示O原子在Cu Kα1型輻射條件下的原子散射因子函數
Fig.3 The atomic scattering factor function curves of oxygen atom under Cu Kα1 radiation represented by ScatFac program in LMGP software suite

在上述推導過程中需要重點和學生強調原子中單個電子的散射波的相位角是sinθ/λ的函數，而每個求和式中都含有該項，因此最后的矢量和也是sinθ/λ的函數，并且在實際的原子散射因子的計算和使用中每一種原子的原子散射因子大小都是用sinθ/λ的函數形式表示的。為了充分說明這種趨勢，此時我們可以用專用的晶體學程序向學生充分展示。我們在以往的教學活動中，主要采用的是LMGP軟件包[6]。LMGP是法文Laboratoire des Materiaux et du Génie Physique de l'Ecole Supérieure de Physique de Grenoble前面幾個單詞的縮寫，它是Jean Laugier和Bernard Bochu等人編寫的由一系列與結晶學、勞厄衍射與粉末衍射有關的獨立程序所組成的免費的軟件包，在這個軟件包中主要與原子散射因子有關的程序是ScatFac。下載該程序后打開scatfac.exe程序，即可進入其主界面，其主界面也很簡潔，通過單擊高亮選擇相應的輻射源，之后再選擇相應的原子類型之后，點擊“Draw”菜單，即可彈出相應的元素的原子散射因子隨著sinθ/λ的變化圖形的窗口，如圖3所示，該繪圖窗口中包含的信息包括當前所選輻射源的類型、能量值等參數，同時通過鼠標在窗口中移動可實時查看當前位置的θ角度值和對應的散射因子值并顯示在窗口的右上角；另外，該窗口的繪圖區很清楚地顯示了散射因子值(縱軸)隨著sinθ/λ(橫軸)的變化關系，因此可以作為演示上述函數關系的輔助教學軟件，用于給學生演示實際原子的原子散射因子函數的表現形式，在實際教學中，我們通過這款小程序向學生演示原子散射因子值的查詢過程和函數變化關系，收到了良好的效果。

2 教學改革實施效果

原子散射因子是X射線衍射分析學中重要的教學內容之一，其與衍射學中很多重要的知識點(勞厄方程、布拉格方程、結構因子等)有著非常緊密的聯系，因此對于這個知識點的教法和學法的研究有助于整體提升學生學習衍射分析學的效果。通過相關的教學活動我們取得了下面的成果。

2.1 優化的結構模型能夠促進原子散射因子教學

原子散射因子本質上是波矢量的范疇，因此我們將教學的重點放在針對原子中電子散射波的討論。針對這種散射結構模型的全面、詳細的解析，使得學生們對相應的物理過程有了全面正確的理解，進一步激發了學生的興趣，學生的提問率明顯提高。

2.2 提高了學生的計算機應用技能

ScatFac程序不僅可以用來演示原子散射因子函數的圖形，還可以用于查詢相應的散射因子并用于相應的計算與研究。通過軟件的演示與查詢，進一步使學生明確了原子散射因子在實際應用時的表現形式，豐富了教學案例，提高了學生的專用程序軟件應用水平。

3 結論與建議

針對材料分析與測試技術課程中重要知識點構建全面系統的教學案例(含結構模型、設備原理、應用實例與相應的計算機應用案例)是我二級學院課程教研組近期的一個主要教研改革任務之一，合理且良好的案例設計有助于提高學生的學習興趣，增強他們對于專業性和綜合性較強的內容的理解，這對于地方性應用型本科院校生源質量不高、理解力差等問題的改善能夠提供較好的借鑒意義。