鏡像銑支撐端與銑削端之間的碰撞檢測算法研究

陳志華，姚 彬，劉 克，劉 鋼，石 璟

（1.上海工程技術大學，上海 201620；2.上海拓璞數控科技股份有限公司，上海 201113；3.江麓機電集團有限公司，湘潭 411004；4.四川航天長征裝備制造有限公司，成都 610100）

0 引言

目前，航空航天中蒙皮的加工主要采用傳統的化銑加工，存在壁厚精度難以保證、高消耗、高污染的問題。國內部分航空航天蒙皮的加工則采用先銑后彎的形式，存在應力集中和滾彎質量缺陷問題。因此，急需發展蒙皮的高效、精確、綠色制造技術[1]。雙五軸鏡像銑設備是實現蒙皮等薄壁工件高效率、高精度加工的有效工具[2,3]。由于雙五軸鏡像銑設備在傳統五軸數控機床的基礎上增加了支撐端的五軸結構，對于銑削端和支撐端之間的碰撞檢測不可忽視。

目前，包圍盒法是最常用的碰撞檢測算法。包圍盒算法有AABB包圍盒、OBB包圍盒、包圍球和k-DOP等[4]。在此基礎上，一些國內學者對其進行了改進，如趙偉等[5]提出了一種基于混合包圍體的OpenMP并行化碰撞檢測算法。利用OpenMP并行模型來并行遍歷混合包圍體層次，進一步加速碰撞檢測過程。趙鑫等[6]結合人工智能技術的隨機碰撞檢測算法，將群智能中經典的粒子群優化算法引入改進的隨機碰撞檢測算法中，利用最基本的粒子群優化搜索技術，以包圍基本幾何元素的OBB包圍盒作為基本特征對象，實現了復雜剛體之間的碰撞檢測。

本文在AABB包圍盒和包圍球的基礎上，針對雙五軸鏡像銑在運動過程中的旋轉變換提出一種AABB包圍盒與包圍球相結合的包圍體。與原有AABB包圍盒在旋轉變換中的不斷實時更新對比，基于包圍球的AABB包圍盒模型具有較強的適應性和簡便性，能夠適用于復雜的大型機床；基于離散碰撞算法，分析了包圍盒碰撞檢測算法與GJK算法的特性，得出適用于雙五軸鏡像銑機床的防碰撞算法；通過C++和OpenGL庫函數進行了仿真驗證。

1 雙五軸鏡像銑機床支撐端和銑削端的全尺寸模型的建立

1.1 軸對齊包圍盒（AABB）與包圍球模型簡介

1.1.1 軸對齊包圍盒（AABB）模型

軸對齊包圍盒AABB是一種最常用的包圍體[7]。在三維空間內，AABB是一個具有六面盒裝的長方體，且其面皆平行于給定的坐標軸。AABB最大的優點在于模型建立方便，并能進行快速的碰撞檢測，即根據各點在坐標軸上相應的坐標值判斷是否發生碰撞。

AABB包圍盒建立有三種方式。第一種是根據各坐標軸上的最大值和最小值建立包圍盒，二維情況下的示意圖如圖1所示。

圖1 最小值-最大值

第二種是根據最小值和各軸向寬度值建立包圍盒，如圖2所示。

圖2 最小值-寬度

第三種是根據中心位置和各軸向半徑建立包圍盒，如圖3所示。

圖3 中心位置-半徑

若物體只有平移運動，第二種和第三種構建方式比較方便，當有旋轉運動時，第一種構建方式更為緊湊可靠。

1.1.2 包圍球模型

包圍球和AABB、OBB、k-DOP等包圍盒相比是一種非常簡便的包圍體，它具有快速檢測碰撞的特性，當用于帶有旋轉變換的復雜物體時，包圍球不需要作任何更新，只需要考慮物體的平移，這是包圍球的一大優點。當幾何對象在運動過程中具有頻繁的旋轉運動時，包圍球是極好的選擇。

在建立包圍球時，由于各頂點的權值不同，采用物體所有頂點的幾何中心點作為包圍球的球心是不符合要求的。可以選擇物體各頂點之間距離最遠的兩個點，以它們的中點和距離作為球心與直徑，這樣建立的包圍球模型具有更高的可靠性。二維情況下的示意圖如圖4所示。

圖4 包圍球

1.2 雙五軸鏡像銑防碰撞模型的建立

1.2.1 基于原有AABB包圍盒建立防碰撞模型

雙五軸鏡像銑機床由銑削端和支撐端組成，兩端帶有旋轉變換，如圖5所示。

圖5 支撐端與銑削端結構

若用AABB包圍盒建立模型，當物體在運動過程中發生旋轉變換時，AABB處于非對齊狀態，需要重新計算包圍體。對銑削端和支撐端包圍盒進行運動學變換，需要建立雙五軸鏡像銑機床坐標系，如圖6所示。

圖6 雙五軸鏡像銑坐標系假設

A軸與B軸之間的旋轉變換：

A軸與C軸之間的旋轉變換：

其中：

分別代入式(1)、式(2)，得：

由以上運算可知，雙五軸鏡像銑進行實時碰撞檢測中采用原有AABB包圍盒建立模型，需要在每次支撐端或銑削端發生旋轉變換時重復式(1)或式(2)運算，重新建立旋轉后的包圍盒，這會使整個建模過程變得復雜，并且會影響整個系統運算速度，不適用于大型機床碰撞檢測。

1.2.2 采用基于包圍球的AABB建立防碰撞模型

用建立包圍球模型方法在任意方向上包圍帶有旋轉變換的物體，分別計算物體各個元素頂點在x、y、z坐標下的最小值和最大值，并以它們的中點為球心，球心到最大值頂點的距離為半徑；然后以包圍球尺寸作為AABB包圍盒外圍參考尺寸；最后通過C++與OpenGL庫函數進行圖形可視化，如圖7所示。

圖7 支撐側與銑削側模型

基于包圍球的AABB包圍盒與不斷更新的AABB包圍盒相比更適用于雙五軸鏡像銑防碰撞模型。當支撐端或銑削端在運動過程中有旋轉和平移變換時，只需考慮平移變換。

2 雙五軸鏡像銑碰撞檢測算法的實現

動態碰撞算法分為離散碰撞算法和連續碰撞算法[8]。本文采用離散碰撞算法，在每一時間的離散點上采用靜態的方法實現。

2.1 包圍球碰撞檢測算法

當采用包圍球碰撞檢測算法時，只需計算出兩個球心距離和它們半徑之和R，如圖8所示。

圖8 包圍球碰撞檢測算法流程圖

包圍球碰撞檢測算法與AABB、OBB、k-DOP等包圍盒碰撞檢測算法相比，不需要考慮旋轉變換，只需要考慮平移變換，并且它的算術操作包含更少的語句和數據存取，碰撞檢測速度更快。

2.2 AABB包圍盒算法

AABB包圍盒與包圍球、OBB、k-DOP等包圍盒相比，更具有直觀性，若是AABB在三個坐標軸下都相交，則判斷AABB之間發生碰撞。以最小值-最大值方式建立的AABB包圍盒碰撞檢測流程圖如圖9所示。

2.3 GJK算法

文章以AABB包圍盒與包圍球相結合建立了雙五軸鏡像銑支撐端與銑削端的包圍盒，碰撞檢測在兩個包圍盒上進行。基于包圍球的AABB包圍盒既可以通過包圍球算法來檢測兩個包圍盒是否發生碰撞，也可以通過兩個AABB包圍盒在三個坐標軸下是否均發生相交進行判斷，但是這兩種方式僅僅用于判斷兩個物體是否發生碰撞，無法在實際應用中檢測兩個物體最近點之間的距離。

GJK是一種適合用于檢測物體之間的相交問題的算法，該算法通過兩個物體所有頂點集并可計算出該集合物體間的距離。GJK算法判斷兩物體之間是否發生碰撞的原理是：如果兩個物體的Minkowski差形狀中不包括原點，則這兩個物體不會碰撞，否則可以判斷兩物體會發生碰撞，在二維空間中的示意圖如圖10所示。

圖9 AABB包圍盒碰撞檢測算法流程圖

圖10 GJK算法-Minkowski差

GJK算法也可以計算兩個物體之間的距離，在兩個物體穿透深度比較小的情況下，可用它判定物體之間的碰撞，其原理是兩個物體之間的距離等價于它們的Minkowski差與原點的距離，在二維空間下示意圖如圖11所示。

圖11 GJK算法-最近距離

GJK算法可以不顯示計算物體之間的Minkowski差，只需要知道它們的Minkowski差是否包含原點，可以在Minkowski差形狀中迭代地創建單純形，使得單純形包含到原點的最近點。

為實現雙五軸鏡像銑支撐端與銑削端之間的碰撞檢測，只需在建立的包圍盒上采用GJK算法計算出兩包圍盒之間距離。碰撞檢測算法流程圖如圖12所示。

圖12 鏡像銑碰撞檢測算法流程圖

3 仿真結果與分析

在包含C++與OpenGL庫函數的平臺上進行雙五軸鏡像銑支撐端與銑削端的碰撞檢測仿真。當支撐端或銑削端運動到某一點發生旋轉變換時，將本文基于包圍球的AABB包圍盒法與更新AABB包圍盒法對比分析，連續采樣多個點進行檢測，程序運行時間對比如圖13所示。

圖13 兩包圍盒運行時間對比

由圖13可見，運動到同一點建立模型時，基于包圍球的AABB包圍盒與不斷更新AABB包圍盒法相比較，縮短了運行時間，提高了建模速度，符合實時性要求。

在碰撞檢測中，雙五軸鏡像銑機床分別在x軸方向、y軸方向與z軸方向通過GJK算法對兩側包圍盒進行實時距離檢測，一旦兩個包圍盒之間的距離達到給定安全值時，則發生報警并停止運動。在Z軸方向進行實時碰撞檢測的示意圖如圖14所示。

圖14 Z軸方向碰撞檢測

4 結束語

本文利用AABB包圍盒和包圍球各自的優點，對雙五軸鏡像銑的銑削端和支撐端建立基于包圍球的AABB包圍盒，此模型無需在機床運動過程中考慮旋轉變換問題；分析了包圍盒碰撞檢測法和GJK算法的優缺點，在基于包圍球的AABB包圍盒上通過GJK算法進行實時碰撞檢測。結果證明基于包圍球的AABB包圍盒模型與GJK算法能有效地應用于雙五軸鏡像銑設備的碰撞檢測。