再談“反函數”

白祥福

【摘 要】初等數學中反函數的概念既重要但又不容易深入理解掌握，部分同學更是一知半解。這往往影響對函數及相關知識的深入學習。在此結合以下一些具體例子或命題，采用對比和聯系的方法，再談談反函數。

【關鍵詞】函數；反函數；單調函數；一一對應；奇偶函數

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）04-0105-01

1 反函數的基本知識

1.1 反函數的定義

設函數，它的定義域為D，值域為M，如果對于值域M中的任意一個值，都能由確定D中唯一的值與它對應，由此得到以為自變量的函數叫做的反函數，記作。在習慣上，自變量用表示，函數值用表示，所以又將它改寫為。

1.2 反函數的一些性質或結論

（1）互為反函數，即；

（2）的定義域D和值域M分別是其反函數的值域和定義域，通俗的說就是“交換了”；

（3）互為反函數的兩個函數的圖像關于直線對稱；

（4）并非所有的函數都有反函數，函數存在反函數的充要條件是：函數的定義域與值域是一一對應；簡單來講：一一對應就能確定反函數。

（5）分段函數的反函數的求法：逐段求出每段的反函數及反函數的定義域，再合成分段函數。

2 關于反函數，再作如下討論

（1）函數沒有反函數。函數

有反函數.

說明：函數滿足一一對應，有反函數。

（2）函數有反函數

函數有反函數。

說明：某些周期函數，在不同的范圍內，只要一一對應，都有反函數，但其反函數的解析式不同。

（3）以下幾個函數，函數及函數等都有相同的反函數，

且其解析式都是

說明：一些函數（主要是周期函數）雖然不同，但它們可以有相同的反函數。

（4）單調函數一定有反函數，但不能說有反函數的函數一定單調。

如有反函數，但函數不單調（讀者思考）

說明：單調函數的反函數也是單調函數，且它們同增同減；如果初等函數是嚴格單調的，就有反函數；只要函數在定義域的不同區間內是單值對應的（不一定是單調），就有反函數（這些請讀者思考）

（5）設函數有反函數那么

1）在上成立；

2）在上成立；

3）在上成立。

例子：則反函數為可驗證。

說明：若函數有反函數，則其滿足置換對稱性。

（6）如果是奇函數，則其反函數也是奇函數；但與其反函數不能都是偶函數。讀者可舉簡單例子驗證。

（7）若函數的圖像與它的反函數的圖像有交點，但交點不一定在直線上。

如函數與函數互為反函數，且它們的圖像有無數多個交點，但這些交點都不在上。另一方面，若函數的圖像與有交點，則這些交點也都是其反函數的圖像與直線的

交點。以上討論，讀者都可以再舉一些簡單例子加以理解，從而加深對反函數知識的全面深入的掌握，為反函數及其在其它方面的應用打下堅實的基礎。