基于三階矩法的CRTSⅡ型軌道板橫向抗裂時變可靠度研究

鄒 紅，盧朝輝，余志武

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

CRTSⅡ型板式無砟軌道在我國京津城際鐵路首次應用，隨后在京滬、京石武、寧杭、津秦、滬杭、合蚌、杭甬和杭長等10余條設計時速為350 km的高速鐵路上大規模應用。截至2017年底，CRTSⅡ型板式無砟軌道正線總里程為4 852 km，占高速鐵路無砟軌道線路總里程的30%左右。

雨水、溫度及列車荷載等共同作用使軌道板出現了傷損。文獻[1]分析高速鐵路無砟軌道線路的調研結果，發現軌道板下翼緣裂縫為CRTSⅡ型板式無砟軌道最常見的傷損類型(圖1)。文獻[2]指出，軌道板產生的裂縫會加速其內部鋼筋的銹蝕，銹蝕的鋼筋反過來會擠脹混凝土，使裂縫繼續擴展，降低軌道板耐久性和承載力，影響乘坐舒適度和列車運營安全，增大養護維修部門工作量等(圖2)。

圖1 預應力鋼筋邊緣裂紋網

圖2 裂縫修補

研究者對軌道板裂縫形成的機制開展研究。文獻[3]提出溫度梯度應力以及混凝土收縮是軌道板產生裂縫的主要原因，建議通過優選原材料、二次振搗等措施來延緩裂縫的產生與發展。文獻[4]認為溫度應力與外界荷載耦合作用加速了裂縫的形成與發展，建議從養護及施工溫度控制等方面入手控制裂縫。

列車荷載、溫度等環境作用以及軌道板材料和結構力學性能等具有隨機不確定性，相關學者從概率論角度對軌道板裂縫開展研究。文獻[5]考慮溫度翹曲彎矩、列車荷載彎矩以及有效預應力彎矩等隨機不確定性條件，提出基于FORM中心點法的軌中截面以及軌下截面上下緣的橫向抗裂可靠度分析，但未從結構設計上具體考慮有效預應力彎矩使軌道板上、下緣產生拉壓應力的大小，且FORM法求解可靠度存在求導迭代確定驗算點等弊端。文獻[6]考慮列車荷載以及有效預應力隨機不確定性條件，開展基于蒙特卡洛法的軌道板橫、縱向抗裂可靠度研究，并且將軌道板抗裂上升到串聯體系可靠度，研究變量參數對體系可靠度的敏感性等，但其未考慮溫度應力對軌道板抗裂的影響。文獻[7]認為：無砟軌道溫度梯度荷載引起的軌道板縱、橫向翹曲應力以及翹曲變形甚至超過了列車荷載引起的無砟軌道板應力及變形，因此溫度對軌道板開裂的影響不可忽略。

綜上，要開展軌道板橫向上、下緣抗裂可靠度分析，必須綜合考慮軌道結構在運營期內受到隨機不確定性的影響，按照最不利荷載進行工況組合，再采用一種有效又簡便的可靠度計算方法分析軌道板橫向抗裂可靠度。

本文發展了軌道板抗裂時變可靠度分析的三階矩方法。首先，借助單聯寬軌枕模型[8]發展考慮有效預應力損失條件時簡支箱梁橋上CRTSⅡ型軌道板軌中與軌下截面上、下緣橫向抗裂抗力時變模型，結合列車荷載彎矩與溫度翹曲應力，分別建立軌道板軌中與軌下截面上、下緣橫向抗裂的功能函數，利用這些功能函數，建立軌道板抗裂時變體系可靠度分析模型。其次，分別用7點估計一維減維法求解單一失效模式下軌道板橫向抗裂時變功能函數與時變體系功能函數前三階矩，采用三階矩可靠度公式求出可靠度指標及失效概率。

1 單一失效模式下軌道板橫向抗裂時變功能函數的建立

考慮抗力衰減的軌道板橫向抗裂極限狀態功能函數可表示為

G(t)=R(t)-S

( 1 )

式中：R(t)為軌道板混凝土抗力，包括混凝土自身抗拉強度與有效預壓應力；t為軌道結構服役時間，a；S為外界荷載作用，本文考慮列車荷載及溫度梯度工況組合在軌道板軌中與軌下截面上、下緣產生的拉應力。

1.1 有效預應力條件下軌道板橫向上、下緣壓應力計算

依據文獻[9]，得到有效預應力條件下軌道板上、下緣預壓應力為

( 2 )

式中：σPC(t)為有效預應力條件下軌道板上、下緣壓應力，若為負數，則表示σPC(t)為拉應力，正數表示σPC(t)為壓應力；NP0(t)為時變有效預應力合力；A0為換算截面面積；eP0為換算截面重心至預應力筋合力點的距離；y0為換算截面重心至計算纖維處的距離；I0為換算截面慣性矩。

軌道板長期預應力損失主要由混凝土的收縮、徐變和預應力筋的松弛三部分組成。在結構的使用過程中，混凝土有效預壓應力的減小可能導致混凝土出現開裂現象，進而影響結構的耐久性。預應力結構的長期預應力損失在使用初期速度較快，隨著使用時間的增加，其預應力損失速度逐漸變緩[10]。

依據文獻[11]所述，預應力筋的松弛在使用40 d左右時完成，混凝土的收縮徐變在使用3年時完成，在使用1年時其收縮徐變預應力損失完成85%。由于無砟軌道結構承受列車荷載高頻疲勞作用，軌道板在列車荷載激勵下發生高頻振動，會形成“琴弦效應”發生持續的高頻振動，導致預應力鋼筋的不斷松弛；疲勞荷載作用導致的混凝土殘余變形增加等會引起預應力的損失[10]。文獻[10]在分析文獻[12]研究成果之后，采用式( 3 )預測無砟軌道結構預應力損失。

( 3 )

式中：NP0為預應力初始值。

1.2 列車荷載條件下軌道板橫向上下緣拉應力計算

依據文獻[9],活荷載彎矩(本文僅考慮列車荷載作用于軌道板產生的彎矩)在混凝土構件相應截面上、下緣產生的拉壓應力為

( 4 )

式中：σst為活荷載彎矩在軌道板計算纖維處產生的拉壓應力；M為列車荷載作用于軌道板產生的橫向彎矩。

當列車荷載作用于無砟軌道-橋梁結構體系時，基于彈性地基梁-板有限元模型，文獻[13]利用ANSYS軟件求解了軌道板的豎向撓度及橫向彎矩，分別如圖3、圖4所示。

圖3 軌道板位移變形(單位：m)

圖3、圖4表明：在列車荷載作用下，軌道結構軌底下截面(軌下截面)將承受較大負彎矩，中間截面(軌中截面)將承受正彎矩，此時軌中截面上緣混凝土受拉、下緣受壓，軌下截面上緣混凝土受壓、下緣受拉。

圖4 軌道板橫向彎矩變化

1.3 溫度作用下軌道板橫向上下緣拉應力計算

文獻[14]認為：無砟軌道板在外界溫度作用下會產生3個部分的溫度應力，即軸向溫度應力、溫度梯度翹曲應力以及非線性變化的內應力，其中溫度翹曲應力影響最大，甚至超過了列車荷載作用引起無砟軌道板的應力和變形[15]。若不受約束作用，軌道板變形能自由展開，則結構內部不會產生溫度應力；反之，溫度變形不能自由展開，在正溫度梯度條件下軌道板上緣受壓，下緣受拉，負溫度梯度條件下應力相反。

根據軌道板截面靜力平衡條件，文獻[16]推導了溫度翹曲作用下軌道板上、下緣混凝土拉應力公式

( 5 )

( 6 )

式中：σTt為軌道板在正溫度梯度作用下的下緣拉應力；σTt′為軌道板在負溫度梯度作用下的上緣拉應力；a為軌道板材料的線膨脹系數；Eg為軌道板彈性模量；ν為軌道板泊松比；Tz、Tf分別為正、負溫度梯度。

文獻[17]認為，“真實”的抗裂可靠度應當以外界荷載產生的拉應力抵消掉余壓應力后達到混凝土抗拉強度，混凝土即將開裂為極限狀態。根據文獻[18]，考慮有效預應力損傷以及荷載最不利組合的軌道板軌中及軌下截面的上、下緣混凝土橫向抗裂可靠度分析的功能函數可表述為

( 7 )

( 8 )

( 9 )

(10)

式中：g1(X,t)、g2(X,t)分別為軌道板軌中截面上、下緣抗裂極限狀態函數；g3(X,t)、g4(X,t)分別為軌道板軌下截面上、下緣抗裂功能函數；ftk為混凝土軸心抗拉強度；MZ、MX分別為列車荷載作用在軌道板軌中、軌下截面處產生的橫向彎矩。

2 多重失效模式下軌道板橫向抗裂時變體系功能函數的建立

1.3節建立了軌道板4個位置處的混凝土抗裂時變功能函數。本文認為任何位置處混凝土抗裂失效結構不再滿足使用要求，因此將這些單一抗裂失效模式視為串聯關系，建立如圖5所示的多重失效模式下軌道板橫向抗裂時變體系可靠度模型。

圖5 軌道板抗裂體系可靠度串聯模型

文獻[19]認為，串聯體系失效概率Pf可以表示為

Pf=Prob[g1(X,t)≤0∪g2(X,t)≤0∪
g3(X,t)≤0∪g4(X,t)≤0]

(11)

相反地，整個串聯體系不失效的概率Ps可表示為

Ps=Prob[g1(X,t)>0∩g2(X,t)>0∩
g3(X,t)>0∩g4(X,t)>0]
=Prob{min[g1(X,t),g2(X,t),
g3(X,t),g4(X,t)]>0}

(12)

圖5所示串聯體系的功能函數G(X,t)>0可以描述成在串聯體系中所有抗裂失效模式下的最小值，即

G(X,t)=
min{g1(X,t),g2(X,t),g3(X,t),g4(X,t)}

(13)

3 軌道板抗裂可靠度分析的三階矩方法

3.1 計算功能函數前三階矩的點估計方法

對于功能函數G(X)，可以采用標準正態空間上的m點來估計函數的前三階矩，即

(14)

(15)

(16)

式中：n為隨機變量個數；ci(i=1,2,…,n)為組合系數c的第i項；c=mn，為變量估計點的組合數，即針對每個變量每次從1,2,…,m中選取一個，重復m次；m為估計點個數；uci為第ci個估計點；Pci為uci對應的權重；T-1(·)表示Rosenblatt逆正態轉換[20]；μG、σG、α3G分別為功能函數的均值、方差和偏度。

對于式(14)～式(16)，必須對其計算mn次才能確定函數的三階矩，隨著n的增大，計算次數會呈冪級增加。為提高計算效率，文獻[21]提出基于m點估計的一維減維方法

(17)

Gμ=G(μ)

(18)

Gi=G(μ1,μ2,…,μi-1,T-1(ui),μi+1，…，μn)

(19)

式中：ui為標準正態空間隨機變量(i=1,2,…,n)；μ=[μ1μ2…μn]T,μ1，μ2，…，μn為隨機變量均值；Gi為僅含有參數ui的單變量函數。

G(X)的前三階矩可表示為

(20)

(21)

(22)

式中：μGi、σGi、α3Gi分別為單變量函數Gi的前三階矩。

(23)

(24)

(25)

式中：uik(k=1,2，…,m；i=1,2,…,n)為ui的第k個估計點；T-1(uik)為第i個隨機變量的第k個逆正態轉換值；pk為相應的權重。若采用標準正態空間中的7點估計，其估計點值uik及權重pk為[21]

(26)

3.2 單一失效模式下軌道板橫向抗裂時變功能函數的前三階矩計算

根據式(17)～式(19)有

gi,1=M1(μ1,…,μi-1,T-1(ui),μi+1,…,μn1,t)-M2(μn1+1,…,μn1+n2)-M3(μn1+n2+1,…,μn1+n2+n3)
1≤i≤n1

(27)

gi,1=M1(μ1,…,μn1,t)-M2(μn1+1,…,μi-1,T-1(ui),μi+1…,μn1+n2)-M3(μn1+n2+1,…,μn1+n2+n3)
n1

(28)

gi,1=M1(μ1,…,μn1,t)-M2(μn1+1…,μn1+n2)-M3(μn1+n2+1,…,μi-1,T-1(ui),μi+1…,μn1+n2+n3)
n1+n2

(29)

gμ,1=M1(μ1,…,μn1,t)-M2(μn1+1…,μn1+n2)-M3(μn1+n2+1,…,μn1+n2+n3)

(30)

式中：T-1(ui)為式( 7 )中隨機變量xi的逆正態轉換值；μ1,μ2,μi-1,μi+1,…,μn1+n2+n3分別為式( 7 )所有隨機變量(不含第i個)的均值；M1(μ1，…,μi-1,T-1(μi),μi+1,…,μn1,t)為變量xi取逆正態轉換值(1≤i≤n1)，其余變量取均值時方程M1(X1,t)的值；M2(μn1,…，μi-1,T-1(ui),μi+1,…,μn1+n2)為變量xi取逆正態轉換值(n1

當gi,1(i=1,2，…,n)確定后，若采用7點估計，單一失效模式抗裂功能函數的前三階矩計算步驟如下：

步驟1 把每個變量的7個逆正態轉換值與式(26)的權重代入式(23)～式(25)，可得到gi,1的前三階矩μgi,1、σgi,1、α3gi,1；

步驟2 將gi,1的前三階矩分別代入式(20)～式(22)可以得到功能函數的前三階矩μg1、σg1、α3g1；

步驟3 依次重復步驟1、步驟2得到μg2、σg2、α3g2、μg3、σg3、α3g3、μg4、σg4、α3g4。

即確認功能函數的前三階矩只需要計算m×n次。

3.3 多重失效模式下軌道板橫向抗裂時變體系功能函數前三階矩的計算

第2章已建立軌道板橫向抗裂時變體系功能函數，類似地按照式(27)～式(30)，將時變體系功能函數的單變量參數方程以及均值分別表示為

Gμ(t)=min{gμ,1,gμ,2,gμ,3,gμ,4}

(31)

Gi(t)=min{gi,1,gi,2,gi,3,gi,4}

(32)

式中：下標i為整數，i∈[1,n]；n為g1(X,t)、g2(X,t)、g3(X,t)、g4(X,t)隨機變量數總和，此時gi,1、gi,2、gi,3、gi,4所含的單變量參數即xi是相同的；Gi(t)為單變量參數方程。

重復3.2節中的步驟1～步驟3便可求得體系功能函數的前三階矩μG、σG、α3G。

3.4 三階矩可靠度指標及失效概率計算

將得到的功能函數前三階矩代入式(33)和式(34)，可計算出三階矩可靠度指標β3M和失效概率Pf[19]

(33)

Pf=Φ(-β3M)

(34)

4 算例

參考原鐵道第三勘測設計院集團有限公司設計的時速250 km客運專線上CRTSⅡ型板式軌道板結構設計圖(圖6)[22]：整塊軌道板長為6 450 mm，厚度為200 mm，寬度為2 550 mm；每一塊軌道板之間用直徑為20 mm的螺紋鋼連接；混凝土標號為C55；橫、縱鋼筋交叉口采用絕緣設計；每塊軌道板由10塊單聯寬軌枕組成，如圖7所示；中部偏下10 mm處設置6根φ10預應力鋼筋，如圖8所示。

圖6 CRTSⅡ型軌道板俯視圖(單位：mm)

圖7 單聯寬軌枕俯視圖(單位：mm)

圖8 N-N剖面圖(單位：mm)

4.1 單一失效模式下軌道板橫向抗裂時變可靠度計算

功能函數g1(X,t)中，將M1(X1,t)中的參數ftk和NP0假定為隨機變量x1和x2，即n1=2，將A0、y0、I0、eP0當作常量；在M2(X2)中，利用ANSYS軟件內嵌PDS模塊把列車豎向輪軌力P、扣件剛度Ek、橋面彈簧剛度系數Eq分別當作隨機變量x3、x4、x5，即n2=3；在M3(X3)中，把α、Tf看成隨機變量x6、x7即n3=2，h、Eg、ν當作常量。另外，g1(X,t)中未含有Tz變量，為了便于后文分析體系可靠度，將Tz看成隨機變量x8，各變量分布類型與常量取值分別見表1、表2。

表1 算例隨機變量分布特征

表2 常量取值

根據表1隨機變量的分布特征，用式(26)標準正態空間的7點估計值經過Rosenblatt逆正態轉換后，可得到相應隨機變量原始空間的7點估計值，結果列于表3。

表3 隨機變量7點逆正態轉換值

利用文獻[13]建立的梁-板有限元模型，在ANSYS軟件中，先將列車荷載x3取表3中7點估計值，x4、x5取表1中均值，得到M2(T-1(u3m),μ4,μ5)的7個值為932、1 374、1 762、2 131、2 499、2 887和3 329 N·m。同理分別得到M2(μ3,T-1(u4m),μ5)、M2(μ3,μ4,T-1(u5m))的7個值，見表4。

表4 M2(x3, x4, x5)的7點有限元解 N·m

t=0時，將表1中xi均值、表2常量、M2(μ3,μ4,μ5)代入式(30)得μgi,1=2 351 293 Pa；將g1,1、表3中x1的7個逆正態轉換值、表2常量、變量均值(x1除外)、M2(μ3,μ4,μ5)、式(26)相應權重代入式(23)～式(25)可計算得到g1,1的前三階矩分別為2 351 340 Pa、448 177 Pa、0.004。

同理，可得到gi,1(i=2,3,…,7)的前三階矩，見表5。

將μgi,1、表5中的gi,1(i=2,3,…,7)均值代入到式(20)，得到μg1=2 356 114 Pa；

將表5中gi,1方差代入到式(21)，得到σg1=618 171 Pa；

將表5中gi,1方差、偏度代入式(22)，得到α3g1=0.008；

將μg1、σg1、α3g1代入式(33)和式(34)得到β3M=3.82；Pf=6.41×10-4，與蒙特卡洛法對比見表6。

表5 gi,1前三階矩

表6 g1(X,0)前三階矩及可靠度

同理，當t∈(0，60]，利用式( 3 )估算有效預應力損失，方程g1(X,t)中隨機變量、常量保持不變，將g1(X,t)時變可靠度整理為圖9。

圖9 g1(X,t)時變可靠度

圖10 軌道板抗裂時變可靠度

圖9表明：本文方法與蒙特卡洛法計算出的最大誤差只有0.03，滿足精度要求。軌道板軌中截面上緣抗裂可靠度從初始的3.85下降到2.07，當t=3年時(軌道板混凝土收縮徐變最大值時刻)，混凝土抗裂時變可靠度會有一個如圖9所示的突變點，服役期間的后半時段，下降過程較為平緩。同理，求解g2(X,t)、g3(X,t)、g4(X,t)時變可靠度，如圖10所示。

4.2 多重失效模式下軌道板橫向抗裂時變體系可靠度計算

隨機變量分布特征以及常量可以根據表1、表2直接選取，7點逆正態轉換值可以根據表3直接選取，軌下截面彎矩MX(P,…)的7點有限元解可以參照軌中截面M2(x3,x4,x5)的求解方式。

當t=0時，根據式(31)：將表1中xi均值(此時i=(2,3，…,8))、表2常量代入式(30)得Gμ=min{2 356 114，3 576 037，2 847 931，388 551}=388 551 Pa。

根據式(32)，得到G1(0)=min{x1+111 292,x1+1 346 175,x1+603 235,x1-1 851 443}=x1-1 851 443。

將x1的7點估計值、Gμ、式(26)所示權重及G1代入式(23)～式(25)得到μG1=388 857 Pa、σG1=448 000 Pa、α3G1=0。同理，可得Gi(0)(i=(2,3，…,8))的前三階矩，見表7。

表7 軌道板抗裂體系功能函數Gi(0)前三階矩

重復4.1節，得到t=0時刻的軌道板橫向抗裂體系可靠度，見表8。

表8 軌道板抗裂體系功能函數前三階矩及可靠度

同理，當t∈(0，60]時，得到軌道板橫向抗裂體系時變可靠度，如圖10所示。

由圖10(縱坐標為對數坐標)可知軌道板橫向抗裂時變可靠度變化規律。在服役期限內，從式( 9 )可知：雖然有效預應力使軌下截面上緣混凝土產生的壓應力較小，但外界荷載中只有負溫度梯度在上緣才產生拉應力，且負溫度梯度產生的拉應力較正溫度梯度小，造成軌下截面上緣(g3(X,t))混凝土抗裂可靠度指標最高(3.00～4.76)。從式(10)可知，有效預應力使軌下截面下緣混凝土產生的壓應力較大，但外界荷載(正溫度梯度與M2(x3,x4,x5))在此處使混凝土產生的拉應力均較大(M2(x3,x4,x5)約為MZ(x3,x4,x5)的7倍[13])，兩者效應疊加，最終造成軌下截面下緣混凝土抗裂可靠度(g4(X,t))在整個服役期限內都處于最低水準；當t∈[0,3]時，由于混凝土收縮徐變在此段時間內發展較快，其預應力損失較快，最終反映到抗裂可靠度的較快下降，因此抗裂可靠度存在如圖10所示的突變點。另外，軌道板抗裂體系可靠度(βsys∈[0.011,0.342])比任意單一失效模式的可靠度還要低，建議工程設計人員著重提高軌下截面下緣混凝土抗裂可靠度設計值，進而提高軌道板橫向抗裂體系可靠度水準。

5 結論

(1)本文建立列車荷載與溫度翹曲應力工況組合作用下CRTSⅡ型軌道板不同位置處混凝土抗裂功能函數，結合現有軌道板預應力損失預測模型，進一步發展了單一失效模式下軌道板抗裂時變功能函數及考慮多重失效模式的體系功能函數。利用這些時變功能函數，發展了基于三階矩的單一失效模式以及多重失效模式的軌道板抗裂時變可靠度分析方法。

(2)與蒙特卡洛方法對比分析表明：本文方法在保證計算結果精度的前提下，亦能提高計算效率，因此本文方法易于軌道結構抗裂可靠度分析與應用。

(3)時變可靠度分析結果表明：本文方法計算的軌下截面下翼緣混凝土抗裂可靠度處于最低水準，與實際工程中CRTSⅡ型軌道板裂縫分布情況較吻合。由于下翼緣混凝土開裂會加速軌道板內部鋼筋銹蝕以及下層砂漿層老化等；考慮多重失效模式后，軌道板抗裂體系可靠度比任意單一失效模式的可靠度更低，為了踐行我國高速鐵路“零風險”運營理念，建議工程設計人員著重提高軌下截面下緣等薄弱位置處混凝土的抗裂可靠度，進一步提高體系可靠度。另外，本文采用了已有的軌道板預應力損失模型，實際工程中CRTSⅡ型板式有砟軌道有效預應力損失規律有待進一步研究。