多軸系耦合作用下齒輪系統轉子裂紋故障的振動特性研究

萬志國，訾艷陽，竇益華，李鎖斌

（1.西安石油大學 機械工程學院，西安710065； 2.西安交通大學 機械工程學院，西安710049）

齒輪傳動系統因具有傳動平穩、效率高、傳動精確等優點而被廣泛應用于航天航空、船舶、冶金、化工、交通運輸、工程機械等各個領域中。然而，齒輪傳動系統結構復雜，且常在高速、重載、變工況、非平穩的惡劣工況下運行，齒輪傳動系統的關鍵零部件往往容易受到不同類型的損傷。

故障機理反映故障的原因和效應，是實現機械故障診斷的基礎[1]。因此，國內外許多學者近年來開始通過動力學仿真研究故障的響應特征。2009年，Randall等建立了齒輪傳動系統的動力學模型，分析了軸承局部故障引起的動態響應特征[2]。2011年，陳再剛等建立齒輪傳動系統動力學模型，分析了齒輪裂紋沿齒寬方向不同裂紋對振動響應的影響[3]。2012年，馬銳、陳予恕等建立齒輪副扭轉系統動力學模型，分析了齒面剝落故障的故障機理[4]。韓振南等建立了考慮輪齒嚙合摩擦力的直齒圓柱齒輪轉子-軸承系統的動力學模型，研究了剝落缺陷對系統的動態響應的影響[5]。2014年，萬志國等提出了基于齒根圓修正的齒輪嚙合剛度修正算法，分析了齒根裂紋故障的振動響應特性[6]。2016年，雷亞國等考慮振動傳遞路徑時變效應的影響,建立了行星齒輪的動力學模型，求解得到行星輪系正常、裂紋及剝落時的動態響應[7]。2016年顏逸飛等構建船用行星齒輪減速器剛柔耦合動力學模型，并設置常見故障進行仿真[8]。2017年，丁闖等建立了行星齒輪系統的動力學模型，研究了齒輪裂紋對齒輪嚙合剛度的影響，得出了齒輪正常、太陽輪裂紋和行星輪裂紋等3種狀態下系統的頻率特征[9]。Liang 等在2018年分別綜述了齒輪故障的動力學分析與研究現狀[10]。

上述研究主要針對齒輪傳動系統中的齒輪故障進行研究，而對于旋轉機械的另一種常見故障—轉子裂紋故障研究相對不足。轉子裂紋故障被形象地稱為回轉機械安全運行的“癌癥”，具有難發現、易擴展、強破壞的特點。雖然一些綜述性文獻囊括了近幾十年關于轉子裂紋的研究成果，詳細闡述了轉子裂紋的剛度求解、轉子裂紋的動態特性以及轉子裂紋的識別方法[11-13]。但目前的研究成果大多集中于如壓縮機等單一軸系轉子系統[14]，對于齒輪傳動系統這種多轉子耦合的特殊系統的研究相對不足。因此本文將對此內容進行深入探討，以期獲得齒輪傳動系統轉子裂紋故障的振動響應特征，從而為該種類型故障的精確診斷提供理論依據。

1 齒輪傳動系統非線性動力學模型的建立

齒輪多轉子耦合系統非線性動力學模型建立過程如下：首先利用6 自由度Timoshenko 梁單元對主動軸、從動軸建模；然后利用Jones軸承建模理論，建立滾動軸承的擬靜力學模型，推導軸承單元的剛度矩陣；再次考慮時變嚙合剛度、齒輪傳遞誤差等，建立齒輪副非線性動力學模型；最后利用有限元模型集成理論，建立齒輪多轉子耦合系統非線性動力學模型。

1.1 彈性轉軸系統動力學模型的建立

根據有限元理論的基本思想，對彈性轉軸進行建模時，沿轉軸軸線把轉軸劃分為若干個軸段。如圖1所示，每個軸段單元采用2 節點的Timoshenko梁單元模型，每個節點包括x、y、z3個方向的位移以及θx、θy、θz3個方向的轉動自由度。

圖1 Timoshenko梁單元模型

根據拉格朗日方程可得彈性轉軸的動力學方程

式中：Qe為彈性軸段所受的廣義力向量，Ke單元剛度矩陣、Me為單元質量矩陣、Ge為陀螺矩陣。

1.2 基于Jones軸承建模理論的軸承非線性模型

軸承高速旋轉過程中，在外載荷作用下，軸承內、外圈、球心的相對位置會發生變化。基于Jones軸承模型，軸承受力變形后的軸承內部幾何關系如圖2所示。

圖2 軸承內、外圈與滾動體的幾何關系

圖中，Oo為軸承外圈滾道的曲率中心，Oi為軸承內圈滾道的曲率中心，Ob為滾動體球心位置，O'i為受載后軸承內圈滾道的曲率中心，O'b為受載后滾動體球心位置，θok、θik分別為受載后滾動體與內、外圈的接觸角，Xik、Yik內外圈曲率中心的軸向距離和徑向距離。

考慮滾動軸承的離心力、陀螺力矩、慣性力、摩擦力，建立任意受載的滾動體擬靜力學分析模型[15-16]。使用Newton-Raphson方法可求出滾動體與外圈、內圈的接觸變形δik、δok，進而由圖2中的幾何關系可求出接觸角θ，再由赫茲接觸理論可得滾動體和套圈的接觸力Qik、Qok。

將所有滾珠與軸承內圈之間的接觸力進行疊加，與軸承內圈所承受的外力平衡，可得滾動軸承的非線性接觸力和力矩為

式中：roc=Dm/2-(fo-0.5)Dcosθ,Mgk為滾珠的陀螺力矩，fi為內圈曲率半徑常數。

將力對位移求導，即可得到軸承的剛度矩陣

1.3 齒輪副系統非線性動力學模型

考慮齒輪系統的時變嚙合剛度、幾何傳遞誤差、幾何偏心、齒輪的陀螺效應等影響因素，建立如圖3所示的齒輪副系統動力學模型。圖中：u、v、θu、θv為橫向振動方向自由度；θx為扭轉振動方向自由度；O1和O2為齒輪靜止不動時的中心；O′1和O′2為齒輪轉動時的中心；G1、G2為齒輪的幾何中心。

圖3 齒輪副傳動系統動力學模型

根據力與力矩平衡原理，該齒輪副系統的動力學方程可以表示如下

式中：x=μ1+r1θ1-μ2+r2θ2,es=e2sinθ2-e1sinθ1+et，M表示齒輪的質量；Jd和Jp表示齒輪的直徑轉動慣量與極轉動慣量；Km和Cm表示齒輪傳動系統的時變嚙合剛度與嚙合阻尼；r表示齒輪的基圓半徑；e表示齒輪的幾何偏心；ω表示齒輪的轉動角速度；et表示齒輪副幾何靜態傳遞誤差；字母下標“1”和“2”分別表示主動輪與從動輪。

將齒輪副的動力學方程表示為矩陣的形式，矩陣表達如下

式中：Mg、Cg、Gg、Kg為齒輪副系統的質量、阻尼、陀螺、阻尼矩陣；Qg為廣義力向量。各矩陣詳細表達式見參考文獻6。

1.4 齒輪傳動系統動力學模型的建立

齒輪傳動系統的動力學模型如圖4所示。

圖4 齒輪傳動系統動力學模型

首先按照節點順序組裝主動與從動轉動軸的動力學模型；然后根據齒輪與軸承所在的節點，將齒輪副系統的質量、剛度、陀螺矩陣以及軸承系統的剛度矩陣疊加到彈性軸單元質量、剛度、陀螺矩陣相應的位置上，形成齒輪傳動系統動力學模型。齒輪傳動系統的動力學方程的矩陣表達形式可表示為

式中：M、C、G、K為齒輪傳動系統的質量、阻尼、陀螺、阻尼矩陣，F為廣義力向量。

2 基于應力強度因子為零法的轉子裂紋呼吸效應分析

2.1 基于能量釋放率理論的裂紋單元剛度求解

裂紋的轉子單元模型如圖5所示。假設其長為l，且受到軸向力P1、P7，剪力P2、P3、P8、P9，扭矩P4、P10，及彎矩P5、P6、P11、P12等12個恒定外力的作用。每個節點考慮6個自由度，裂紋距單元體左端的距離為x。

圖5 轉子裂紋單元模型

由材料力學的卡氏定理可得，由裂紋單元的引起的附加柔度系數為

式中：Uc為由轉子裂紋引起的附加應變能。

根據斷裂力學能量釋放率理論可知，裂紋從開始出現到裂紋的形成和擴展所需要的能量Uc為

式中：E=E/(1-v2)，ms=1+v；KⅠi、KⅡi、KⅢi為在各外力的作用下的Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型裂紋所對應的應力強度因子，v為泊松比。

將公式（17）代入公式（16）得到由裂紋的引起的柔性系數為

將公式（18）所求得的附加柔性系數寫為矩陣的形式，然后與無裂紋轉子的單元的柔性系數矩陣相加得到裂紋單元的柔性系數矩陣F，最后對其求逆可得到裂紋單元的剛度矩陣Kc。

2.2 基于應力強度因子為零法的裂紋單元呼吸效應建模

如何精確地、準確地描述裂紋轉子系統的“呼吸效應”是研究裂紋轉子系統動力學特性的關鍵。本文利用“應力強度因子為零法”[17-18]來模擬裂紋的呼吸效應。應力強度因子為零法認為：當裂紋處于張開狀態時，該處受拉應力，應力強度因子K大于零。當裂紋處于閉合狀態時，該處所受為壓應力，應力強度因子K小于零。若裂紋邊界線某點處K值為零，則此點被稱為裂紋開閉位置。若由此點做一條與裂紋邊界線垂直的直線作為裂紋的開閉區域的分界線，那么此線被稱為裂紋開閉線。

圖6 裂紋開閉線模型

利用公式（18）求解裂紋單元的附加柔性系數時，對于全開裂紋，用來計算裂紋轉子柔性系數的積分上下限為-b到b。對于處于其他狀態的轉子裂紋需要通過裂紋開閉線來確定積分的上下限。確定的步驟如下：

（1）如圖5所示，首先沿裂紋邊界將其分為n份,本文中分為50份。

（2）隨著轉子的轉動，在不同轉角下，分別計算裂紋邊界線上50 個點處的Ⅰ型裂紋尖端的總應力強度因子K。

（3）將總應力強度因子K為零的點作為裂紋開閉區域的分界點。然后將該點作為公式（18）積分的上限或下限。

3 含轉子裂紋故障的齒輪轉子耦合系統動力學特征分析

針對如圖3所示的齒輪傳動系統，假設裂紋位于主動輪轉軸靠近齒輪處，裂紋單元長度L=65 mm，單元直徑為d=30 mm，建立含轉子裂紋故障的齒輪傳動系統動力學模型。其他齒輪參數如表1所示。

表1 齒輪參數

下文將在該模型的基礎上分析裂紋的“呼吸效應”、含轉子裂紋故障的齒輪傳動系統的穩態響應以及瞬態響應。

假設齒輪輸入軸轉頻為f=8 Hz，嚙合頻率fp=440 Hz。采用Newmark-β數值積分法求解含轉子裂紋故障的齒輪傳動系統的動力學方程，可得系統的動力學響應。在求解過程中，裂紋單元的節點力不斷變化；因此在采用Newmark-β數值積分法求解方程時，每一個積分步長內要重新計算節點力，確定裂紋開閉線位置，更新系統剛度矩陣，再計算下一個積分步長內的系統響應。

3.1 轉子裂紋的“呼吸效應”分析

以裂紋相對深度0.4（裂紋深度與轉子直徑之比）為例，裂紋單元剛度系數在2個轉動周期內的變化趨勢及其頻譜如圖7所示。

由圖6(a)發現:裂紋單元的“呼吸效應”由兩種周期成分組成；幅值波動較大的長周期成分（圖中虛線所示）的頻率為轉動頻率，主要是重力的作用引起的裂紋呼吸；幅值波動較小的短周期成分（圖中局部放大所示）的頻率為嚙合頻率，主要是由齒輪嚙合的動態嚙合力引起的裂紋呼吸；齒輪傳動系統多轉子耦合引起的這種轉子“裂紋呼吸”長短周期相互疊加耦合特點與單軸系轉子裂紋有著一定的區別。對圖6(a)的時域波形做傅里葉變換得到頻譜如圖6(b)所示，在該圖中可以發現明顯的轉頻及2倍頻成分；此外還可發現嚙合頻率成分，并且嚙合頻率附近具有轉頻及其倍頻的邊頻帶，說明系統的轉頻與嚙合頻率發生了調制現象。

3.2 轉子裂紋故障的振動特性

3.2.1 含轉子裂紋故障的齒輪傳動系統的穩態響應分析

采用Newmark-β數值積分法求解含轉子裂紋故障的齒輪傳動系統的動力學方程，得到含轉子裂紋故障的齒輪傳動系統的振動響應如圖8所示。

由圖8可知：當齒輪傳動系統發生轉子裂紋故障時，振動信號時域中最明顯的故障特征是幅值調制現象，載波與調制波分別為嚙合頻率與轉頻；頻譜中轉頻及其2 倍頻幅值增加明顯，在嚙合頻率處會有明顯的邊頻帶。引起這種現象的主要原因是裂紋呼吸導致的；轉子裂紋的呼吸效應導致轉子的剛度系數以圖7所示的波形周期性變化，周期性波動既有頻率為轉頻的長周期成分，又有頻率為嚙合頻率的短周期成分。兩種頻率成分相互耦合疊加導致剛度系數產生調制現象成為系統的動態激勵源。另外齒輪傳動系統本身的激勵源—時變剛度嚙合，傳動誤差的變化頻率即為嚙合頻率，引起系統嚙合頻率的振動，在多種種動態激勵的作用下最終產生了幅值調制的系統振動響應。

當單軸系轉子系統發生轉子裂紋故障時，其響應及其頻譜中會出現較為明顯的2 倍頻成分，這種特征經常被視為轉子發生裂紋故障的重要征兆。而對于齒輪傳動這種多轉子耦合系統而言，通過研究發現：當系統發生轉子裂紋故障時，由于齒輪嚙合引起的耦合效應，往往表現出不完全相同于單軸轉子系統轉子裂紋故障的故障特征。因此在對齒輪傳動系統進行故障診斷時，可通過2 倍頻、幅值調制、邊頻帶等特征綜合來判斷系統是否發生轉子裂紋故障。

3.2.2 含轉子裂紋故障的齒輪傳動系統的瞬態響應分析

齒輪耦合多轉子系統加速過程含有豐富的狀態信息。某些在穩態響應中難以發現的故障特征可以很好地在瞬態中得以體現。假設系統輸入軸轉頻在10 s 時間內由0 Hz 線性增加到40 Hz。圖9為通過動力學仿真得到的正常與含轉子裂紋故障的齒輪傳動系統的瞬態響應。圖8中標注的箭頭為共振峰發生的時刻與頻率。通過對比正常與含裂紋故障的齒輪傳動系統的瞬態響應可以發現，正常齒輪轉子系統的第一個共振峰發生的時間為3.11 s，而含轉子裂紋故障的齒輪轉子系統的第一個共振峰發生的時刻為2.51 s。圖8(c)與圖8(d)為加速信號的短時傅里葉變換。通過對比可以發現，正常齒輪轉子系統的第一個共振峰的頻率為678.7 Hz，而含轉子裂紋故障的齒輪轉子系統的第一個共振峰的頻率為546.9 Hz，這說明當齒輪轉子系統發生轉子裂紋故障時，系統的固有頻率會有所減小。圖8(e)與圖8(f)是圖8(c)與圖8(d)的低頻部分的局部放大。與圖8(f)相比，圖8(e)幾乎沒有任何頻率成分，而圖8(f)含有豐富的轉頻率及其倍頻信息。因此通過以上分析可以得出以下結論：當齒輪轉子系統發生裂紋故障時，系統固有頻率的減小與信號轉頻及其倍頻成分的明顯增強可以作為轉子裂紋故障的重要特征。

圖7 裂紋單元剛度系數K11

圖8 齒輪傳動系統的穩態響應

圖9 齒輪傳動系統的瞬態響應

4 結語

本文基于Jones軸承建模理論、Timoshenko梁單元建模理論以及齒輪副系統非線性建模理論建立了齒輪傳動系統的動力學模型；基于能量釋放率理論推導了裂紋單元的剛度矩陣；通過應力強度因子為零法分析了裂紋單元的“呼吸效應”。針對含有轉子裂紋故障的齒輪傳動系統，研究了含有轉子裂紋故障的齒輪傳動系統的穩態響應及瞬態響應，得出主要結論如下：

（1）通過對裂紋呼吸效應的分析可以得出：對于齒輪傳動這種多轉子耦合系統發生轉子裂紋故障時，裂紋單元引起的裂紋“呼吸效應”與單軸系轉子裂紋存在著一定的區別。這種區別表現為齒輪傳動系統轉子裂紋單元的“呼吸效應”由兩種周期成分組成；幅值波動較大的長周期成分的頻率為轉動頻率，主要是在重力作用下引起的裂紋呼吸；幅值波動較小的短周期成分的頻率為嚙合頻率，主要是由齒輪嚙合的動態嚙合力引起的裂紋呼吸。

（2）通過對穩態響應的分析可以得出：與常見的單軸轉子系統轉子裂紋的振動響應特征不同，當齒輪傳動系統發生轉子裂紋故障時，系統響應表現出明顯的幅值調制現象，調制波與載波頻率分別為故障軸的轉頻與齒輪傳動系統的嚙合頻率。因此在對齒輪傳動系統進行故障診斷時，可通過2倍頻、幅值調制、邊頻帶等特征綜合來判斷系統是否發生轉子裂紋故障。

（3）通過對瞬態響應的分析可以得出：當齒輪轉子系統發生裂紋故障時，系統固有頻率的減小、信號轉頻及其倍頻成分的明顯增強可以作為轉子裂紋故障的重要特征。