滾齒機傳動鏈誤差測量誤差分析及辨識

龍 譚 ，王時龍 ，任 磊 ，楊 勇

（1.重慶大學，機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；2.重慶機床集團有限責任公司，重慶400055）

0 引言

滾齒加工是一種生產效率高、應用廣的齒形加工方法[1]。滾刀軸、電子齒輪箱和工作臺構成滾齒機傳動鏈，是滾齒機的關鍵核心部件。滾齒機傳動鏈誤差不僅會引起工件齒輪的螺距誤差、齒廓誤差和工件螺旋誤差，還會誘導滾齒機的振動和噪聲[2]。準確測量傳動鏈誤差，對通過傳動鏈誤差準確分析機床傳動鏈性能以及傳動鏈誤差精確補償具有十分重要的意義。

基于編碼器和圓光柵廣泛用于滾齒機床傳動鏈誤差的測量[3-6]，離散角度采樣的方法適合于使用編碼器測量旋轉機械中多路信號的情況[7]；Palermo等人[8]討論了使用低成本數字編碼器來測量高速傳動系統的方法；Zhou等人[9]和Zhao等人[10-11]利用機床內置編碼器采集機床傳動鏈的傳動誤差信號，用于確定傳動鏈中的故障源；Brecher等人[12]測量齒輪組傳動誤差和噪聲情況以研究齒輪組的傳動誤差與齒輪箱在其應用中的噪聲特性之間的相關性；彭等人[13]和李等人[14]利用FMT系統對滾齒機進行傳動誤差測量，并通過修正傳動齒輪。通過傳動鏈誤差準確分析機床傳動鏈性能以及傳動鏈誤差精確補償的前提為傳動鏈誤差的精確測量。

為保證測量的精確性，Du等人[15]研究了包含齒輪的驅動系統的編碼器測量誤差，并提出一種減少編碼器誤差的方法；Li等[16]基于阿貝原則分析了轉臺傾斜運動誤差和徑向運動誤差引起的圓光柵角位移測量誤差及其對轉臺定位精度的影響規律；Lopez等人[17]分析了振動對和讀數頭的擺動引起的編碼器測量誤差，并基于對惡化的測量信號的利薩如圖的擬合技術提高傳感器精度。除上述方法外，雷尼紹海德漢等廠商推出了多讀數頭的圓光柵以消除測量誤差，但成本高昂且安裝不便。針對基于單讀數頭圓光柵的傳動鏈誤差測量系統的測量誤差分析及消除技術亟待研究。

本文考慮圓光柵的制造誤差和裝配誤差，分析傳動鏈誤差測量平臺的測量誤差；基于測量誤差相位特性提出了一種新的修正測量系統誤差的方法，通過兩次不同安裝位置下的測量數據計算并消除測量誤差；基于YDA1132型滾齒機的實驗表明該方法能準確計算并消除測量誤差，同時流程簡單成本低。

1 測量誤差分析及辨識原理

1.1 傳動鏈誤差測量方案

滾齒機傳動鏈包括滾刀軸電機、滾刀箱、電子齒輪箱、工作臺電機以及工作臺傳動裝置。傳動鏈誤差即為由傳動副傳動誤差和伺服控制誤差引起的工作臺和滾刀軸間的相對運動誤差，如式（1）所示。

式中，eT為傳動鏈誤差；φC為工作臺轉角；φB為滾刀軸轉角；α為工作臺與滾刀轉速比。

如圖1所示，工作臺與滾刀軸末端分別安裝高精度圓光柵，同步采集滾刀軸和工作臺的角位置，計算傳動鏈誤差。主要設備詳細參數如表1所示。

圖1 傳動鏈誤差測量平臺

表1 主要實驗設備參數表

為明確傳動鏈誤差沿工作臺的空間分布情況，首先測量圓光柵參考點相對機床工作臺原點的相位差，并從第一次檢測到圓光柵的參考點開始進入計數程序；計數程序以圓光柵-C產生的TTL信號的下降沿為觸發信號，將2路編碼信號的計數值寫入FIFO結構，主程序讀取FIFO中的計數值計算再該點處的傳動鏈誤差。

1.2 測量誤差分析

圓光柵的刻線在制造過程中無法保證完全均勻，且在安裝過程中刻線與讀數頭之間存在相對位姿誤差。因此，圓光柵測量角位移時存在與讀數頭位置相關的測量誤差誤差。圓光柵誤差對傳動誤差的作用為：

式中△為圓光柵測量誤差對傳動鏈誤差測量值的貢獻量；i為圓光柵與工作臺轉速比；em為圓光柵誤差。

滾刀軸的圓光柵與工作臺轉速比通常較高，而工作臺的圓光柵與工作臺轉速比為1。因此，傳動鏈誤差測量系統的誤差主要由工作臺編碼器引起，而滾刀軸的圓光柵的誤差的影響可忽略不計。

刻線沿圓光柵鋼轂周向分布，讀數頭檢測掃過的刻線。如圖2所示，過渡盤與工作臺固聯，鋼轂托架與過渡盤通過錐面連接，圓光柵鋼轂與鋼轂托架通過錐面連接，讀數頭與機架固聯。為保證圓光柵安裝精度，安裝時取過渡盤的錐面在P和Q截面的跳動盡量小。此時，可近似認為圓光柵的位姿誤差取決于兩組錐面配合的誤差。

圖2 工作臺圓光柵安裝示意圖

如圖 3（a）和圖 3（b）所示，圓光柵旋轉到該位置時，理想狀態下讀數頭檢測到M處的刻線；位姿誤差導致讀數頭檢測到M′處的刻線。安裝導致的測量誤差為二者之間的繞Z軸的偏轉誤差。誤差量相對圓光柵尺寸很小，因此繞Z軸的偏轉誤差近似為：

其中位姿誤差中X方向的偏差和繞Y軸最易引起繞Z軸的偏轉誤差，由圖3（b）有

圖3 工作臺圓光柵安裝誤差

圓光柵相對過渡盤的位姿誤差是固定的，圓光柵隨工作臺旋轉時，圓光柵鋼轂相對讀數頭的位姿誤差周期性地變化，如式。因此，圓光柵安裝誤差導致的測量誤差將沿工作臺的一周分布，且主要為1次諧波，如式：

保證過渡盤不動，若鋼轂托架和讀數頭轉動相同角度β，則有

刻線沿圓光柵鋼轂周向分布，因此刻線制造誤差對測量誤差的貢獻值的周期與圓光柵鋼轂旋轉周期一致。若讀數頭相對工作臺轉動β，則圓光柵的參考點相對機床工作臺發生β相位移動，且前后兩次測量中刻線誤差導致的測量誤差的關系為：

式中，ξ為第一次測量中刻線誤差導致的測量誤差；ξ′為第二次測量中刻線誤差導致的測量誤差。

測量誤差為工作臺圓光柵的制造誤差和安裝誤差綜合表現，即：

式中，ψ為測量誤差。

綜上所述，機床傳動鏈誤差決定于機床幾何結構和機床軸轉速；測量誤差決定于圓光柵鋼轂的安裝誤差和光柵刻線的制造誤差，且主要包含1次諧波。因此，改變讀數頭和圓光柵鋼轂托架，傳動鏈誤差沒有發生變化，但測量誤差相對工作臺發生相位改變，則

1.3 測量誤差辨識方法

如圖4所示，機床工作臺參考原點為M；第一次測量的圓光柵讀數頭的位置為E1，與工作臺原點間隔α1；第二次測量的圓光柵讀數頭位置為E2，與工作臺原點間隔α2。第一次和第二次傳動鏈誤差的測量值，如式：

圖4 兩次測量的參考點位置

滾齒機傳動鏈誤差包括多級傳動副的傳動誤差和滾刀軸、工作臺編碼器的測量誤差，可表示為

式中，Alk為l齒輪（或編碼器）的k次諧波的幅值；φlk為l齒輪（或編碼器）的k次諧波的初相位；ilc為l齒輪（或編碼器）與工作臺的轉速比。

由式（12）可知，滾齒機床傳動鏈誤差中存在多種諧波。同時，圓光柵的測量誤差對傳動鏈誤差中2次以上諧波影響很小。為避免隨機誤差等的影響，提高測量誤差的計算精度，采用DFT和IDFT對傳動鏈誤差測量數據濾波，僅保留1次諧波，式（5）為1次諧波的復數域表達。

第一次和第二次傳動誤差測量值的差值1階諧波的復數域表達為

式中Ψ為測量誤差復數域表達。

即有測量誤差為

進而由離散傅里葉逆變換得到測量誤差，則傳動鏈誤差的真實值為：

2 實驗

2.1 實驗原理

如圖5所示，實驗分為兩部分，其一為兩次測量工作臺定位誤差，以激光干涉儀測定的數據為準，圓光柵-C的測量誤差即為兩次定位誤差的差值，作為參照組；其二為兩次測量機床傳動鏈誤差，通過本文方法計算測量誤差，與參照組所得測量誤差形成對比。

圖5 實驗原理圖

實驗對象為YDA3132型滾齒機，在測量傳動鏈誤差時，為形成對照，設定滾刀軸轉速為50 r/min，滾刀頭數為2，工件齒數為44，則滾刀軸與工作臺轉速比為44∶2。此時工作臺轉速為0.83 r/min，因此認為圓光柵-C測量定位誤差時的測量誤差和測量傳動鏈誤差時的測量誤差是一致的。

2.2 實驗流程

1）安裝滾刀軸圓光柵和工作臺圓光柵，安裝時，工作臺過渡盤的錐面選擇兩個水平面，緩慢轉動工作臺，控制這兩個截面上跳動小于1μm；

2）激光干涉儀測量機床工作臺定位誤差；

3）測量圓光柵-C參考點與機床工作臺原點的相位差，第一次測量傳動鏈誤差；

4）工作臺圓光柵測量機床工作臺定位誤差；

5）保持過渡盤不動，旋轉鋼轂托架和讀數頭，旋轉角度接近180°；

6）測量圓光柵-C參考點與機床工作臺原點的相位差，第二次測量傳動鏈誤差。

3 結果與分析

如圖6（a）所示，滾齒機床傳動鏈誤差的第一次測量結果和第二次測量結果對比，其大周期誤差明顯存在相位差，即滾齒機傳動鏈誤差測量值含有測量平臺的測量誤差，且測量誤差明顯影響了傳動鏈誤差測量的準確性。

如圖6（b）所示，第一次和第二次傳動鏈誤差測量值的離散傅里葉變換的1階分量幅值分別為13 arcsec和10 arcsec，二者存在明顯差異，但2階以上分量基本重合，其中包括與滾刀軸相關的頻率為22的譜線。結果印證了傳動鏈誤差檢測平臺中來自于工作臺圓光柵的測量誤差主要為1次諧波誤差，滾刀軸圓光柵的測量誤差對傳動鏈誤差的影響很小。因此，對傳動鏈誤差測量數據采用傅里葉變換和傅里葉逆變換濾出1階諧波，再計算測量誤差能夠表征大部分的測量誤差且能減小數據中隨機成分對計算的影響。

圖6 滾齒機傳動鏈誤差兩次測量值

如圖7所示，圓光柵-C測定的工作臺定位誤差相比于激光干涉儀測定的工作臺定位誤差，波峰出現的位置更靠后、峰峰值更小。即該實驗中測量誤差使工作臺定位誤差測量值比工作臺定位誤差真實值更大，且發生了一定的相位移動，與分析結果相符合。

圖7 兩次工作臺定位誤差結果

如圖8所示，菱形標記實線為圓光柵-C測定的工作臺定位誤差與激光干涉儀測定的工作臺定位誤差的差值，虛線為其1階諧波擬合曲線，其擬合曲線幅值為5.8 arcsec，相位為2.72；無標記實線為由兩次傳動鏈誤差測量值計算得到的圓光柵-C的測量誤差，幅值為5.5 arcsec，相位為2.71。在1階頻率上，測量誤差修正方法計算所得測量誤差與兩次定位誤差比較所得測量誤差，差值僅為0.3 arcsec，同時受工作臺的重復定位精度影響，兩次定位誤差的差值在2階以上還存在小幅波動。

圖8 兩組測量誤差對比

鑒于激光干涉儀的測量精度較高（回轉軸定位測量的分辨率為0.01 arcsec），因此以激光干涉儀的測量數據為準，兩次定位誤差的差值作為圓光柵-C的測量誤差的標準。因此通過對比兩組實驗所得的測量誤差，證明本文提出的測量誤差辨識方法能夠有效辨識出傳動鏈誤差測試平臺的測量誤差。

根據辨識得到的測量誤差分別對兩次測量數據進行修正，得到圖9所示第一次傳動鏈誤差測量值、第二次傳動鏈誤差測量值的修正后的曲線。二者的大周期誤差整體趨勢一致，印證了修正方法的有效性。

圖9 修正后的滾齒機傳動鏈誤差測量值

5 結束語

本文分析了圓光柵的制造誤差和裝配誤差對傳動鏈誤差測量系統的測量誤差的影響，結果表明，測量誤差主要為1次諧波；兩次不同安裝位置下，測量誤差的相位差與兩次不同安裝位置的相位差相同。

基于測量誤差的相位特性提出了一種新的修正系統測量誤差的方法，在實驗中根據兩次不同安裝位置下的測量數據和圓光柵與工作臺的相位差辨識出了機床傳動鏈測量平臺的測量誤差，提高了檢測平臺的測量精度。該方法步驟簡單，成本低廉，非常適合在生產現場進行應用。