股票價格幾何布朗運動模型的理論錯誤及糾正

高宏

摘要：幾何布朗運動模型是現代金融學用來描述股票價格隨時間演變過程的隨機模型，但是眾多學者的實證研究結果表明，幾何布朗運動模型與事實嚴重不符。本文指出了幾何布朗運動模型將股票價格假設為隨機變量的理論錯誤，并根據股票價格與時間一一對應的實際現象，將股票價格抽象為確定性的時間函數，重建了可正確描述股票價格現象的幾何布朗運動函數模型，可為證券投資活動的量化分析、價格預測及風險管理提供準確的數學描述工具。

關鍵詞：幾何布朗運動模型 隨機模型 函數模型

一、引言

幾何布朗運動模型是現代金融學用來描述股票價格隨時間演變過程的隨機模型（Merton，2013;王軍等，2018）。但是，幾何布朗運動模型描述的股票價格收益率數學期望為常數，表明股票市場中存在著確定性的盈利機會，這不僅與股票市場“股票價格隨機變化”的實際觀察結果和現代金融學中的有效市場假說不符，也與Kendall（1953）、Osborne（1959）、Samuelson（1965）和 Fama（1965）等眾多學者的股票價格收益率序列均值為零的實證研究結果不符。本文指出了幾何布朗運動模型不能正確描述股票價格波動現象及規律的變量假設錯誤，并根據股票價格與時間一一對應的實際現象，將股票價格與時間之間的數量關系抽象為函數關系，使用無漂移的幾何布朗運動過程樣本函數模型來描述股票價格波動現象，不僅可正確描述股票價格隨時間演變的過程，而且也揭示出了股票價格波動本身包含有線性趨勢的運動規律。

二、錯誤現象

設S（t）為股票價格，若S（t）滿足下面的隨機微分方程，則稱它遵循幾何布朗運動（Hull，2013;林清泉，2008;趙勝民，2010）：

（1）

式中μ為股票價格收益率的數學期望，σ為股票價格的波動率，W（t）為服從N（0，1）的維納過程，也稱標準布朗運動。

根據式（1），可得股票價格S（t）收益率的數學期望：

（2）

式（2）表明，股票價格的短期收益率為常數，股票市場中存在著確定性的盈利機會，這不僅與現代金融學“股票價格隨機變化”的長期觀察結果和有效市場假說不符，也與Kendall（1953）、Osborne（1959）、Samuelson（1965）和 Fama（1965）的股票價格收益率序列均值為零、在統計上不具有相關性的實證研究結果不符。

三、錯誤原因

根據隨機過程定義（王麗霞，2012），隨機過程{ X（ω，t），t∈T}是定義在Ω×T上的二元函數，其中Ω={ω}為樣本空間，T是給定的參數集，參數t通常表示時間。

對于固定的ω∈Ω，X（ω，t）是一個定義在T上的確定性時間函數，此函數通常被稱為隨機過程{ X（ω，t），t∈T}的樣本函數或樣本軌道。實際應用中，一個樣本函數對應著隨機試驗中的一次“測量結果”。我們觀測到的股票價格隨時間變化的過程，實質上就是隨機過程中的一個樣本函數。

對于固定的t∈T，X（ω，t）是隨機變量， X（ω，t）的所有可能取值所構成的集合稱為狀態空間或樣本空間，可用隨機變量的概率分布來描述其統計特性。

在隨機過程理論中，通常將隨機過程X（ω，t）簡記為X（t）。為了便于區別隨機變量和樣本函數，通常用大寫X（t）表示隨機變量，用小寫x（t）表示樣本函數。因此，隨機過程X（t）是一族樣本函數x（t）的集合。

隨機變量X（t）實質上也是一個函數，它是定義在樣本空間Ω上的單值函數，但其自變量是樣本點ω，而非時間t。在固定的時間點，隨機變量在樣本空間Ω有多個樣本函數值。

研究隨機過程主要有兩種方法：概率法和分析法。在樣本空間Ω上研究隨機過程的隨機變量通常使用隨機模型和概率方法，在參數集T上研究隨機過程的樣本函數通常使用函數模型和分析方法。

因此，建立股票價格隨時間演變的數學模型時，股票價格與時間之間的數量關系只能被抽象為隨機過程中的一個樣本函數，而非隨機過程的隨機變量。如果將股票價格s（t）假設為隨機變量S（t），則幾何布朗運動模型就成為隨機模型，描述的是樣本函數集合S（t）的統計特性，而不是單個樣本函數s（t）的軌道特性，研究對象從單個樣本函數s（t）變為樣本函數集合S（t），必然會得出與事實不符的結論。

四、錯誤糾正

五、結論

本文指出了幾何布朗運動隨機模型用于描述股票價格運動時出現的錯誤，以及不能正確描述股票價格波動現象及規律的變量假設錯誤。本文使用全新的時間函數和函數模型范式重建了股票價格研究領域的基本概念和研究方法，首先根據股票價格與時間一一對應的實際現象，將股票價格與時間之間的數量關系抽象為隨機過程樣本函數，然后采用確定性的函數模型而不是隨機模型來描述股票價格隨時間演變過程。本文建立了微分和積分兩種形式的幾何布朗運動函數模型，推導出了股票價格幅頻特性，不僅能正確描述股票價格波動現象，而且也揭示出了股票價格波動的頻域特性，以及股票價格本身包含有線性趨勢的運動規律。

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（作者單位：清華大學）