基于應(yīng)力不變量的多軸疲勞壽命預(yù)測方法

李雪夫，宋 宇

（中車建設(shè)工程有限公司，北京 100000）

0 前言

多軸高周疲勞從研究以來，還沒有一種對各種材料、各種載荷普遍適用的多軸高周疲勞失效準(zhǔn)則。

本文將剪應(yīng)力等效幅值的求解過程與損傷估算相聯(lián)系，通過考慮載荷偏量路徑沿求解剪應(yīng)力等效幅值時(shí)的參考坐標(biāo)系各軸投影的分量來估算疲勞損傷。在此基礎(chǔ)上，對疲勞損傷和平均應(yīng)力的關(guān)系進(jìn)行了充分考慮。并將靜水應(yīng)力時(shí)間與各個(gè)投影路徑載荷時(shí)間有機(jī)結(jié)合起來，為對應(yīng)區(qū)間內(nèi)靜水壓力最大值、主計(jì)數(shù)通道相關(guān)循環(huán)輻值的計(jì)算提供了有利條件，利用修正S-N曲線方法來估算每條投影路徑損傷，最后通過等效推導(dǎo)并結(jié)合修正S-N曲線估算總損傷與疲勞壽命。

1 基于應(yīng)力不變量的剪應(yīng)力等效幅值的求解

要想獲得剪應(yīng)力等效輻值，需要明確材料平面上的應(yīng)力。如果材料平面上一點(diǎn)處的應(yīng)力在受到多種循環(huán)荷載作用時(shí)，其應(yīng)力為Sn，為了體提高剪應(yīng)力等效幅值計(jì)算效率，需要合理采用分解法，將Sn應(yīng)力分解成兩部分，其分別是切應(yīng)力和法向應(yīng)力，這兩個(gè)應(yīng)力分別用τ、σn來表示,如圖1所示。

圖1 復(fù)雜周期載荷作用下材料平面上應(yīng)力參量的演化

材料表面的一處應(yīng)力在復(fù)雜循環(huán)載荷作用下，會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。其矢端在空間中形成一條閉合曲線Φ是最主要的變化之一。在這種情況下，剪應(yīng)力也會(huì)隨之變化，一般情況下也會(huì)在在材料平面上也形成一條閉合曲線Ψ。這兩條曲線具有一定的關(guān)聯(lián)性，都屬于材料平面上的投影。其中曲線Ψ主要是由選取過這一點(diǎn)的材料面決定的。材料平面上一點(diǎn)在某一時(shí)刻的剪應(yīng)力為τ（t），剪應(yīng)力矢端在材料平面上的質(zhì)點(diǎn)和軌跡分別是點(diǎn)O′和Ψ。在這種情況下，剪應(yīng)力向量O→A可視為向量OO→′與向量O′→A的合成。O′A的模定義為該時(shí)刻剪應(yīng)力的幅值，記做τa。OO→′的模定義為該時(shí)刻剪應(yīng)力的均值，記做τm。裂紋成核主要是由材料平面上的最大剪應(yīng)力幅值決定的。根據(jù)塑性力學(xué)的相關(guān)理論，切應(yīng)力幅值τa的值可以用應(yīng)力偏量第二不變量的值替代，對于比例載荷可以通過定義式求得，但實(shí)際遇到的載荷大都為非比例的，因此可以求解偏應(yīng)力第二不變量的等效幅值替代 τa。

為了簡化計(jì)算過程，定義一組映射關(guān)系：

經(jīng)過上述變化，偏應(yīng)力張量Sij由6維降至5維，變成5維空間里的一個(gè)向量Si，并且有

由此可得，在數(shù)值上，等于應(yīng)力偏量Sij雖然發(fā)生了變化，但其第二不變量的平方根與Si的2范數(shù)是一致的。

疲勞損傷與載荷幅值的方差有關(guān)[1]。為了使剪應(yīng)力等效幅值的求解物理意義明確，在應(yīng)力偏量空間中建立根據(jù)載荷幅值的方差所確定的參考坐標(biāo)系對其進(jìn)行求解。在變換后的5維空間中，求出應(yīng)力偏量向量的協(xié)方差

其中：

求出該協(xié)方差陣的特征值及其特征向量。要想對這5個(gè)特征向量進(jìn)行全面的了解，不僅要結(jié)合特征向量的幾何意義，而且還應(yīng)該明確特征值。在整個(gè)一基礎(chǔ)上，可以認(rèn)識(shí)到這5個(gè)特征向量能夠在某種程度上反映協(xié)方差矩陣的空間性質(zhì)。在該過程中，應(yīng)該注意，及時(shí)坐標(biāo)發(fā)生了變化，其特征向量和特征值也不會(huì)發(fā)生變動(dòng)。要想知道參考坐標(biāo)系是否是唯一的，需要合理建立參考坐標(biāo)系E0，進(jìn)而明確其是唯一的。

如果荷載路徑沿著坐標(biāo)系E0進(jìn)行投影，通過對求各個(gè)投影路徑進(jìn)行觀察和分析可知，其所有路勁都屬于時(shí)間函數(shù)。在本文為中，主要是對一段二維偏量空間中的偏量載荷路徑進(jìn)行了分析。如圖2所示，是其主要的投影過程。

圖2 投影過程示意圖

通過上述方法確定的參考坐標(biāo)系，在對投影過程分析的基礎(chǔ)上，可以了解載荷幅值對疲勞損傷的影響。所以在進(jìn)行損傷估算過程中，也需要借助上面所建立的參考坐標(biāo)系。在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，其主要分為兩大步驟。第一步，進(jìn)行多段單軸載荷歷程引發(fā)的損傷估算；第二步需要合理計(jì)算總損傷，也就是由原載荷導(dǎo)致的所有的損傷。但是要想提升在復(fù)雜載荷作用下，疲勞損傷估算的準(zhǔn)確性，還需要對載荷循環(huán)對應(yīng)時(shí)段內(nèi)平均應(yīng)力所造成的損傷進(jìn)行分析，了解其實(shí)際產(chǎn)生的影響。為了實(shí)現(xiàn)良好的損傷估算效果，該過程需要對兩段載荷時(shí)間歷程進(jìn)行同步計(jì)數(shù)。文獻(xiàn)[2]提出了一種多軸循環(huán)計(jì)數(shù)方法，可以實(shí)現(xiàn)載荷的同步計(jì)數(shù)。利用該方法計(jì)出每條投影路徑載荷歷程下每個(gè)全循環(huán)的應(yīng)力幅值。這條載荷路徑水應(yīng)力作用和載荷路徑幅值的作用水平分別用平均值個(gè)和投影路徑下幅值的平均值進(jìn)行表示。

剪應(yīng)力的等效幅值為

2 基于應(yīng)力不變量的多軸疲勞壽命預(yù)測模型

根據(jù)Summel提出的修正S-N曲線方法[3]，建立基于剪應(yīng)力等效幅值的雙對數(shù)坐標(biāo)下的修正S-N曲線，等效剪應(yīng)力幅值，如圖3所示。

圖3 基于應(yīng)力不變量的修正S-N曲線

考慮了平均應(yīng)力與載荷非比例因素，通過靜水應(yīng)力的平均值σH，m與剪應(yīng)力的等效幅值的比定義修正系數(shù)ρref

對于任意載荷條件下循環(huán)次數(shù)為NA次的ρref和k（ρre）f值的獲取可以通過拉伸與純剪應(yīng)力狀態(tài)時(shí)材料常數(shù)的線性組合，因此可以表示為：

根據(jù)相對Miner原理和疲勞損傷線性累積準(zhǔn)則，任意條路徑的總損傷為

定義一條等效路徑，i條路徑只有一個(gè)載荷循環(huán)，與總損傷處于一致狀態(tài)。這條等效路徑的應(yīng)力幅值為

如果將等效路徑應(yīng)力幅值函數(shù)當(dāng)作總損傷，其應(yīng)該表示為：

根據(jù)修正S-N曲線（如圖4所示），利用Miner原理求解多軸復(fù)雜載荷作用下的總損傷。

多軸復(fù)雜載荷作用下的疲勞壽命為

圖4 多軸疲勞壽命估算的修正S-N曲線

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

選用45#鋼 、30NCD16鋼進(jìn)行結(jié)果驗(yàn)證，試驗(yàn)數(shù)據(jù)選自文獻(xiàn)[4，5]。材料的相關(guān)力學(xué)參數(shù)參見表1，本文壽命預(yù)測模型的相關(guān)的材料常數(shù)參見表2。壽命預(yù)測值和試驗(yàn)結(jié)果的比較見圖5與圖6。

表1 材料的力學(xué)性能參數(shù)

表2 疲勞壽命預(yù)測模型的相關(guān)材料常數(shù)

圖5 SM45C鋼預(yù)測壽命與試驗(yàn)壽命比較

圖6 30NCD6鋼預(yù)測壽命與試驗(yàn)壽命比較

本文模型適用于單軸、多軸比例、非比例等各種加載情況，且誤差分散帶在2個(gè)因子以內(nèi)，預(yù)測壽命與試驗(yàn)壽命吻合較好。

4 結(jié)論

（1）提出了一種新的剪應(yīng)力等效幅值的計(jì)算方法。利用應(yīng)力不變量求解剪應(yīng)力等效幅值時(shí)，需要對疲勞損傷估算進(jìn)行充分考慮，并建立與之相應(yīng)的參考坐標(biāo)系，并且還需要記利用空間向量范數(shù)。

（2）提出了一種基于應(yīng)力不變量的處理多軸高周復(fù)雜載荷的多軸疲勞壽命估算模型。經(jīng)過試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，壽命預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。