基于斜帳篷映射的混沌加密置亂算法研究

李紅梅，徐 凌

(1.安徽新華學院，安徽合肥 230088；2.中國科學技術大學，安徽合肥 230000)

1 混沌理論與斜帳篷映射

斜帳篷映射是一種根據X的范圍來確定結果的分段性函數，具體可表示：

(1)

其中，X∈[0,1]是系統的初始條件，μ∈(0,1)是其控制參數。

圖1是由Matlab軟件得出的斜帳篷映射的分岔圖，橫軸表示控制參數μ，0<μ<1，縱軸表示X，0≤X≤1。利用C++軟件編寫程序，對斜帳篷映射得到的隨機值的分布情況進行分析，表1是迭代30000次的結果，可以看出各區域中隨機值的個數及所占百分比比較平均，斜帳篷映射產生的隨機值的分布是比較均勻的。

2 加密方案設計

2.1 加密過程

圖像處理中常用的灰度圖像由一組像素組成，在處理過程中可以將組成圖像的所有像素看成是一個向量組P，其值Pi是圖像中像素的集合，Pi=(xi,yi,valuei)，其中，valuei是該像素的灰度值，xi和yi是像素的橫坐標和縱坐標。加密過程中主要是先用相關映射函數生成的隨機值序列作為參數對原圖中像素進行置換，采用位置置換或者比特置換的方案均可。斜帳篷映射產生的混沌序列的分布更平均，因此本文實驗中采用該映射函數生成相應的混沌序列對組成圖像的像素進行處理，最終生成加密圖。

圖1 斜帳篷映射分岔圖

表1 斜帳篷映射隨機分布圖

在圖像信息中，每個像素均由8位二進制數組成，每位二進制數因其所處位置不同會表示不同量的信息，如數1在第1位時表示的是1，而在第8位時則表示128，在i位置所表示像素信息所占的比率P(i)可以通過公式(2)進行計算。

(2)

由表2可知，低4位包含的信息量不到6%，而高4位占有圖像總信息的94.125%，可見圖像的高位比低位更為重要。因此在采用混沌映射的結果作為系數對圖像信息進行置換時，為減少執行時間，可將低4位作為一個整體，而高4位占有的信息量較大，需要將每位進行獨立的處理。

表2 不同位置的像素信息百分比

在加密階段，首先通過斜帳篷映射產生混沌序列，將該結果作為Arnold映射的參數，通過改變原圖像中像素元素的位置或數值來對圖像進行置亂處理，該映射是混沌置亂系統中比較常用的方法之一，其定義如公式(3)所示，將像素位置(x,y)轉換為(x1,y1),p和q為該映射函數的參數。

(3)

位平面置換操作算法的具體設計流程如圖2所示，其中，pi和qi是每一輪Arnold映射的參數，其值是通過設置斜帳篷映射初值μ=0.998，xn=0.012345678和xn=0.087865765433212時，再結合公式(4)可計算得到(pi,qi)的值；結合置換過程的次數ni可完成加密過程，本文中將ni設置為1。

(4)

圖2 位平面置換操作

2.2 算法結果分析

運行本文算法可得到如圖3所示的結論，通過計算可知原圖與解密圖像素差異數為0，因此該加密方案具有無損加密的特性。

圖3 算法結果圖

3 加密評估與測試

3.1 信息熵測試

為了描述圖像中所包含的信息量大小，C E Shannon提出了信息熵的概念，若圖像有n種灰度值mi，i=0,1,2,…,n-1，P(mi)是各個灰度出現的概率，通過公式(5)計算得到信息熵H(m)，其信息熵越大，表示其灰度分布越一致，對于理想的隨機圖像，其信息熵等于8，加密后的圖其信息熵應盡量接近于8。

(5)

通過計算可知，原圖信息熵為7.568279，加密圖信息熵為7.997271，其值已經非常接近理想值8。

3.2 直方圖分析

從圖4可看出，加密圖的直方圖的分布比較均勻，與原圖差別較大。直方圖的分布可用方差來衡量，方差可用來表示直方圖與其平均值之間的分散程度，其值越小表示其分布越均勻，可通過公式(6)進行計算，原圖直方圖的方差為5668.834，加密圖直方圖的方差為167.7309，可見加密圖像素的分布與原圖相比更加均勻。

(6)

圖4 直方圖圖示

3.3 相鄰像素的相關性分析

為討論像素間的相關性，隨機選擇垂直、水平和對角三個角度通過圖示來進行分析，從圖5可以看出加密圖中相鄰像素間并無明顯相關性。

圖5 相關性圖示

4 結語

綜上所述，首先對斜帳篷映射的特性及其所產生的混沌序列進行分析，發現該映射所產生的隨機值的分布更加均勻，則Arnold映射使用該斜帳篷映射的結果作為參數來改變圖像中像素的值和位置。通過對其加密前后的信息熵、直方圖和相鄰像素的相關性進行分析可知該算法具有較好的性能，加密效果很理想，具有實際應用價值。