基于圓形繞制線圈建模的設計與優化

陳佳男， 秦會斌

(杭州電子科技大學 新型電子器件與應用研究所，浙江 杭州 310018)

0 引 言

本文將基于圓形繞制線圈(wound coil)的耦合系數，對線圈半徑進行優化，目前在該領域中，即使采用單圈線圈的簡單情況，仍沒有得到最優半徑選擇方法的解析解，在缺乏理論指導的情況下，往往通過多次仿真或實驗的方法得到發送接收線圈最優半徑[1]。本文針對可穿戴設備及植入式醫療電子器件的無線供電應用，擬通過對線圈的電阻電感電容(resistance inductance capacitance,RIC)進行解析建模，通過公式推導得到以最大化傳輸效率為目標的最優半徑的解析解，并經ANSYS HFSS仿真驗證。

1 系統及線圈建模

二線圈電感耦合無線供電系統模型如圖1所示，圖中的VS為等效的系統供電電源，RS為電源內阻；R1和R2分別為發送線圈和接收線圈寄生電阻，C1和C2分別為發送線圈接收線圈的寄生電容，RL為負載內阻。L1和L2分別為發送線圈接收線圈自感，MC1為兩線圈之間的互感值。發送端串聯電容CC1用于提高系統電源VS的功率因素。

圖1 二線圈電感耦合無線供電系統模型

在系統接收端加入阻抗匹配網絡可以將負載變換到最優的負載值ZL(opt)，并最大化系統能量傳輸效率。接收端的阻抗匹配電路由電容CC2和CC3實現，此時系統的最優傳輸效率ηmax和對應的負載阻抗ZL(opt)如式(1)所示。其中k,Q1和Q2分別為線圈間的耦合系數、發送線圈品質因數和接收線圈品質因數，ω為工作頻率。耦合系數和品質因素可計算如下[2]

(1)

圖1中的電容CC2，CC3和負載電阻RL組成的局部電路的阻抗值應該等于最優負載,即滿足關系

(2)

通過對式(1)、式(2)求解得到阻抗匹配網絡所用的兩個電容取值，可用式(3)表示

《議定書》推動中國—東盟自由貿易區升級發展。但是，《議定書》并未涉足TPP開創和引領的多個“邊境后”規則，并未改變中國—東盟自由貿易區以邊境規則為主，屬于傳統關稅治理協議范疇的屬性。事實上，我國建立中國(上海)自由貿易試驗區的初衷之一，就是順勢利用全球經貿規則新高地TPP帶來的倒逼改革效應，在國內建設能夠對標TPP高標準、高要求的新開放高地。而且，中國—東盟自由貿易區在關稅領域的改進空間非常有限，升級版建設應該以更高的開放水平為目標，嘗試性、試驗性、漸進性推動更大領域的雙邊市場開放與管制對接。

(3)

在發送端，電容CC1可以通過與電感L1形成串聯諧振實現阻抗匹配，提高電源端的功率因素。因此CC1可以根據工作頻率ω來確定

(4)

1.1 自感、互感、耦合系數模型

對于線圈半徑為a，導線的線半徑為r的單圈圓形線圈，當a/r?1時其自感可表示為[3]

(5)

對不同半徑下的二線圈結構，可用如下互感近似計算表達式[4]

(6)

式中 兩線圈半徑分別為a和b，發送接收線圈距離為z，γ=2ab(a2+b2+z2)。

1.2 線圈寄生電阻

線圈中的寄生電阻受趨膚效應與鄰近效應的影響，由于本文選用單匝圓形橫截面的線圈，故鄰近效應可忽略不計。根據文獻[5]，一個橫截面為圓形的無限長直導線趨膚效應電阻為

(7)

式中lw和σ分別為線的長度和電導率，Rdc為直流電阻，μ0和μr分別為真空中銅的磁導率和環境中的相對磁導率，ber(m)，bei(m)，ber′(m)和bei′(m)均為開爾文函數。當導線線半徑遠小于所圍線圈的直徑時，線圈可以被近似當成直導線來計算其趨膚效應電阻[6]。

2 系統優化過程

在對系統建模時發送線圈擬采用美國線規(American Wire Gauge)AWG18，接收線圈采用AWG36規格的銅線。一般來說，在可穿戴設備以及植入式醫療器件的應用中，發送接收線圈尺寸及能量傳輸距離通常由具體應用確定[7，8]。在這里，假設接收線圈半徑固定。目標為在任何傳輸距離的情況下，確定最佳的發送線圈半徑以最大化無線電能傳輸效率。

由效率表達式(1)可知，在接收發送品質因素Q1，Q2固定時，系統效率與線圈之間的耦合系數k單調遞增。收發線圈品質因素Q1，Q2常常與線圈材質、線的粗細程度相關。本章節不做討論。在這里假設線圈半徑?導線的線半徑，接收線圈半徑a，發送線圈半徑b，根據k=|M|/(L1×L2)2，將式(5)、式(6)代入，得到耦合系數k表達式(8)

(8)

式中 常數λ=π/(ln(C2/ρ)+c4ρ2)。

對耦合系數k(b)求導。存在兩個極點，b=0，或b2=a2+z2。即當發送線圈半徑滿足式(9)時，耦合系數最大，此時的耦合系數最大值如式(10)所示

b=a2+z2

(9)

(10)

3 理論驗證與仿真

3.1 曲線擬合驗證

上面通過對線圈之間耦合系數的優化可知，在任意距離下，接收線圈半徑固定時，發送線圈半徑滿足b=(a2+z2)1/2，收發線圈之間有最大的耦合系數。可以通過對耦合系數的優化，得到最優的系統能量傳輸效率。

目前，可穿戴設備線圈尺寸通常在cm級別[9]，系統一般工作在為兆赫茲(MHz)頻率段[10]。假設接收線圈半徑為20 mm，系統能量傳輸距離在5～100 mm的變化范圍內，對不同發送線圈半徑進行掃描，得到不同距離下，發送線圈半徑與系統效率的關系如圖2所示。

圖2 傳輸效率與發送線圈半徑、傳輸距離之間的關系

觀察圖2曲線可知，在該模型下，當接收線圈尺寸固定，圖中系統在每一個傳輸距離z下均存在一個最優的發送線圈半徑b，能夠最大化傳輸效率η。為了得到每一個最優傳輸效率下的接收線圈半徑a、發送線圈半徑b以及傳輸距離z三者之間的關系。利用MATLAB軟件，本文通過2000余組數據對這三者的關系進行曲線擬合。

圖3 曲線擬合結果

通過以上擬合結果發現，即當接收線圈半徑固定時，任意距離下均存在最優發送線圈半徑使得系統達到最優能量傳輸效率，與此同時，接收線圈半徑a，傳輸距離z與最優發送線圈半徑bopt三者之間的關系如式(11)所示

(11)

3.2 仿真驗證

對上述得到的最優發送線圈半徑選擇的結論，本文選取了兩個例子在電磁場仿真工具Ansoft HFSS中進行驗證。在HFSS中的仿真模型設置如圖4所示。

圖4 HFSS中接收線圈半徑20 mm、距離20 mm的模型設置

其中接收線圈半徑為20 mm，傳輸距離為20 mm，發送線圈半徑在5～100 mm之間進行頻率掃描，掃描范圍1～100 MHz。設定系統需要工作在13.56 MHz下的ISM頻段，在發送線圈半徑不斷改變而導致自身諧振頻率不斷變化的情況下，通過改變發送線圈補償電容CC1的值進而控制線圈的強迫諧振頻率來保證該系統工作在諧振狀態下。另外在接收線圈部分通過電容CC2和CC3來進行系統的阻抗匹配。其中CC2和CC3的值可根據式(3)計算得到。在HFSS中這些電容通過設置“Lumped RLC”設置得到。在這些電容的補償下，可實現系統的阻抗匹配并使傳輸效率分別達到對應線圈半徑設置下的最大值。圖5比較了不同發送線圈半徑下的能量傳輸效率HFSS仿真和理論推導結果。

圖5 傳輸效率與發送線圈半徑b的關系

從圖5中可見，系統能量傳輸效率的仿真結果和理論推導結果比較接近(約5 %的誤差)，仿真結果中系統達到最優效率時對應的發送線圈半徑為22 mm，與第2節中的結論b=(a2+z2)0.5吻合。

圖5(a)證明了當發送線圈半徑與傳輸距離較為接近時，第2節中的結論是正確的。圖5(b)則比較當接收線圈半徑(20 mm)小于傳輸距離(50 mm)時，電磁仿真軟件仿真結果與理論推導得到的系統能量傳輸效率結果比較。從圖中可知，仿真結果與理論推導得到的效率值相比較大約也存在5 %的誤差，但是它們的最優效率下對應的發送線圈半徑一致。均為51 mm，這一現象同樣驗證了第2節中最優發送線圈半徑選擇法的有效性。

4 結 論

本文針對磁耦合諧振無線電能傳輸在可穿戴設備及植入式醫療設備中的應用，研究了最大化能量傳輸效率與最優發送線圈尺寸的解析解。基于單匝圓形繞制線圈間的解析建模，配合阻抗匹配電路可以計算出線圈間所能達到的最高效率。通過對發送線圈與接收線圈之間耦合系數進行理論推導，得到了最優發送線圈的解析解。計算所得能量傳輸效率和最優發送線圈的解析解與曲線擬合結果、電磁仿真工具得到的結果吻合。