基于Lyapunov穩定性理論的單軌跡車輛運動穩定性分析

韓忠磊，段 薇，周 濤，胡三寶

(1.武漢理工大學 現代汽車零部件技術湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430070；2.武漢理工大學 汽車零部件技術湖北省協同創新中心，湖北 武漢 430070；3.武漢船舶通信研究所，湖北 武漢 430079)

單軌跡車輛有兩個顯著的振蕩模態，weave和wobble模態。Wobble模態產生于轉向自由度，低速時更易發生，表現為轉向搖晃；weave模態包含了轉向、側翻、橫擺和側向自由度，高速時更易發生，表現為迂回穿行。Sharp在1971年研究了關于摩托車直線行駛穩定性的問題[1]，辨識出了非振蕩模態capsize模態及振蕩模態weave和wobble模態。之后Sharp論證了車架柔性對摩托車高速weave模態的影響[2]，柔性車架通過后輪與車身之間的線性彈簧-阻尼器來表征。Sharp還討論了摩托車輪胎動態特性不同假設下車輛weave模態和wobble模態的頻率響應[3]。Rajput等利用牛頓-歐拉法建立了較為簡單的單軌跡車輛模型[4-5]，對影響車輛行駛穩定性的轉向器阻尼、車輛質心位置等參數進行了根軌跡的圖解分析。文獻[6]研究了車輛穩態回轉時設計參數和道路摩擦對穩定性的影響。文獻[7]研究了單軌跡車輛模態辨識方法。

對于單軌跡車輛的穩定性分析一般是將模型線性化，考慮側向和縱向運動解耦，在不同車速下進行根軌跡分析。多數文獻指出，capsize模態即車輛的側傾模態是最重要的模態，因為它表征了單軌跡車輛側翻倒地自由度的穩定性，當capsize模態不穩定時，分析weave及wobble模態已然失去意義。而車輛設計參數、行駛工況、輪胎模型對capsize模態穩定性定量分析的研究較少。為了定量分析車輛參數對穩定性的影響，以齊次坐標推導了單軌跡車輛的9自由度動力學模型DOF9-BIKE，利用Lyapunov穩定性理論計算了單軌跡車輛直線行駛穩態運動穩定性的條件。

1 單軌跡車輛建模

單軌跡車輛模型包括：前、后輪，前、后總成，前非簧質量。前、后總成通過轉向器連接在一起。模型的9個自由度分別為：后總成質心3個方向的移動，車架的橫擺、俯仰和側傾運動，轉向運動以及前、后輪的回轉運動。如圖1所示。

圖1 單軌跡車輛DOF9-BIKE模型

1.1 多體動力學模型

全局坐標系的方向如圖1所示。由于齊次坐標矩陣對于空間剛體的位置和姿態描述較為簡便，計算方便，這里把5個部件各分配一個齊次坐標矩陣Ti：Ti={ui,wi,vi,Gi},i=1,2,…，5。前3個列向量為方向向量，分別為繞X、Y、Z旋轉的余弦矩陣，第4個列向量為平移向量，表示位置。

前總成坐標矩陣為T3，局部坐標系原點為X2Y2平面與轉向軸的交點P3={x3,y3,z3,1}T。X3Z3平面平行于前輪回轉平面，X3軸垂直于轉向軸向前，方向向量為u3={ux3,uy3,uz3,0}T；Y3軸平行于前輪軸，方向向量為w3={wx4,wy4,wz4,0}T；Z3軸方向向量為v3={vx3,vy3,vz3,0}T。

前非簧質量坐標矩陣為T5，局部坐標系原點利用齊次坐標變換為G5=T4{Gx5,Gy5,Gz5,1}T，其中Gx5,Gy5,Gz5為前非簧質量質心在前輪局部坐標系下的位置。方向向量為：u5=u3,w5=w4,v5=v3。

整個建模用到n=33個廣義坐標，包括G1,P3,G4位置坐標，各方向向量，以及與輪胎旋轉相關的廣義坐標θ1,θ4。則廣義坐標向量為：

q={x1,y1,z1,sx1,sy1,wy1,wz1,vx1,vy1,x3,y3,

z3,ux3,uy3,uz3,vy3,sx4,sy4,wy4,wz4,vx4,

vz1,vz3,vz4,x4,y4,z4,vy4,θ1,θ4,wx1,vx3,wx4}T

其約束方程為:

φj=0,j=1,2，…，g

其中g=n-9。

由于方向向量均為單位向量，則有：

φ1=|s1|-1φ2=|w1|-1φ3=|v1|-1

φ4=|s4|-1φ5=|w4|-1φ6=|v4|-1

φ7=|u3|-1φ8=|v3|-1

由圖1所示，滿足正交關系的向量應有：

φ9=s1·w1φ10=s1·v1φ11=v1·w1

φ12=s4·w4φ13=s4·v4φ14=v4·w4

φ15=u3·w4φ16=v3·w4φ17=u3·v3

φ18=w1·v3

向量G1P3垂直于平面Y3Z3，長度為l13，有：φ19=G1P3·w1,φ20=G1P3·v1,φ21=|G1P3|-l13。

圖1中，點R3=G4-lRu3必須在轉向系坐標Z3軸上，P3R3長度為l34，則有：

φ22=P3R3·w4,φ23=P3R3·u3,

φ24=|P3R3|-l34

1.2 輪胎模型

1.3 拉格朗日方程

帶約束的拉格朗日方程如下：

(1)

式中：K為系統動能；λj為拉格朗日乘子;Qi為廣義力。

式(1)可利用增廣法將其轉化為常微分方程，并通過Baumgarte穩定化方法可得到動力學方程如下[8-10]：

2 穩定性理論模型

研究單軌跡車輛在直線行駛時的穩定性問題實際上是研究其穩態運動的穩定性。為了研究的方便，將系統方程化為Воронец方程形式[11]。

(2)

(σ=1,2,…,ε)

(3)

(4)

(5)

(α=k+1,k+2,…,ε;ρ=1,2,…,m-ε;

τ,ν,σ=1,2,…,ε;β=1,2,…,g)

式中，L,F分別為系統拉格朗日函數和耗散力，上述條件意味著約束條件后面(n-m)個是Чаплытин約束(方程不顯含坐標但有其速度，且速度被消去，則消去后可獨立于約束方程進行研究)，剩下為一般形式的約束。坐標qα(α=k+1,k+2,…,ε)為循環坐標。此外還假設

(α,τ,δ=k+1,k+2,…,ε;ρ=1,2，…,m-ε)

(6)

第一組條件意味著，對循環速度沒有耗散；第二、三組意味著確保穩態運動流形存在，其維數不小于循環坐標和非完整約束數目之和。可以證明，在所指條件下，系統運動方程有解：

(7)

(α=k+1,k+2,…,ε)

(8)

式中，wij，uij,vij為系統方程泰勒展開后的系數項，式(8)顯然有(m-k)個零根，其余2k個根滿足式(9)。由Лялунов-Малкин定理成立有：在滿足式(4)～式(6)的非完整系統穩態運動的鄰域內，受擾運動特征方程的全部根λ除了(m-k)個外都在左半平面，那么穩態運動是穩定的(但非漸進穩定)。

(9)

3 模型驗證及穩定性分析

3.1 模型驗證

為驗證DOF9-BIKE模型的正確性，將模型在工況1下的仿真結果與BIKESIM結果進行對比。工況1設置為：2～4 s，驅動力矩150 N·m；5～7 s，側傾角為10°；7～10 s，側傾角為12°。其中側傾角利用PID反饋控制轉向力矩實現。仿真結果對比如圖2～圖6所示。

圖2 縱向速度對比

圖3 轉向力矩對比

圖4 側傾角對比

圖5 后輪垂向力對比

圖6 前輪側向力對比

兩種模型從靜平衡狀態開始施加后輪驅動力，由于DOF9-BIKE模型未考慮懸架，在驟加速和停止加速時，輪胎垂向力對比有明顯差別，但在完成加速后，輪胎垂向力大致相等。由于側傾角為反饋控制，故仿真結果基本吻合。BIKESIM模型從直線行駛狀態過渡到回轉狀態時，在懸架作用下，輪胎側向力較小，則車輛側向速度較小，即其縱向速度對比較大，故穩態回轉所需轉向力矩較小。由圖2～圖6可知，模型DOF9-BIKE和BIKESIM仿真結果曲線趨勢一致，且基本吻合，兩者結果的偏差是由車輛動態運動過程中懸架作用導致的。且考慮計算誤差，說明了所建立DOF9-BIKE模型的正確性。

3.2 穩態運動的穩定性

分析DOF9-BIKE模型，有滿足式(4)～式(6)的穩態解：

qi={wx1,vx3,z4,vy4,wx4}

qρ為除廣義坐標x1,y1,x3,y3外剩下的20個廣義坐標。將所建立模型DOF9-BIKE轉化為第2節所述形式，并得到系統特征方程式(9)。計算得到單變量下單軌跡車輛穩態運動穩定性條件，如表1所示。

表1 車輛穩定的單變量條件

為了驗證條件計算的正確性，在BIKESIM中改變車輛參數，在工況2下進行仿真驗證。工況2設置為：施加驅動力矩使車輛到達一定速度，9～10 s施加10 N·m轉向力矩。這里主要是研究單軌跡車輛受擾動的傾覆問題，故這里僅列出側傾角受擾變化曲線，如圖7～圖11所示。

圖7 縱向速度對干擾下的側傾角影響

由圖7可知，車速小于24 km/h時，施加干擾轉向力矩，車輛側傾角振蕩發散，終使車輛側傾倒地。當車速大于24 km/h，車輛受擾后能夠自動回正到側傾角為零的行駛狀態，車輛的穩態運動是穩定的。車速增大會使擾動側傾角減小但回復時間增加。

由圖8可知，轉向器阻尼在0.04～3 Nms/(°)范圍內可使車輛穩態運動穩定。3 Nms/(°)的阻尼在實車上是不會出現的，這里僅驗證條件計算的正確性。同樣，阻尼增大會使擾動側傾角減小但回復時間增加。

圖8 轉向器阻尼對干擾的下側傾角影響

圖9為輪胎側傾剛度對車輛穩定性的影響。這里側傾剛度是指由側傾角產生的輪胎回正力矩。當側傾剛度在0.1～4 Nm/(°)范圍內時車輛穩態運動是穩定的。適當增加側傾剛度不僅可以減小側傾角擾動，且可減小回復時間。

圖9 側傾剛度對干擾下側傾角影響

由圖10可知，當輪胎側偏剛度大于40 N/(°)時，可使車輛穩定。在滿足車輛穩定的條件下，增加側偏剛度可減小側傾角擾動。

質心X位置表示從前輪輪心至后總成質心的X向距離。由圖11可知，質心X向位置在130～1 350 mm范圍內車輛的穩態運動是穩定的。在穩定范圍之內適當前移可使擾動側傾角減小且減小回復時間。

圖10 側偏剛度對干擾下的側傾角影響

圖11 質心X向位置對干擾下的側傾角影響

4 結論

(1)以齊次坐標描述單軌跡車輛各部件的位置和姿態，考慮輪胎力矩，建立了9自由度非線性模型DOF9-BIKE。在典型工況下，仿真驗證了所建模型的正確性。

(2)將模型轉化為Воронец方程形式。根據Lyapunov穩定性理論計算了單變量下單軌跡車輛穩態運動穩定性的條件。從計算結果及驗證可以看出，車速超過某一限值，足夠的輪胎側偏剛度是保證單軌跡車輛穩態運動穩定性的必要條件。車速增大可使側傾角擾動幅值減小但回復時間增加，增大側偏剛度可減小擾動幅值。對于具體的車輛，轉向器阻尼、輪胎側傾剛度、質心位置都應滿足一定的取值范圍，才能使車輛穩態運動穩定。