無窮小階的估計法的應用

鄧敏

摘 要：本文給出用“階”的概念及估計求極限和判斷廣義積分的斂散性的方法，大大簡化了求極限和判斷廣義積分的斂散性的過程。用這種方法還可以簡化判斷級數的斂散性的過程。

關鍵詞：無窮小階極限斂散性

一、“階”的概念及其推廣

高等數學中“階”的概念是在學習“無窮小的比較”這一內容時用極限概念引入的，無窮小階”的概念反映了在自變量的變化過程中，變量趨近于0的快慢程度。以下是許多《高等數學》教材中“階”的初步概念。

定義1：設 、 是同一變化過程中的兩個無窮小。

（1）如果 ，則稱 是比 高階的無窮小

記作

（2）如果 ，則稱 是比 低階的無窮小。

（3）如果 ，則稱 是與 同階的無窮小，特別地，如果 ，則稱 是 等價的無窮小，記作

（4）如果 ，則稱 是 的 階的無窮小.[1]

可以將以上定義進行推廣，得到如下定義

定義2：設有任意兩個函數 、 ，且 恒大于零， 在 ，

（1）如果

則稱 相對于 是無窮小量，記作 ； 稱 是比 更高階的無窮??；

（2）如果

則稱 與 是漸近相等的，記作 ， 則稱 與 為等價無窮小量；

（3）如果

則稱 與 是同階的函數，記作 ， 則稱 與 是同階無窮小。[2]

以上定義中當 時，因為它的性態簡潔，所以常用 當作比較“階”的基準，所以有：

二、“階”的概念及估計的應用

1.應用于求極限

定理1：等價無窮小替換定理：設 是同一變化過程中的無窮小

證明（略）[2]

2.由等價無窮小的性質，容易證得以下極限運算的規則：

（1）和差取大規則：設 、 是同一變化過程中的兩個無窮小

若

（2）和差代替規則：設 是同一變化過程中的無窮小， 且 不等價， 。

例如

、

解： 、

解：

2.應用于判斷廣義積分的斂散性

定理2：設 是定義在 上的連續函數，那么

（1） ，

（2）

說明：（1）以上定理實際上就是廣義積分的極限審斂法的變形形式，所以省去其證明。

（2）我們都知道若 ，則 [3]

例3；判斷下列積分的斂散性；

（1） （2） （3）

解：

（1） 收斂。

（2） 收斂。

（3）

當 >1時為絕對收斂

當 時為發散。[3]

通過以上舉例說明，利用“階”的概念來求極限和判斷廣義積分的斂散性非常簡單、實用，因此我們不要忽視一些看似簡單的概念在高等數學中的重要作用。以上只是“階”的概念的簡單應用，它還可以應用于判斷級數的斂散性等許多方面。

參考文獻

[1]陳水林易同貿.高等數學[M].武漢：湖北科學技術出版社，2007.29

[2]周民強.數學分析[M].北京：上?？茖W技術出版社，2002.9.119-124

[3]陳吉美等.淺談極限中階的估計法及其應用[J].湖南數學年刊，1995，15（3）：84-85.