基于CWLS時差頻差無源定位閉式解算方法*

馮 奇，曲長文，周 強，郭林鵬

（海軍航空大學，山東 煙臺 264001）

0 引言

無源定位是一種觀測設備自身不輻射信號，僅通過接收目標電磁信號來估計目標狀態的技術。相對于雷達、聲納等有源探測技術，無源定位系統［1］具有生存能力強、偵察作用距離遠、能夠有效應對隱身目標等優點。無源定位的本質就是通過優化求解觀測方程獲得目標狀態估計［2］。

時差（Time Difference of Arrival，TDOA）、頻差（Frequence Difference of Arrival，FDOA）與目標狀態的非線性關系很強，導致其觀測方程不能直接進行偽線性處理［3］，需要借助中間變量。對此文獻［4］利用球面插值（Spherical Interpolation，SI）法推導了觀測方程的偽線性形式，然后利用線性最小二乘（Least Squares，LS）估計目標位置。文獻［5-6］改進了SI法，考慮了偽線性方程中誤差項的統計特性及目標狀態與中間變量之間的關系，在此基礎上提出了兩步加權最小二乘（Two-Stage Weighted Least-Squares，TS-WLS）算法。文獻［7］進一步將此類偽線性定位方法抽象歸納，提出一種基于加權最小二乘（Weighted Least-Squares，WLS）的定位理論模型。但是由于WLS運算中回歸量以及回歸附屬量之間的誤差相關性導致此類WLS算法的狀態估計是有偏的［8］。

針對WLS估計有偏的問題，文獻［9］中討論了基于CWLS的無源定位閉式解算理論框架。本文將該理論框架應用于TDOA/FDOA無源定位場景，在TS-WLS基礎上提出一種基于CWLS的TDOA/FDOA無源定位閉式解算方法。通過理論分析證明了本文算法在保持了TS-WLS算法定位精度基礎上，有效減小了目標狀態估計偏差。

1 定位模型

不失一般性，考慮多運動觀測站對運動目標的TDOA/FDOA無源定位場景。顯然，TDOA定位就是該場景中觀測站與目標速度為零的情況下的一個特例，因此，本文結論完全適用于TDOA無源定位算法。

2 CWLS定位算法

本文算法在TS-WLS算法框架基礎上改進，第1步中使用CWLS算法代替WLS算法，在保持WLS算法定位精度的基礎上，有效減小估計偏差，下面給出基于CWLS的定位模型。

第1步：TDOA/FDOA無源定位體制的觀測方程借助中間變量進行偽線性化處理得

式（7）中，0m×1表示m行的零向量。WLS算法通過選擇使下式最小化的t作為估計值

同上，將向量h1表示為確定矩陣與噪聲向量乘積的形式，可得

將式（11）帶入式（10）得

其中，誤差項ΔD是零均值的，因此，對式（12）兩邊求均值得

將式（18）代入式（17）得

估計誤差可以表示為

至此，第1步結束，第2步與TS-WLS算法完全相同。綜上，所提基于CWLS的閉式解保持了與TS-WLS算法相同的定位精度。文獻［5］給出了TS-WLS目標狀態估計MSE的具體表達式，且證明了其漸近有效性，本文不再贅述。

下面根據前面的推導及分析給出算法的實現步驟：

1）借助中間變量對TDOA/FDOA無源定位方程進行偽線性化處理，構造擴維系數矩陣D。

2）將擴維系數矩陣D每一列表示為系數矩陣與誤差向量乘積形式，如式（11）所示。

3）令權重矩陣W1=Qα，計算得到矩陣和 E［G］。對矩陣束進行廣義特征值分解，選取最小特征值min對應的特征向量作為選擇向量，則目標狀態向量估計值。

4）利用步驟3）中目標狀態粗估計值，求得精確的權重矩陣W1。重復步驟3）得目標狀態精估計值，第1步結束。

5）第2步與TS-WLS算法相同，進一步提高定位精度。

需要說明的是，TS-WLS算法第2步中系數矩陣G2為常系數矩陣，不能將每一列表示為系數矩陣與誤差向量的乘積形式，因此，無法應用本文算法優化。

3 算法分析

綜合式（23）、式（24）可得

同理，可得

由式（17）可得，本文算法閉式解是通過對WLS估計值進行雙邊補償得到的。綜合式（25）～式（27）可得本文所提閉式解定位偏差小于WLS估計值偏差，具有減小定位偏差特性。

4 仿真分析

本節對TDOA/FDOA無源定位體制進行數據仿真，將本文算法與文獻［5］所提TS-WLS算法及CRLB進行性能比較。

觀測站狀態參數真值如表1所示。觀測時刻目標位置為（2000m 2500m 3000m），運動速度為（-20 m/s 15 m/s 40 m/s）。觀測站位置測量誤差方差取。各觀測站站址測量誤差不同，且相互獨立，觀測站的站址誤差協方差矩陣

式中：diag（·）表示以其中元素為對角線的對角矩陣。觀測站速度測量誤差協方差陣。TDOA、FDOA測量誤差服從零均值高斯分布，且相互獨立。

表1 觀測站狀態參數

4.1 TDOA/FDOA無源定位

在TDOA/FDOA無源定位場景中，從定位精度和估計偏差兩方面，對本文所提基于CWLS的閉式解與TS-WLS算法進行比較。圖1分別給出假定FDOA測量誤差標準差aFDOA=-30 dB情況下，目標位置和速度估計MSE隨著TDOA測量誤差的變化曲線；圖2分別給出假定TDOA測量誤差標準差aTDOA=-30 dB情況下，目標位置和速度估計MSE隨著FDOA測量誤差的變化曲線。仿真中目標狀態估計MSE定義表達式為

式（28）中，M表示Monte Carlo仿真實驗次數，仿真中取M=2 000。

圖1 目標狀態估計MSE隨TDOA測量誤差變化曲線

圖2 目標狀態估計MSE隨FDOA測量誤差變化曲線

由圖1可得本文所提基于CWLS算法閉式解基本保持了與TS-WLS算法相同的定位精度，且均能較好地逼近CRLB，符合第2節對CWLS閉式解估計誤差的分析，由圖2可以得到同樣的結論。值得注意的是，圖1中目標速度估計的CRLB不隨著TDOA的測量誤差變化而變化，這是因為TDOA參數中不包含目標的速度信息而導致的。圖2中目標的位置估計CRLB隨著FDOA的測量誤差變化而變化，這是因為FDOA參數中既包含了目標的速度信息，也包含了目標的位置信息。

下面比較TDOA/FDOA無源定位中本文所提基于CWLS算法閉式解與TS-WLS算法的估計偏差特性。圖3分別給出假定FDOA測量誤差標準差aFDOA=-30 dB情況下，目標位置和速度估計偏差隨著TDOA測量誤差的變化曲線；圖4分別給出假定TDOA測量誤差標準差aTDOA=-30 dB情況下，目標位置和速度估計偏差隨著FDOA測量誤差的變化曲線。仿真中目標狀態估計偏差［12］定義式為

圖3 目標狀態估計偏差隨TDOA測量誤差變化曲線

圖4 目標狀態估計偏差隨FDOA測量誤差變化曲線

由圖3可得隨著TDOA測量誤差變化，本文所提基于CWLS算法閉式解的目標位置估計誤差明顯小于TS-WLS算法，當TDOA測量誤差強度達到0 dB時，基于CWLS算法閉式解的目標位置估計偏差能減小大約100 m。由于TDOA參數中不包含目標速度信息，因此，兩種算法的速度估計誤差偏差差別不明顯。由圖4可得隨著FDOA測量誤差變化，本文所提基于CWLS算法閉式解的目標速度估計誤差基本保持比TS-WLS算法小的趨勢。同上述分析，由于FDOA參數中同時包含了目標速度信息和位置信息，因此，圖4中本文所提基于CWLS算法閉式解的目標位置估計偏差明顯小于TS-WLS算法，且差值比較恒定，大約為16 m左右。

5 結論

本文在TS-WLS算法基礎上提出一種基于CWLS的TDOA/FDOA無源定位閉式解算方法。給出了該閉式解的解析表達式，并推導了目標狀態估計的MSE。數據仿真結果表明本文所提算法與TS-WLS算法具有相同的定位精度，均能較好地逼近CRLB，而且所提算法的目標狀態估計誤差明顯小于TS-WLS算法，驗證了理論分析的正確性。