基于單幅光柵條紋圖像的鋼軌表面三維重構(gòu)研究*

高常強(qiáng)， 顧桂梅,2,3， 趙建龍， 鄒 逸

(1.蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.光電技術(shù)與智能控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730070；3.甘肅省人工智能與圖形圖像處理工程研究中心，甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

鋼軌是輪軌接觸系統(tǒng)中極其重要的部件，起著引導(dǎo)列車(chē)行駛和支撐列車(chē)運(yùn)行的作用[1]，因此，對(duì)鋼軌進(jìn)行無(wú)損、高效的檢測(cè)變得非常重要。圖像處理可以實(shí)現(xiàn)對(duì)鋼軌表面缺陷的二維檢測(cè)和識(shí)別,但不能得到缺陷的深度信息。因此，對(duì)鋼軌進(jìn)行三維重構(gòu)以最直觀(guān)的方式生成和呈現(xiàn)鋼軌表面缺陷信息成為現(xiàn)如今的研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[2]提出了激光三角法，利用激光掃描鋼軌輪廓并與標(biāo)準(zhǔn)輪廓對(duì)比，獲得了鋼軌軌頭部位的磨耗值，精度較高，但不能直觀(guān)的呈現(xiàn)鋼軌軌頭的磨耗情況。文獻(xiàn)[3]采用多攝像機(jī)線(xiàn)結(jié)構(gòu)光掃描的方法，能夠很好地重構(gòu)鋼軌三維形貌，但對(duì)裂紋缺陷無(wú)法重構(gòu)。文獻(xiàn)[4～6]采用Stoilov五步相移法提取光柵條紋圖像相位，能夠較好地復(fù)原鋼軌軌腰三維形貌，精度高，但需要多幅圖像，過(guò)程繁瑣，不利于在線(xiàn)測(cè)量。文獻(xiàn)[7]采用傅里葉變換的方法重構(gòu)了鋼軌的軌腰部分，速度較快，但其在提取變形光柵條紋圖像的基頻信號(hào)時(shí)容易產(chǎn)生頻譜混疊，使得測(cè)量精度不高。

本文提出利用單幅光柵條紋圖像提取相位的方法進(jìn)行鋼軌表面的三維重構(gòu)，以解決相移法中過(guò)程復(fù)雜、效率低的問(wèn)題。

1 相位測(cè)量恢復(fù)物體三維形貌原理

將強(qiáng)度按正弦變化的標(biāo)準(zhǔn)光柵條紋，投射到物體表面，采集變形光柵條紋圖像。由于物體外形凹凸不平，周期性光柵條紋的相位受到調(diào)制發(fā)生變形，變形光柵條紋圖像雖然是二維圖像，但其攜帶有物體表面的三維信息，這些信息包含在變形光柵條紋圖像的相位中。通過(guò)提取相位并分析計(jì)算，達(dá)到獲取物體表面高度分布，恢復(fù)物體三維形貌的方法稱(chēng)之為相位測(cè)量法[8]。圖1(a)為相位測(cè)量法的光路圖，圖1(b)為標(biāo)準(zhǔn)光柵被物體高度調(diào)制的示意圖。

圖1 相位測(cè)量法的光路與光柵調(diào)制示意

將一柵線(xiàn)平行的標(biāo)準(zhǔn)正弦光柵斜向投影到被測(cè)物體表面，從投影方向上看，柵線(xiàn)是平行的，但在垂直方向上觀(guān)察，柵線(xiàn)是彎曲的，如圖2所示。柵線(xiàn)的彎曲程度與被測(cè)物體表面的高度差有關(guān)，其上任意一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的相位值φ(x,y)與平面時(shí)的顯然不同。如圖1所示，O為投影儀與CCD像機(jī)光心線(xiàn)交點(diǎn)，原本應(yīng)該投射到參考平面上A點(diǎn)的光柵線(xiàn)，由于被測(cè)曲面的存在只投射到了D點(diǎn)，而在CCD像機(jī)中看到D點(diǎn)的相位φD實(shí)際上與參考光柵圖像中C點(diǎn)的相位φC一致，即由于曲面高度對(duì)相位的調(diào)制，把A點(diǎn)相位φA移到了C點(diǎn)，相移值為φAC，φAC=φC-φA。

假設(shè)D點(diǎn)相對(duì)于參考平面R的高度為h，則由三角相似原理可得相位高度映射關(guān)系

(1)

式中L為CCD像機(jī)光心到參考平面R的垂直距離；d為投影儀光心和CCD像機(jī)光心之間的水平距離；f0為正弦光柵頻率；φAC為調(diào)制相位。從式(1)中可看出：高度h的倒數(shù)和調(diào)制相位φAC的倒數(shù)成一次函數(shù)關(guān)系，若L，d，f0等參數(shù)確定，則h和φAC關(guān)系確定。

2 單幅光柵條紋圖像相位提取

2.1 希爾伯特變換

設(shè)有一信號(hào)x(t)，在時(shí)域中它的希爾伯特變換[9～11]為h(t)，則定義

(2)

則x(t)的希爾伯特變換是x(t)與1/πt的卷積，即h(t)=x(t)*(1/πt)，則可以將h(t)看成是輸入為x(t)的信號(hào)經(jīng)沖激響應(yīng)為1/πt的線(xiàn)性濾波器的輸出。由沖激響應(yīng)可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

(3)

式中 sgn(ω)為符號(hào)函數(shù)；ω為正弦信號(hào)角頻率；j為虛數(shù)單位。

由傳遞函數(shù)可知信號(hào)經(jīng)希爾伯特變換后，幅值不發(fā)生變化，相位將出現(xiàn)90°相移，即對(duì)正頻率滯后90°，對(duì)負(fù)頻率超前90°，對(duì)直流分量具有濾除作用。

2.2 相位提取

將單幅標(biāo)準(zhǔn)正弦光柵條紋圖像投射到鋼軌表面，并用CCD像機(jī)采集變形光柵條紋圖像，標(biāo)準(zhǔn)正弦光柵條紋光強(qiáng)分布和變形光柵條紋光強(qiáng)分布可用分別表示

Ii1(x,y)=Ia(x,y)+Ib(x,y)cos(2πf0x)

(4)

I1(x,y)=Ia(x,y)+Ib(x,y)cos[2πf0x+φ(x,y)]

(5)

式中Ia(x,y)為背景光強(qiáng)度，指除光柵以外的光源強(qiáng)度，如自然光、燈光等；Ib(x,y)為條紋幅值；f0為正弦光柵條紋頻率；φ(x,y)為調(diào)制相位。Ia(x,y)和Ib(x,y)是緩慢變化函數(shù)，可視為常數(shù)。

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)光柵條紋和變形光柵條紋圖像分別進(jìn)行希爾伯特變換，得到各自正弦分量為

Ii2(x,y)=Ib(x,y)sin(2πf0x)

(6)

I2(x,y)=Ib(x,y)sin[2πf0x+φ(x,y)]

(7)

再次對(duì)Ii2(x,y)和I2(x,y)進(jìn)行希爾伯特變換，得到各自余弦分量為

Ii3(x,y)=-Ib(x,y)cos(2πf0x)

(8)

I3(x,y)=-Ib(x,y)cos[2πf0x+φ(x,y)]

(9)

由式(6)～式(9)可得調(diào)制相位φ(x,y)為

(10)

式(10)中反正切函數(shù)計(jì)算得到的調(diào)制相位φ(x,y)，其范圍被截?cái)嘣赱-π,π]內(nèi)，是不連續(xù)的，是包裹相位，要想獲得鋼軌表面三維形貌，必須將其恢復(fù)為原來(lái)的連續(xù)相位，因此需要對(duì)其進(jìn)行相位解包裹運(yùn)算，即相位展開(kāi)運(yùn)算，本文采用MATLAB中的解包裹函數(shù)Unwrap就可完成相位解包裹運(yùn)算。Unwrap功能：檢查出相位跳變，并糾正跳變。沿著包裹相位數(shù)據(jù)矩陣的行或列其中的一個(gè)方向展開(kāi)，檢查到相鄰兩點(diǎn)的相位值差距超過(guò)π時(shí)，就認(rèn)為有跳變，處理數(shù)據(jù)，后面的相位值加2π或者減2π，使前后兩相位值之差小于π，接著再沿著行或列的另一個(gè)方向處理數(shù)據(jù)，完成相位解包裹運(yùn)算。

3 傳統(tǒng)Stoilov五步相移法提取相位

Stoilov五步移相法可以獲得的五幅變形光柵條紋圖像推導(dǎo)出調(diào)制相位表達(dá)式[12,13]

(11)

值得注意的是，式(11)只利用了變形光柵條紋圖像，計(jì)算得到的調(diào)制相位包含載頻相位2πf0x，在解包裹運(yùn)算后，必須減掉相應(yīng)的載頻相位，獲得真實(shí)的調(diào)制相位，代入相應(yīng)的相位高度映射關(guān)系中，才可重構(gòu)出物體表面的三維形貌。從式(11)表達(dá)式中可看出，式中存在對(duì)光強(qiáng)的減法、除法和開(kāi)方等運(yùn)算，可能在某些位置會(huì)出現(xiàn)分子分母為零的情況，導(dǎo)致相位解包裹出錯(cuò)，增大誤差，影響最終的三維重構(gòu)效果。在仿真時(shí)，取相移步長(zhǎng)為52°，可有效抑制二次相移量誤差的影響[14]。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

利用單幅光柵條紋圖像重構(gòu)鋼軌表面三維形貌過(guò)程如圖2所示。

圖2 單幅光柵條紋圖像重構(gòu)鋼軌表面三維形貌過(guò)程

以50 kg/m的鋼軌為例，根據(jù)50 kg/m的鋼軌外形參數(shù)，利用MATLAB 2016a仿真生成一段鋼軌表面的三維圖像，并在其上構(gòu)造類(lèi)似疤痕、裂紋等鋼軌表面缺陷，如圖3所示。圖3中缺陷1為深4 mm的縱向裂紋，缺陷2為最大深度2 mm的疤痕，缺陷3為深10 mm的縱向裂紋，缺陷4為深8 mm的橫向裂紋。

圖3 鋼軌表面三維圖

在MATLAB 2016a中生成1 000像素×700像素的標(biāo)準(zhǔn)正弦光柵條紋，其光強(qiáng)分布為

Ii(x,y)=0.5+0.5cos(2πf0x)

(12)

則變形光柵條紋光強(qiáng)分布為

I(x,y)=0.5+0.5cos[2πf0x+φ(x,y)]

(13)

圖4(a)為標(biāo)準(zhǔn)正弦光柵條紋圖像，圖4(b)為圖4(a)的一次希爾伯特變換圖像，圖4(c)為圖4(a)的二次希爾伯特變換圖像，希爾伯特變換濾除直流分量，使得亮條紋變窄。從圖中矩形方塊部分可看出圖4(b)、圖4(c)中的光柵條紋相對(duì)于圖4(a)中的光柵條紋有明顯的右移現(xiàn)象，移動(dòng)值分別為20，40 像素。圖4(d)為變形光柵條紋圖像(已加入0.1 %的高斯噪聲)，圖4(e)為圖4(d)的一次希爾伯特變換圖像，圖4(f)為圖4(d)的二次希爾伯特變換圖像。從圖4(d)中橢圓部分可看出疤痕缺陷處的光柵條紋相對(duì)于圖5(a)標(biāo)準(zhǔn)正弦光柵條紋有明顯的變形，并且圖4(e)、圖4(f)相對(duì)于圖4(d)也有明顯的移動(dòng)，移動(dòng)方向和移動(dòng)值與圖4(b)、圖4(c)相同。

圖4 光柵條紋圖像

利用圖4中的光柵條紋圖像各個(gè)像素點(diǎn)光強(qiáng)，根據(jù)式(10)計(jì)算得到各點(diǎn)調(diào)制相位(是不連續(xù)的包裹相位)，并用Mesh函數(shù)顯示出包裹相位三維圖，如圖5(a)所示。從圖5(a)中明顯看到，當(dāng)x=0.1 mm，y的值從3.7 mm變到3.8 mm時(shí)，相位值從3.094 rad突變到-3.018 rad，是不連續(xù)的，因此要進(jìn)行解包裹運(yùn)算。文中采用MATLAB自帶的封裝函數(shù)unwrap進(jìn)行解包裹運(yùn)算，得到連續(xù)的相位分布，如圖5(b)所示。從圖5(b)中可看到相鄰兩點(diǎn)之間相位不存在跳變，相位是連續(xù)的。

圖5 包裹與解包裹相位三維圖

將解包裹得到的連續(xù)相位分布代入式(1)高度相位映射關(guān)系中，得到鋼軌表面高度分布，重構(gòu)鋼軌表面三維形貌，如圖6(a)所示。并與圖3作差，求得均方差為0.157 6。利用傳統(tǒng)Stoilov五步相移法提取相位并進(jìn)行解包裹運(yùn)算，重構(gòu)鋼軌表面三維形貌，如圖6(b)所示。并與圖3作差，求得均方差為0.223 0。對(duì)比圖6可看出，圖6(a)中的重構(gòu)圖較光滑，重構(gòu)效果較好。

圖6 鋼軌表面三維圖

從圖6(a)和圖6(b)中提取缺陷部位的二維截面圖，如圖7所示。并將4處缺陷的重構(gòu)情況繪制成表，如表1所示。圖7(a)為x=40 mm時(shí)，y-h平面的二維截面圖，圖7(b)為y=50 mm時(shí)，x-h平面的二維截面圖。圖7(a)、圖7(b)中1，2，3，4分別為缺陷1，2，3，4。由于圖7(a)、圖7(b)為截面圖，對(duì)于缺陷3和缺陷4來(lái)說(shuō)，取得只是一點(diǎn)的值，與表1中的重構(gòu)尺寸的最大值有所不同。

圖7 缺陷部位的二維截面

類(lèi)型缺陷1缺陷2缺陷3缺陷4原始尺寸/mm42108本文方法重構(gòu)尺寸最大值/mm4.43662.341510.50938.5013均方差0.16340.15830.16700.1690Stoilov方法重構(gòu)尺寸最大值/mm4.86182.838810.77318.7464均方差0.23970.23740.23690.2242

從圖7和表1中可以看出:本文方法對(duì)鋼軌表面缺陷的重構(gòu)誤差基本在0.5 mm之內(nèi)，均方差在0.17之內(nèi)，Stoilov五步相移法的重構(gòu)誤差在0.9 mm之內(nèi)，均方差在0.24之內(nèi)，本文方法誤差略小，對(duì)缺陷的重構(gòu)效果較好。但是由于Stoilov五步相移法需要五幅光柵條紋圖像，而本文方法只采用單幅光柵條紋圖像，這就大大降低了相位計(jì)算的復(fù)雜程度，能夠很好縮短程序運(yùn)行時(shí)間。利用Stoilov五步相移法復(fù)原鋼軌表面形貌需要5.0 s，本文方法只需要2.7 s。

5 結(jié) 論

本文提出的利用單幅光柵條紋圖像提取相位的方法能夠較好的重構(gòu)鋼軌表面的三維形貌，并沒(méi)有因?yàn)楣鈻艞l紋圖像數(shù)量的減少而使誤差增大，反而誤差略小于傳統(tǒng)的Stoilov五步相移法，運(yùn)行時(shí)間較短。根據(jù)對(duì)Stoilov五步相移法缺點(diǎn)的理論分析，在實(shí)際在線(xiàn)測(cè)量中，本文采用的方法相對(duì)于Stoilov五步相移法，誤差將會(huì)更小，效果會(huì)更好。但本文所采用方法在本質(zhì)上還是屬于相移法，采用像素點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的相位提取方法，對(duì)噪聲較敏感，所以在后期圖像處理過(guò)程中去噪過(guò)程尤為關(guān)鍵。