高中數學函數的單調性、奇偶性及周期性的研究

曾詩雨

【摘 要】函數的單調性、奇偶性和周期性對培養學生的數學思維有不可替代的作用，尤其與不等式證明與三角函數的復合應用，可以培養學生在數學學習中相互滲透的思維習慣，提高數學素養和綜合能力，在求極值、不等式證明、綜合類題目中廣泛應用，本文通過幾個實例，闡述了利用函數的單調性、奇偶性和周期性解題的優勢。

【關鍵詞】函數；單調性；奇偶性；周期性

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）04-0031-02

函數的單調性、奇偶性和周期性是初等數學中最基本的知識點，又是其它好多板塊題目的基礎，深刻的理解和熟知函數的特性，對求解數學題目有極大的幫助，可以簡化所求問題的復雜度，節省復習時間。函數的單調性、奇偶性和周期性亦是我們認識世界的一種思維方式，奇偶性可以演化為對稱性，周期性則是循環往復的思想，單調性則是趨勢。通過詳細學習和理解函數的以上性質，在做題中有事半功倍的效果[1-3]。結合筆者的經歷，高中數學函數在單調性、奇偶性和周期性方面的題目變化層出不窮，但解題思路和方法相對固定。單調性則為不等式的證明埋下伏筆，不等式證明往往轉化為函數做差進行比較，奇偶性和周期性則是反復綜合在填空題、確定函數解析式中較為常見[4-7]。此外，該部分內容通過跟三角函數的結合以及函數圖像結合中應用更為廣泛，通過對該知識點的強化練習，有助于提高學生的解題效率，可以很好的培養學生的數學思維。

1 函數的單調性

函數的單調性是指函數在自變量的區間內呈現出向下或者向上的趨勢，對于復合函數而言，其單調性遵循“同增異減”的規律，在某個區間內可以求得函數的極值以及可以由此引用與不等式的證明，判斷函數的單調性有四種常用方法，定義法、復合函數單調性法、圖像法以及導數法；此外函數的單調性往往同不等式的證明、三角函數等知識板塊復合命題，增加題目的難度，可將不等式的證明轉換為求解函數值在某個區間內的單調性，轉換問題角度，為解決問題提供新的思路，而在三角函數中往往跟函數的周期性、奇偶性復合應用，如下題。

試證明，函數在是增

函數。

解：由于該函數不是我們學習中常見的常規函數，故考慮用定義法來證明。

取任意兩個實數，且，

做差有：

由于，，所以：

得出，

而

所以在上是單調增函數。

2 函數的周期性

函數的周期性的定義可以如此描述：有函數，若有非零常數T，使得任何，，都有，則函數為周期函數，T就是該函數的一個周期，假如在所有的周期中存在一個最小的正數，則稱為最小正周期[8-10]。周期性是函數的基本性質之一，尤其在三角函數中，函數的周期性具有充分的應用，往往是求解題目的關鍵，尤其在無限疊加類題目中周期性往往是命題的切入點，值得仔細揣摩學習，此外還在求函數解析式中具有重要的應用，如下題。

設是定義在R上的奇函數，取任意實數，均有，當時，；

（1）試證明是周期函數。

（2）當時，求的解析式。

解：（1）由于是奇函數，故有，結合題目中，，故得出是周期為4的周期函數。

（2）當時，，結合題目中已知條件有，且是奇函數，，推出，當時，，得出，而是周期為4的周期函數，得出。

3 函數的奇偶性

函數的奇偶性是函數重要的基本特征之一，也是命題的重點。其定義如下：有函數（A為關于原點對稱的區間），若對于任何都有，，則稱為偶函數；若對于任何都有，，則稱為奇函數；函數的奇偶性往往同函數的單調性、周期性結合在一起綜合運用，對于函數的奇偶性的相關題目，結合函數圖像，通過數形結合則能快速解題。對于求極值，確定未知數的范圍往往是解題的切入點。

（1）定義在上的奇函數是減函數，求解關于m的不等式：。

解：首先結合題目中是奇函數，可簡化不等式，又在是單調減函數，因此有：

求解得

故不等式的解集是

（2）假設函數對任意都有，且若，則。

試證在R上市增函數；

若，求滿足的實數a的取值

范圍。

解：取，且，由此得出，結合題意，有

所以在R上是增函數。

由于，所以

要滿足，由于在定義域內為單調遞增函數，又，所以當且僅當成立，原不等式成立，求解得出：

函數的單調性、奇偶性和周期性是函數性質中重要內容之一，也是反復命題的重點。該部分內容往往跟三角函數、不等式證明以及函數的極值求解中復合度較高，單調性是函數在定義域內或者部分區間內函數的變化趨勢，往往同復合函數的單調性判斷、不等式的證明綜合命題，學習中也是通過練習不斷加強鞏固，函數的奇偶性往往是求解函數類題目的關鍵，由于奇偶性本身就是一個已知條件，往往對解題能起到至關重要的作用[11-13]。函數的周期性則主要用來確定無限函數的累加求和類題目，該內容的融會貫通對于填空題、選擇題具有極大的幫助。看似復雜，但通過周期性可以極大的化簡，化繁為簡，大大減小計算量，從而使得問題迎刃而解。

【參考文獻】

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