基于m-Capon的多陣列直接定位算法*

譚智文，駱吉安，左 燕

（杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，杭州 310018）

0 引言

通過多個(gè)陣列接收未知輻射源信號(hào)并確定其位置的無源定位技術(shù)在雷達(dá)、聲納、通信等領(lǐng)域受到了廣泛的關(guān)注和研究［1-6］。在傳統(tǒng)的多陣列測(cè)向定位技術(shù)中，通常采用測(cè)角交叉二次定位方法［7-8］，即利用多個(gè)陣列的陣元對(duì)輻射源的波達(dá)信號(hào)（DOA）進(jìn)行數(shù)字采樣并估計(jì)其DOA值，將DOA值傳輸至融合中心建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)交叉定位，然而這種定位技術(shù)存在著顯著的缺陷，即存在著低信噪比情況下定位精度不高和多目標(biāo)情況下定位模糊等問題。針對(duì)上述問題，Weiss等人考慮到接收信號(hào)來自于同一輻射源這一空間關(guān)聯(lián)特性，提出了一種直接利用數(shù)字采樣數(shù)據(jù)的直接定位方法［9-11］（DPD），該方法相比二次定位方法的特點(diǎn)是無需參數(shù)估計(jì)，避免了參數(shù)估計(jì)帶來的信息損失，因而在低信噪比下能有更好的定位性能。同時(shí)在DPD方法的啟示下，羅景青等人提出了同樣無需參數(shù)估計(jì)的目標(biāo)信息場(chǎng)定位方法［12-14］（PIF）；直接定位方法技術(shù)在分布式相控陣列的應(yīng)用上，唐碩和尤丹丹分別提出了基于旋轉(zhuǎn)不變子空間（ESPRIT）和多重信號(hào)分類（Music）的目標(biāo)直接定位方法［15-16］。ESPRIT和Music算法是空間譜估計(jì)理論中兩種經(jīng)典的子空間類DOA估計(jì)算法，該類算法在確定噪聲子空間和兩個(gè)子陣之間的特征值時(shí)，都必須以預(yù)知或判定目標(biāo)個(gè)數(shù)為前提，因而在低信噪比下ESPRIT和Music算法的定位性能會(huì)受到信噪比的極大影響，即目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)算法的正確率會(huì)隨著信噪比的下降而下降。

針對(duì)上述問題，本文在未知信源數(shù)的參數(shù)估計(jì)算法的啟示下［17-18］，提出了基于m-Capon的多陣列直接定位算法，該算法在Capon算法和Music算法的基礎(chǔ)上，通過近似逼近的方法得到Music算法中的代價(jià)函數(shù)，有效地避免了因目標(biāo)個(gè)數(shù)預(yù)知和預(yù)判錯(cuò)誤，導(dǎo)致Music等算法不能正確獲得其代價(jià)函數(shù)的問題，同時(shí)相對(duì)于Capon算法改善了其在低信噪比的條件下定位性能不足的問題。在定位結(jié)果求解問題上，本文考慮首先利用經(jīng)典的網(wǎng)格法建立網(wǎng)格化的空間譜值矩陣，然后對(duì)網(wǎng)格化的空間譜值矩陣進(jìn)行向量化處理，并且利用爬山算法提取其中的波峰作為目標(biāo)位置的定位結(jié)果，與此同時(shí)也得到了目標(biāo)個(gè)數(shù)即為所提取的波峰個(gè)數(shù)。

1 多陣列信號(hào)模型及算法分析

1.1 多陣列信號(hào)模型

考慮由M個(gè)陣列，每個(gè)陣列由N個(gè)接收陣元組成的多陣列聯(lián)合定位系統(tǒng)，如圖1所示。假陣列結(jié)點(diǎn)的位置已知，記第i個(gè)未知目標(biāo)的位置為，第m個(gè)陣列的第1個(gè)陣元位置為針對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)第k個(gè)方位的目標(biāo)，則第m個(gè)陣列的N個(gè)接收陣元接收到的信號(hào)可以表示為：

圖1 多陣列聯(lián)合定位示意圖

式中，sm，k，l表示第l時(shí)刻從遠(yuǎn)場(chǎng)入射到第m個(gè)陣列的第k個(gè)窄帶輻射源信號(hào)，其中為陣列流形矢量，為第m個(gè)陣列的噪聲矩陣，θm，k為第k個(gè)窄帶輻射源信號(hào)相對(duì)于第m個(gè)陣列的方位角。其表達(dá)式如下：

將式（1）簡化為：

再令

將所有陣列的接收數(shù)據(jù)寫為矢量形式為：

對(duì)第m個(gè)陣列的接收數(shù)據(jù)進(jìn)行特征值分解可得：

實(shí)際上真實(shí)的協(xié)方差矩陣Rm是未知的，利用L次快拍采樣數(shù)據(jù)對(duì)協(xié)方差進(jìn)行估計(jì)可得：

式（11）中，（·）H表示共軛轉(zhuǎn)置。

1.2 CRLB分析

假設(shè)不同陣列之間的量測(cè)相互獨(dú)立，同一陣列各陣元的測(cè)量相互獨(dú)立，且噪聲功率相似為a2。在該假設(shè)條件下，類似于文獻(xiàn)［18］的計(jì)算方法，可得：

1.3 目標(biāo)定位算法

Music算法和Capon算法是空間譜估計(jì)中兩種各具優(yōu)勢(shì)的典型波達(dá)方向估計(jì)算法。從算法的簡易性上來說，Music算法是以預(yù)判或預(yù)知信號(hào)源個(gè)數(shù)為前提，而Capon算法則不需要以預(yù)判或預(yù)知信號(hào)源個(gè)數(shù)；從估計(jì)精度上來說，在低信噪比條件下，Capon算法的性能往往不如Music算法。利用目標(biāo)位置估計(jì)代替DOA參數(shù)估計(jì)，更能體現(xiàn)出多陣列對(duì)未知目標(biāo)直接定位的特點(diǎn)。下面分別對(duì)2種算法進(jìn)行介紹。

1.3.1 Music定位算法

基于子空間投影的原理，Music定位算法的空間譜函數(shù)為：

顯然可知，空間譜函數(shù)的極大值點(diǎn)即為目標(biāo)位置估計(jì)為：

式（13）近似表示陣列的接收導(dǎo)向矢量與噪聲子空間之間的距離，故會(huì)在各陣列的真實(shí)目標(biāo)方位的附近產(chǎn)生峰值，通過多個(gè)陣列峰值的匯集形成極大值點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)超分辨地對(duì)未知目標(biāo)定位。但是，實(shí)際中該算法的性能會(huì)受到兩方面的影響，一方面是協(xié)方差估計(jì)的準(zhǔn)確性依賴于快拍采樣數(shù)據(jù)的次數(shù)；另一方面該算法的實(shí)現(xiàn)必須預(yù)判或預(yù)知目標(biāo)個(gè)數(shù)作為前提，若目標(biāo)數(shù)目估計(jì)錯(cuò)誤會(huì)使相應(yīng)的陣列不能得到有效的噪聲子空間，進(jìn)而導(dǎo)致算法定位失效。

1.3.2 Capon定位算法

以最小方差準(zhǔn)則為優(yōu)化準(zhǔn)則，Capon定位算法的空間譜函數(shù)為：

同樣地，目標(biāo)位置估計(jì)為：

2 基于m-Capon的目標(biāo)定位算法

由上面的分析可以看出，在有限快拍數(shù)的條件下，基于子空間類的目標(biāo)定位算法性能會(huì)隨著信號(hào)源個(gè)數(shù)估計(jì)正確率的降低而降低，即信噪比的降低而降低。為了提高目標(biāo)定位算法性能，避免對(duì)目標(biāo)個(gè)數(shù)的估計(jì)，本文考慮在Music及Capon算法原理的基礎(chǔ)上，給出一種通過近似噪聲子空間和噪聲子空間共軛轉(zhuǎn)置積的m-Capon目標(biāo)定位算法。

2.1 m-Capon定位算法

對(duì)于協(xié)方差矩陣可以分解表示為：

將式（17）進(jìn)一步推導(dǎo)，可得：

通過式（19）可以得到一個(gè)無需預(yù)判或預(yù)知目標(biāo)個(gè)數(shù)進(jìn)行特征值分解得到噪聲子空間和噪聲子空間共軛轉(zhuǎn)置積的近似方法。式（19）表明，當(dāng)m→∞時(shí)才收斂到噪聲子空間，實(shí)際應(yīng)用中，m只要取有限的整數(shù)，就可以達(dá)到很好的性能。利用式（19），將式（13）的空間譜函數(shù)改寫為：

目標(biāo)位置估計(jì)為：

2.2 m-Capon定位解算方法

由于目標(biāo)個(gè)數(shù)是未知的，因此，對(duì)式（21）的求解包括了未知目標(biāo)個(gè)數(shù)和位置的解算兩個(gè)部分。在傳統(tǒng)的定位算法中，可以根據(jù)已知的目標(biāo)個(gè)數(shù)信息進(jìn)行自由選擇解算方法，在單目標(biāo)情況下，可以選用粒子群算法（PSO）進(jìn)行解算，以降低算法復(fù)雜度；在多目標(biāo)情況下，則需要對(duì)探測(cè)空間的空間譜進(jìn)行建立，然后提取其中的譜峰。本文考慮首先設(shè)定探測(cè)空間搜索步長得到網(wǎng)格化的探測(cè)空間譜，接著將空間譜進(jìn)行向量化處理并設(shè)定子集進(jìn)行邊緣提取，最后由爬山搜索算法對(duì)其峰值進(jìn)行提取作為目標(biāo)個(gè)數(shù)和目標(biāo)位置的估計(jì)。

對(duì)探測(cè)空間V設(shè)定橫縱坐標(biāo)等距劃分維數(shù)Nx、Ny得到網(wǎng)格化的探測(cè)空間集合為：

將探測(cè)空間V由式（22）計(jì)算對(duì)應(yīng)的空間譜圖像為：

將式（23）向量化處理可得：

記ei為e的第i個(gè)元素，，然后設(shè)定分割子集數(shù)l，求得曲線邊緣矢量ε，計(jì)算公式為：

綜上所述，基于m-Capon的多陣列被動(dòng)目標(biāo)直接定位算法流程如下：

3）設(shè)定網(wǎng)格步長 Step，由 F（x，y）計(jì)算其函數(shù)值，并向量化后的e；

4）設(shè)定分割子集數(shù)l，由式（25）對(duì)向量化后的e的邊沿曲線進(jìn)行提取；

5）對(duì)第4步所得結(jié)果，由式（26）進(jìn)行求解，得到目標(biāo)的位置和個(gè)數(shù)估計(jì)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 單目標(biāo)仿真

為了對(duì)比本文所提算法與經(jīng)典Music算法之間的性能，不考慮目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)的錯(cuò)誤對(duì)Music算法的影響，Music算法的目標(biāo)個(gè)數(shù)均為已知的情況下進(jìn)行仿真。目標(biāo)定位結(jié)果的解算方法均采用本文所提的m-Capon定位解算方法進(jìn)行解算，以下不再重述。仿真環(huán)境：多陣列聯(lián)合定位系統(tǒng)由位置分別位于：s1=［0 km，0 km］T、s2=［10 km，0 km］T、s3=［0 km，10 km］T的3個(gè)陣列構(gòu)成；未知目標(biāo)位置為p1=［16 km，15 km］T，陣列接收陣元個(gè)數(shù)均為7，陣元之間的間隔設(shè)置為0.03 m，采樣次數(shù)L=2 000，信號(hào)載頻fc=1 GHz；信號(hào)類型為線性調(diào)頻信號(hào)；分割子集數(shù)l=100；轉(zhuǎn)移狀態(tài)的范圍η=3；探測(cè)空間V范圍為：x軸15 km～25 km，y軸10 km～20 km；本文算法中的m設(shè)置為10；網(wǎng)格步長step=50 m；繪制仿真結(jié)果如下頁圖2所示。

圖2（a）表示了信噪比為：-5 dB 時(shí)，m-Capon 算法單目標(biāo)網(wǎng)格化探測(cè)空間譜圖像，從圖2（a）可以看出，m-Capon算法通過近似噪聲子空間的方式能對(duì)目標(biāo)有效地進(jìn)行定位；下面考察平均均方根誤差（Root Mean Square Errot，RMSE）與信噪比之間的關(guān)系。仿真結(jié)果由50次蒙特卡羅仿真平均獲得，RMSE誤差曲線與信噪比關(guān)系如圖2（b）所示，可以看出3種算法的估計(jì)偏差大致相同；當(dāng)信噪比高于-10 dB時(shí)，3種算法的RMSE趨于穩(wěn)定且逼近于CRLB下界，同時(shí)從圖2（b）中可以看到，在信噪比高于-10 dB情況下，3種算法的定位誤差均收斂于50 m，因此，可以根據(jù)自己的精度需求設(shè)置相應(yīng)的網(wǎng)格步長。

圖2 單個(gè)目標(biāo)定位仿真結(jié)果圖

3.2 多目標(biāo)仿真

圖3 兩個(gè)目標(biāo)定位仿真結(jié)果圖

表1 本文所提解算方法和傳統(tǒng)解算方法運(yùn)行時(shí)間比較

仿真環(huán)境：未知目標(biāo)位置為 p1=［20 km，15 km］T，p2=［16km，16km］T；其他參數(shù)設(shè)置不變。仿真結(jié)果如圖3（a）～ 圖3（d）所示，圖3（a）表示信噪比為：-5 dB時(shí)，m-Capon算法兩個(gè)目標(biāo)空間譜圖像，從圖中可以看出，m-Capon算法能夠定位多個(gè)目標(biāo)。圖3（b）表示50次蒙特卡羅后的平均RMSE誤差曲線，從圖中可以看出，Music算法和m-Capon算法定位誤差大致相同，Capon算法誤差最大；當(dāng)信噪比大于-10 dB時(shí)，Music算法和m-Capon算法定位誤差開始漸進(jìn)于CRLB，而Capon算法定位誤差較大；在信噪比大于10 dB時(shí)，3種算法的定位誤差逼近于CRLB。圖3（c）表示3種算法估計(jì)目標(biāo)個(gè)數(shù)與信噪比之間關(guān)系，從圖中可以看出，當(dāng)信噪比大于-10 dB時(shí)，Music算法和m-Capon算法的空間圖像已能準(zhǔn)確估計(jì)目標(biāo)個(gè)數(shù)，而Capon算法需要信噪比大于2 dB才能準(zhǔn)確估計(jì)目標(biāo)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖3（b）對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，Capon算法與m-Capon算法相比，m-Capon算法收斂速度明顯快于Capon算法。圖3（d）表示了m-Capon算法中定位誤差與m的取值之間的關(guān)系，從圖3（d）中可以看出，即可滿足定位精度的需要，通過對(duì)m取有限值即可達(dá)到很好的性能并且隨著m值的增大，其取值為5～10即可滿足定位精度的要求，m-Capon算法的定位性能逐步提高，同時(shí)也驗(yàn)證了式（19）的有效性。

3.3 時(shí)效分析

下面對(duì)本文所提解算方法與傳統(tǒng)解算方法和量子粒子群解算方法的計(jì)算時(shí)間進(jìn)行對(duì)比，PSO算法迭代次數(shù)設(shè)置為15次，網(wǎng)格步長100 m，其他參數(shù)均保持不變，計(jì)算機(jī)操作系統(tǒng)：Microsoft Windows 7 Ultimate；CPU：Intel（R）Core（TM）i3-2310M；內(nèi)存：6.00 GB，MATLAB：2014b。經(jīng)過 50 次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)后得到算法單次運(yùn)行平均時(shí)間如表1所示，從表1可以看出，Capon和m-Capon算法在目標(biāo)個(gè)數(shù)為1個(gè)或2個(gè)時(shí)，傳統(tǒng)方法和本文方法的運(yùn)行時(shí)間基本一致，且略快于Music算法；PSO算法需要較多的迭代次數(shù)，因此，單次運(yùn)行平均時(shí)間耗時(shí)較高。綜上所述，Capon算法與m-Capon算法相比，運(yùn)行時(shí)間上大致相同，且略快于Music算法。

4 結(jié)論

本文針對(duì)Capon算法在低信噪比下性能不足的問題，提出一種無需目標(biāo)個(gè)數(shù)的多陣列目標(biāo)直接定位算法。該算法引入m-Capon的算法思想，結(jié)合了Capon算法和Music的優(yōu)點(diǎn)，利用協(xié)方差逆的高階冪方法近似逼近得到Music算法中的代價(jià)函數(shù)，然后利用經(jīng)典網(wǎng)格搜索和爬山搜索算法分別對(duì)目標(biāo)個(gè)數(shù)和位置進(jìn)行求解。仿真結(jié)果表明，在低信噪比下，m-Capon算法性能漸進(jìn)于Music算法且優(yōu)于Capon算法；在高信噪比下，三算法的性能相當(dāng)且接近克拉美羅下界。