基于時變增益水文模型的實時預報研究

劉慧媛，夏 軍,，鄒 磊，洪 思

(1. 武漢大學 水資源與水電工程科學國家重點實驗室，武漢 430072；2. 中國科學院地理科學與資源研究所 陸地水循環及地表過程重點實驗室，北京 100101)

近年來，強降雨洪水頻發，特別是暴雨洪水誘發的自然災害經常發生，洪澇災害已然成為影響社會經濟健康發展的一大隱患。現階段，我國大江大河因為修建了大量工程設施以及采用了先進的非工程措施取得了很好的防洪效果，但在中小流域，由于其降雨徑流非線性特性顯著，洪水預報問題依然面臨著十分嚴峻的局面。

目前，洪水預報從簡單的概念性水文模型、數學物理模型、非線性系統理論模型及與物理過程聯系的分布式流域水循環模型等[1]，發展到后來的與GIS 和 RS 等技術結合的復雜數字流域水文模型，已取得了快速的發展和應用。國內外很多學者針對洪水預報模型已作了大量的研究工作，如斯坦福流域水文模型[2](SWM)、薩克拉門托模型[3](SAC)、水箱模型[4](TANK)、新安江模型[5]、SHE 模型[6]、SWAT模型[7]、TOPMODEL模型[8]、VIC模型[9]等。我國水文學者夏軍依據 Volterra 泛函級數表達的降雨徑流非線性系統理論，利用從復雜水文關系找出簡單關系的非線性系統分析，提出了水文非線性系統理論的時變增益模型 (Time Variant Gain Model，簡記為TVGM) 。論述了造成降雨徑流系統關系非線性的主要原因是產流過程中由于土壤濕度(即土壤含水量)的變化會導致產流量發生變化[10]。該模型參數少、結構簡單，能以一種簡單的系統關系模擬復雜非線性水文過程，模擬效果良好。

然而絕大多數中小流域地形復雜，下墊面條件空間分布不均，一般模型難以精準概述研究區域的整體情況。除此之外，由于人類活動的影響，很多地區其自然環境發生了一定程度的變化，使得長時期內流域產匯流規律變化較大[11]。而現如今，廣泛使用的水文預報模型是由歷史實測降雨和徑流資料率定得到的，以大多數洪水能取得好的預報結果為優選準則，尋求最佳模型參數，其反映的是研究區域長期下墊面條件的平均情況，并不能準確描述每一場洪水的徑流過程[12]。除此以外，歷史資料的缺失或觀測誤差及模型結構的不確定性等問題，也會使得傳統模型在預報時，常常無法避免地出現誤差[13]。因而要想直接從模型下手，構建結構簡單、參數較少、精度夠好的預報方案具有較大的難度。所以為了提高預報精度，有必要在構建水文模型之外采取一定的實時校正技術來修正預報誤差。實時校正就是實時地計算水文預報模型最新出現的預報誤差，并以此為依據，對模型參數、狀態、預報輸出值進行修正，及時地對系統本身的動態變化進行跟蹤并利用新的觀測信息，從而使預報系統迅速適應現實的狀況，以此來提高水文預報的精度。目前常用的實時校正方法可以分為兩類：第一類是對模型內部參數進行跟蹤校正，此方法一般精度較高，但同時需要明確流域產匯流規律，對實測資料要求高，故而這類實時校正方法難以在實測資料匱乏的地區廣泛適用。第二類是利用預報誤差序列，直接對預報輸出值進行校正，此方法在有效消減誤差的同時盡可能簡化誤差處理部分，對實測資料要求低，水文模型與實時校正模型之間具有一定的獨立性，可與多種預報模型聯合使用，可應用范圍較廣。

本文基于時變增益水文模型，采用具有可變遺忘因子的遞推最小二乘法對模型計算輸出值進行實時校正，目的在于提升模型預報效果，提高中小流域洪水預報的精度。時變增益模型本身具有參數少、結構簡單的優點，不僅能較好地模擬產匯流過程，且對無資料地區也具有很強的適用性。在實時校正方面，目前有很多研究采用的是第一類校正方法，即對模型參數進行校正，需明確水文模型的物理機理，可供研究的模型有限，如新安江模型[13]、水箱模型[14]等，實時校正過程計算起來也相對復雜。對時變增益模型計算結果進行實時校正，是在結構簡單的模型基礎上，采用相對簡化的實時修正技術，計算量大大減少，會一定程度地提高模型的時效性。除此以外，研究表明該方法能夠取得突出的模擬效果，因而不失為一種運行高效且計算精度良好的預報方案，對于防洪減災具有重要意義。

1 水文非線性時變增益模型

時變增益模型是夏軍教授于1989-1999年期間，在參加愛爾蘭國立大學的國際河川水文預報研討班時提出的一種非線性系統模型。傳統的水文線性理論假定系統的增益(Gain factor)為一固定常數。然而夏軍教授，通過分析全球60多個不同氣候區域的流域實測長序列水文資料后，發現其增益并非常數，它與土壤濕度、流域下墊面特性以及氣候特性等影響因素息息相關，并表現出地球水文系統固有的指數關系[10]。本文采用改進后的多水源水文時變增益模型[15]，將產匯流分別分為地表和地下兩部分，以下為具體計算公式。

1.1 產 流

(1)在地表產流中，可利用系統增益G(t)與毛雨X(t)的乘積來表示有效凈雨Rs的值。其中，通過單一線性水庫系統來計算流域土壤前期影響雨量API的值，進而利用產流參數與API來計算系統增益G(t)。

Rs(t)=G(t)X(t)=[g1+g2API(t)]X(t)

(1)

式中：g1和g2均為地表產流參數。

(2)在計算地下產流量時，有效凈雨Rg可表示為產流參數與API的乘積。

Rg(t)=g3API(t)

(2)

式中：g3為地下產流參數。

1.2 匯 流

(1)地表匯流采用Nash單位線進行計算，但獲取到的凈雨資料一般為離散形式，因而通常是將瞬時單位線u(0,t)轉換為時段單位線q(Δt,t)，再由式(3)即可計算得到地面匯流量Qs。

(3)

(2)地下水匯流量Qg本文選用線性水庫演算法。

Qg2=Rg(1-KKG)U+KKGQg1

(4)

(5)

式中：KKG為產流參數；U為折算系數；F為流域面積，km2；Δt為時間步長，本文為1 h。

2 模型參數識別原理和方法

系統識別指的是通過觀測一個系統或過程的輸入-輸出關系來確定該系統過程的數學模型[10]，也叫參數率定。本文采用SCE-UA算法[16]進行模型參數率定。該算法綜合了隨機搜索、確定性搜索和生物進化等方法的優點，在算法中引入種群概念[17]。使復合形點在可行域內被隨機生成和演化，通過對各個復合體的定期洗牌和重組來確保每個復合體獲得的信息在整個空間范圍內得到共享，以產生最優點從而達到率定參數的目的。大量實驗研究成果表明，該算法優化效果良好，能夠快速、一致、穩定地收斂到全局最優解。

3 實時校正及方法

科學技術的進步大大提高了水文預報的預測精度，延長了預見期。但對于許多洪水事件，特別是暴雨洪水，由于其復雜多變的特征，現有的洪水預報技術還不完善，還不能滿足社會對洪水預報的及時性和可靠性的要求。絕大多數水文模型都是利用歷史資料確定好模型參數，然后用于未來洪水預報，即研究的是時不變的離線系統。這種方式在洪水預報預警中常常得不到令人滿意的結果。洪水預報誤差主要來源于以下幾個方面：①初始狀態誤差：模型的初始值由于前期資料的缺乏具有不確定性，因而會產生一定誤差；②模型結構誤差：任何一種模型都不能完整描述復雜多變的降雨徑流關系，目前還沒有天衣無縫的模型結構；③參數識別的誤差：率定得到的參數與其真值之間總會有一定的誤差，任何一種率定方法都不能得到完美的率定值。且參數會因外部條件的改變而發生變化，多場洪水資料率定的結果并不能保證會適用于未來每一場洪水；④觀測誤差：受客觀條件影響，觀測值會有一定的誤差。

為了對系統本身的動態變化進行跟蹤和利用新的觀測信息，就需要對水文預報模型采用“在線”識別的方式進行實時校正。實時校正的核心技術是利用“新信息”對系統模型進行實時地修正。目前在洪水預報中，常用的實時校正算法有：誤差自回歸校正算法；卡爾曼濾波法；遞推最小二乘法；等。誤差自回歸算法[18]在實際模擬過程中首先需要確定模型的階數，并選用合適的方法進行系數估計。而卡爾曼濾波法[18]需要將模型線性化，校正模型建立不易，且易受狀態向量、觀測向量選擇的影響，受噪聲協方差矩陣影響較大，可能出現校正效果不穩定的問題。故本文采用具有可變遺忘因子的遞推最小二乘法對模型計算結果進行實時校正。

最小二乘法的實質就是讓實測數據和預報數據之間的距離平方和最小。而遞推最小二乘法就是在它的基礎上改進的，省去了求逆的步驟，其核心是根據現時輸入的信息來實時更新預報誤差的權重，以達到實時校正的目的。將可變的遺忘因子λ引入遞推最小二乘法中，能夠避免出現“數據飽和”現象，同時能夠快速跟蹤系統變化[19]。

算法的計算步驟如下：

(1)給定初始值θ(0)、P(0)、R。

(2)已知{y(t),t=0,1,…,T}為實時觀測的流量序列與模型模擬流量序列的殘差序列。

(3)設t=0。

(4)校正后的殘差序列：

(6)

矩陣X為：

X(t)=[y(t-1),y(t-2),…,y(t-m)]

(7)

式中：n為模型階數。

(5)進行第t+1次采樣得y(t+1)。

(6)計算增益矩陣：

(8)

(7)計算遺忘因子：

(9)

當λ(t+1)<λmin時，λ(t+1)=λmin；當λ(t+1)>λmax時，λ(t+1)=λmax；

使得λ控制在一定范圍之內，并且有0<λ<1， 愈小，對系統變化的跟蹤能力就越強，但估計誤差會變小。

(8)修正參數估計：

(10)

(9)將校正后的殘差序列疊加到模型模擬流量序列上得到校正后的流量序列，若序列全部校正完畢則結束，否則令t=t+1，轉到(4)。

4 實例應用

本文選取湖北省3個中小流域(高家堰、西河驛、漁洋關)作為研究區域，搜集整理各流域多年次洪資料(時間步長為1 h)，應用TVGM模型進行次洪模擬，并進行實時校正。將多場洪水按要求劃分為率定期和檢驗期，首先在率定期進行參數率定，得到優選的模型參數；繼而在檢驗期對模型進行檢驗，并在檢驗期實行實時校正，將校正后的結果與初始洪水預報結果作對比分析。表1所示為研究區域的基本信息。

表1 所研究中小流域基本信息

4.1 高家堰流域次洪模擬

該流域設有高家堰水文站，位于東經111°03′，北緯30°36′，地處長陽土家族自治縣高家堰鎮，河名為丹水，流域面積334 km2。測驗河段順直長400 m，河床全部由卵石組成，斷面沖淤頻繁。兩岸為高山，植被覆蓋度良好。右岸灘栽種有柳林，左岸為公路，路基由塊石砌坎。本站控制流域多年平均降水量為1 567.2 mm，歷時實測年最大降水量達2 307.4 mm。該流域內有4個配套雨量站，它們分別是堡子、白沙驛、染房坪和高家堰雨量站。圖1展示了流域水系及站點分布。

(1)模型參數率定值如表2所示。

表2 參數率定值

(2)檢驗期各場次洪水模型模擬結果如圖2所示。

圖1 高家堰流域水系及站點分布圖

4.2 西河驛流域次洪模擬

西河驛流域位于東經115°26′～115°51′，北緯30°14′～30°38′，河名蘄水，流域面積1 971 km2，干流總長120 km。西河驛水文站位于距河口23 km處，該站斷面以上流域集水面積占流域總面積的91%，為1 800 km2。流域地勢為東北高，西南低，上游為山區，中、下游為丘陵、平原區。當地屬亞熱帶季風性濕潤氣候，流域多年平均年降雨量為1 384.6 mm，年最小降雨量出現于1968年，為800.6 mm，最大降雨量出現在1954年，為2 292.9 mm，多年平均徑流系數為0.51。本流域內有9個配套雨量站，它們分別是大同、花園、劉河、獅子口、獅子堰、田橋、望天畈，張家榜、株林河雨量站。圖3展示了西河驛流域水系及站點分布狀況。

(1)模型參數率定值如表3所示。

表3 參數率定值

圖2 高家堰流域各場次洪水模擬效果圖

(2)檢驗期各場次洪水模型模擬結果如圖4所示。

4.3 漁洋關流域次洪模擬

漁洋關水文站位于湖北省宜昌市五峰土家族自治縣漁洋關鎮，東經111°04′，北緯30°10′，屬清江一級支流漁洋河的代表站，集水面積465 km2。測驗河段較順直，長約300 m，河床由卵石組成，沖淤變化較小常年保持穩定，水位流量關系控制條件良好。本流域內有4個配套雨量站，它們分別是王家沖、長樂坪、高橋、漁洋關。圖5展示了漁洋關流域水系及站點分布狀況。

(1)模型參數率定值如表4所示。

圖3 西河驛站流域水系及站網分布圖

參數名稱g1g2g3NKKKG參數值0.35 0 0.58 1.67 20.00 0.80

(2)檢驗期各場次洪水模型模擬結果如圖6所示。

4.4 總結與分析

表5給出了各流域檢驗期實時校正前后結果對比。

表5 各流域校正前后對比表

綜合上述結果來看，時變增益模型在高家堰、西河驛、漁洋關3個流域有著較好的模擬效果。檢驗期總體納什效率系數均值為0.78；峰現時間預報合格率在3個流域分別為乙級、未達丙級、甲級；洪峰流量預報效果相對較差，在漁洋關流域達乙級標準，在高家堰和西河驛流域均未達丙級，尤其在西河驛流域，由圖4(c)、圖4(e)、圖4(h)可以看出，當流域面積較大，洪水洪峰流量偏大時，模型預報值與實測值間的偏差會較大。采用具有可變遺忘因子的遞推最小二乘法對模型進行實時校正后，預報效果有了顯著的提高。由圖2(c)、圖4(d)、圖4(e)、圖4(g)、圖4(h)可以看出，校正后的峰現時間都更加接近實測值；由圖2(a)、圖2(f)、圖4(c)、圖4(e)、圖4(g)、圖4(h)可以看出，洪峰流量預報效果也有了明顯的改善，尤其在圖4(c)這種陡漲陡落的情況下，經實時校正后的洪峰流量預報誤差減小了50%以上，洪水漲落部分也更加貼合實測值。檢驗期3個流域總體納什效率系數均值達0.95，各流域峰現時間預報合格率以及洪峰流量預報合格率也都達到乙級及以上標準。耦合實時預報技術后，模型預報精度得到顯著提升，可應用于生產部門的作業預報。因此，該預報方案對于流域洪水預報具有一定的指導意義。

圖4 西河驛流域各場次洪水模擬效果圖

圖5 漁洋關流域DEM圖及站點分布

5 結 語

洪水預報是流域防洪調度決策系統的關鍵組成部分，是實現科學、高效、可靠防洪調度的基礎。本文基于多水源時變增益模型，采用具有可變遺忘因子的遞推最小二乘法對模型預報結果實行實時校正。

上述預報方案經過湖北省3個流域(高家堰、西河驛、漁洋關)次洪資料的檢驗，獲得了滿意的結果。經實時校正后，多水源時變增益模型預報結果更加接近實測洪水過程，尤其是顯著地改善了當洪峰流量較大時，模型預報值偏小的狀況。各流域納什效率系數達甲級標準，峰現時間預報合格率以及洪峰流量預報合格率也都達到乙級及以上標準。該預報方案簡單高效，適用性強，能夠一定程度地提高水文預報的精度和時效性，在實際應用中有良好的推廣前景。

圖6 漁洋關流域各場次洪水模擬效果圖