改進的考慮自動駕駛儀動態特性的有限時間滑模導引律

張力丹， 伊國興

(哈爾濱工業大學 空間控制與慣性技術研究中心，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

導彈的導引規律是制導系統的核心思想，是實現導彈可以追蹤目標并達到良好制導精度的理論基礎。現代戰爭中制導精度是導彈打擊性能的關鍵性指標之一，導彈自動駕駛儀的動態延遲特性對制導精度造成的影響是難以忽略的。尤其是導彈在大氣層內作戰時，所需過載的氣動力由側滑角和攻角產生，這比由直接側向力來提供需用法向過載的導彈而言對自動駕駛儀的延遲特性會更加敏感。在打擊大機動目標時，自動駕駛儀的動態延遲特性將不能保證高的制導精度[1～4]。

傳統的導引律設計方法有追蹤法、平行接近法、比例導引法等。這些經典導引律的設計都是把自動駕駛儀環節當作一個理想環節，忽略了自動駕駛儀的延遲特性[5～7]，在一定程度上會犧牲掉導彈的制導精度。文獻[2,8]將自動駕駛儀的動態特性用一階環節來表示，實際應用中自動駕駛儀是一個具有復雜的高階動態特性的設備。故在導引律的設計中用更貼近自動駕駛儀延遲特性的二階環節來表示其動態特性[1,4,5]。在末制導階段，由于精確制導時間十分短暫，通常只有幾秒鐘，導引律的設計應保證實現視線角速率在有限時間內快速收斂的指標[1,6,10]。

滑?？刂凭哂许憫臁Ⅳ敯粜詮?、物理實現簡單等特點，廣泛應用于航天控制領域,但由于時空滯后開關及控制系統慣性影響等原因存在抖振的缺陷[11]。為改善系統的抖振現象，Kachroo P設計了一個低通濾波器來使切換面函數變得平滑，有效改善了系統的抖振程度；Vicente P V采用邊界層設計法設計了飽和函數來替代原控制函數中的開關函數；張天平學者則考慮利用模糊邏輯的方法來使控制函數連續化；學者李琳提出采用神經網絡來設計滑模面。高為炳提出的趨近律概念可通過適當調整趨近律式中的參數來有效削弱抖振，具有設計簡單可操作性強的特點，故在滑?？刂浦胁捎泌吔傻姆绞絹砀纳贫墩瘳F象[8,9]。

本文對導彈的縱向平面進行分析，設計基于滑模變結構的綜合考慮自動駕駛儀的動態特性和有限時間收斂的新型導引律，使導彈滿足更高的制導精度。

1 彈目制導模型的建立

這里考慮軸對稱尋的導彈的制導模型，導彈的縱向平面和側向平面的分析是相似的，故在這里只做導彈縱向平面的導引律分析，同理可將該導引律的設計思路應用到側向平面。

將導彈和目標定義為兩個運動質點，分析導彈和目標在平面內相對運動關系，圖1為縱向平面攔截示意圖。

圖1 彈目相對運動關系

由圖1可得出以下彈目相對運動方程

(1)

(2)

(3)

(4)

式中wR,uR分別為目標和導彈加速度在視線方向上的分量，wq，uq分別為目標和導彈加速度垂直于視線方向上的分量。

(5)

用二階動態環節來近似逼近導彈自動駕駛儀的實際高階動態特性

(6)

式中ζ和ωn分別為導彈自動駕駛儀的阻尼比和自振頻率，u為導彈自動駕駛儀輸入的加速度指令，aM為自動駕駛儀輸出給導彈的加速度指令。

在式(6)中考慮到導彈模型的氣動參數偏差會造成不確定性誤差，這里用Δ來表示，則可得縱向平面內考慮導彈自動駕駛儀二階動態特性的制導模型

(7)

在制導模型式(7)中含有目標機動加速度，它一般是難以準確估計的，導彈模型也存在不確定性，但目標機動加速度和導彈模型的不確定性通常是有界的。因此，將這兩部分看作是建模誤差。假設|aT|<ε和|Δ|<ρ(ε和ρ均為正常數)來對式(7)進行變換。

定義狀態變量

(8)

對x1關于時間求導可得

=x2+Δ1

(9)

對x2關于時間求導可得

(10)

對x3關于時間求導可得

(11)

=a1x1+a2x2+a3x3+bu+Δ3

(12)

故變換后的考慮導彈自動駕駛儀二階動態特性的制導模型式為

(13)

2 導引律的設計與分析

2.1 設計滑模面

考慮到滑模控制的優越性，在這里采用滑?？刂频姆绞絹碓O計導彈的新型導引律。

首先定義滑模面

S=C1x1+C2x2+C3x3

(14)

式中Ci均為不為零的常數。

抖振是滑?？刂频淖畲笕毕?，為盡量削弱抖振對制導系統的影響，采用指數趨近律來改善滑模到達過程的品質[13]。指數趨近律的表達式如式(15)

(15)

通過適當調整參數k和ε來保證趨近切換面的時間和運動點到達切換面時的速度的指標達到最優。

對滑模面S關于時間求導

C3bu+C1Δ1+C2Δ2+C3Δ3

(16)

根據式(15)和式(16)，設計導引律為

u=-(C3b)-1[C3a1x1+(C1+C3a2)x2+

(C2+C3a3)x3+KSp/q+ρsgnS]

(17)

K為正常數，q和p為正奇數，且q

2.2 穩定性分析

將設計的導引律式(17)代入式(16)，可得

(18)

前面已經假設目標機動加速度和導彈模型的不確定性有界,所以令

|C1Δ1+C2Δ2+C3Δ3|≤ρ

(19)

選取Lyapunov函數

(20)

對上式時間求導，得

≤-KSp/q+1-ρ|S|+|S||C1Δ1+C2Δ2+C3Δ3|

≤-KSp/q+1=-K(2V)(p/q+1)/2

=-2(p/q+1)/2KV(p/q+1)/2

(21)

根據文獻[2]中對非線性系統有限時間穩定定理的闡述可知，制導系統狀態將在tr內到達滑模面，然后繼續在滑模面上運動直到狀態收斂為零。該制導系統有限時間穩定

(22)

2.3 導引律的改進

設計的導引律中含有符號函數項，這是一個非連續的開關函數，容易造成制導系統的抖動[13]。為了消弱抖動，需要用一個連續函數來代替這個非連續函數。由雙曲正切函數的曲線圖?？芍猼anh(x)在定義域-π

改進后的考慮自動駕駛儀動態特性的有限時間導引律為

(23)

式中δ為一個正常數，仿真中,δ=0.1。

3 仿真驗證

參考相關文獻資料設計的導引律中各參數值分別為C1=60,C2=15,C3=1,q/p=7/9,K=3,ρ=0.1;導彈的可用過載加速度為40gn，gn為重力加速度。根據導彈設計的要求和實際工程經驗，選取導彈自動駕駛儀動態參數為ζ=0.6，ωn=8 rad/s，導彈模型不確定性為Δ=5 %um/s2。這里分別對導彈進行非機動、常值機動和正弦機動三種情況的仿真分析。彈目初始條件值設置如表1所示。

表1 仿真所需參數初始值

圖2所示是目標非機動時的導引律仿真圖。

圖2 導引律曲線

由圖2可以看出在0.5 s后原始設計的導引律出現抖振，而改進后的導引律曲線平滑并能很好地代替原來設計的導引律。

這里采用經典的比例導引律與改進的新型導引律進行對比。比例導引律的表達式為

(24)

式中K為比例系數， 通常取值為2～6[7]，這里選取K為4。

用ADFTCG表示所設計的考慮自動駕駛儀動態特性的有限時間導引律，PNG表示比例導引律。關于導彈不機動、在縱向平面進行20 m/s2的常值機動及在縱向平面進行aT=50sin(2πt/0.5)m/s2的正弦機動的脫靶量結果如表2所示。

表2 三種機動情形下的脫靶量

三種機動情形下視線角速率變化如圖3(a)、圖4(a)、圖5(a)，加速度指令仿真如圖3(b)、圖4(b)、圖5(b)。

圖3 目標非機動仿真

圖4 目標常值機動仿真

圖5 目標正弦機動仿真

由仿真結果圖3～圖5可看出:設計的導引律能使制導系統在有限時間收斂。經計算得到制導時間為2.278 1 s。由圖3～圖5可看到:考慮了導彈自動駕駛儀動態特性的導引律可以更加迅速地響應目標的機動變化，兩種導引律的視線角速率均接近零，直到制導即將結束才有發散。在制導快結束時比例導引律的視線角速率比新型導引律先發散，這也是造成它脫靶量更大的原因。結合脫靶量的結果來看，設計的新型導引律具有更高的制導精度。

4 結 論

考慮到制導末段的時間有限，參考滑模控制理論和有限時間穩定定理在導彈的縱向平面設計了一種基于滑?？刂频目紤]導彈自動駕駛儀動態特性的有限時間收斂導引律。同時為減弱滑?？刂圃斐傻亩墩癫捎秒p曲正切函數改進了導引律。仿真結果表明設計的新型導引律曲線平滑，可以使導彈在有限時間內迅速跟蹤上目標運動，有效補償了自動駕駛儀的延遲特性。設計新型導引律極大提高了導彈的制導精度，更貼合現代戰爭中對導彈打擊性能的要求。