高等數學課程中一階微分方程的基本求解方法探討*

陸心怡

(池州學院，安徽 池州 247000)

微分方程的求解問題是大學高等數學教學中的一個重點、難點.一般來說，微分方程所反應的是我們在實際問題中需要尋求的函數關系及其導數之間的關系式，那么如何去尋求未知的函數關系在現實意義中就顯得尤為重要。一階微分方程是微分方程的基礎，這里就我在高等數學課堂上的一點心得體會，結合三個例子總結探討一階微分方程的基本求解方法。

一、可分離變量的微分方程

例1求微分方程sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0的通解.

解這是一個可分離變量的微分方程，分離變量得

即 ln|tany|=-ln|tanx|+C1

于是得到通解為 tanx？tanyC.(C=？ec1)

二、齊次方程

三、一階線性微分方程

兩端積分得 ln|y|=2ln|x+1|+C1,

于是通解為y=C(x+1)2.

再運用常數變易法，把C換成u=u(x)，即y=u(x+1)2,

兩邊積分得u=

也可直接代入通解公式y=e((x)eP(x)dxdx+C).進行求解.

解法二直接代入通解公式

于是e=(x+1)2,

一階微分方程是大學數學微分方程的基礎部分，遇到不同的微分方程求解題目要首先辨別是哪種類型，再運用對應的合適方法進行求解。為了使得運算更為流暢和簡便，也需要仔細的觀察和多番的練習，這對于學好微分方程乃至高等數學都是有好處的。