井下圓球運動分析與新型試壓體設計

王樂頂，王懷婧，陳新海，槐巧雙，李曉勇

(1.中國石油集團渤海鉆探工程有限公司井下技術服務分公司，天津 300283；2.中國石油集團渤海鉆探工程有限公司工程技術研究院，天津 300283；3.中國石油集團渤海鉆探工程有限公司工程技術研究院，河北 任丘 062552)

0 引言

在油、氣、水井井下作業中涉及圓球的應用較多，如試油(氣)作業中管柱的投球試壓與反洗球、壓裂作業中的投球坐封和打開滑套以及分段(層)壓裂時的堵塞球等。然而在現場施工中存在以下兩個問題：(1)圓球何時到達設計點？現場試壓、坐封、打開滑套圓球入座和壓裂堵塞球到達目的層位時的時間主要憑借經驗來判斷，缺少理論依據。(2)管柱試壓反洗球耗時長。在一些無法使用可砸泄試壓工具的管柱試壓中，利用投球試壓、反洗球較多，然而在反洗球施工時耗時往往較長。以施工井Z1井(直井，井深3650 m)為例，在2臺700型水泥泵車排量800 L/min的條件下，洗球耗時150 min，在消耗成本的同時也將施工周期拖長。

因此，針對以上問題，有必要對圓球在管內的運動規律進行分析，以期解決圓球到達設計點時間(即候球時間)的準確預判和提高反洗球時效的問題，從而提高井下作業時效降低施工成本。

1 國內外研究進展

國內，2007年西南石油大學的楊文領等[1]提出篩管懸掛器投球下落速度計算方法并通過實例進行驗證，確定使用牛頓-雷廷格公式計算最為準確；2011年西南石油大學的肖暉等[2]教授對投球壓裂堵塞球運動方程進行研究，分析了堵塞球密度、施工排量和液體粘度等參數對堵塞球運動狀態，特別是堵塞球最終運動速度(即沉降末速)的影響。2016年川慶鉆探的溫杰文等[3]通過對直井段和斜井段自由沉降的鋼球進行受力分析建立速度計算模型，得出投球式封隔器實踐應用中候球時間的量化計算方法。該方法通過簡化將圓球的沉降末速作為平均速度來計算，忽略了圓球加速運動階段。

國外，2004年希臘克里特理工大學的Kelessidis[4]教授通過現場數據研究了圓球在牛頓和非牛頓流體時的沉降末速并分析了其影響因素。2012年伊朗沙爾魯德理工大學的Rooki等[5]利用人工神經網絡來預測圓球在牛頓流體和冪律流體下的沉降末速。2017年丹麥技術大學的Vertchenko[6]研究了在低雷諾數下利用斯托克法計算不同直徑圓球的沉降速度并進行分析。

通過以上文獻調研分析，沉降末速作為研究圓球運動規律的重要參數，針對圓球沉降末速的計算主要有以下方法。

(1)斯托克(Stokes)計算法：

(1)

式中：vt——圓球沉降末速度，m/s；g——重力加速度，9.81 m/s2；db——圓球直徑，m；ρb——圓球密度，g/cm3；ρf——壓井液密度，g/cm3；η——壓井液粘度，mPa·s。

式(1)的使用條件是球形顆粒在牛頓流體中沉降，且顆粒的雷諾數Re<1，即慢速沉降。

(2)牛頓-雷廷格計算法：

(2)

式(2)適用范圍為雷諾數Re在103～105之間。

(3)水力學計算法：

(3)

式(3)適用的范圍：當雷諾數Re<1時，繞流阻力系數CD=24/Re，此時符合斯托克定律，即為斯托克計算法；當雷諾數Re在103～105之間時圓球繞流阻力系數CD可取0.44～0.50，具體可通過查附錄圖和公式確定。通過觀察可知，當繞流阻力系數CD取0.50時，即為牛頓-雷廷格計算法。因此，斯托克計算法和牛頓-雷廷格計算法為水力學計算法的特殊情況。

2 圓球運動分析及候球時間計算

圓球在管內的運動狀態一般分為3種情況：圓球自由沉降入座；泵送圓球沉降入座；反洗試壓球，如圖1所示。

圖1 圓球受力分析及不同工況的運動狀態Fig.1 Force analysis of the ball and its movement under different working conditions

通過借鑒國內外文獻[7-16]中對圓球的研究，對圓球在井下的運動規律進行分析，同時，將研究結論與現場應用相結合，來對施工作業做出優化。根據文獻[9]，在兩相流動中，Basset力是由于相對速度隨時間的變化而導致顆粒表面附面層發展滯后所產生的非恒定氣動力。對于尺寸較大的顆粒，忽略Basset力不會造成較大的計算誤差，因此對圓球受力分析時選擇忽略Basset力。

圖2 不同時間下圓球速度的變化規律Fig.2 Ball velocity changes at different times

根據受力分析可知，圓球在井下的運動分為兩個階段：一是加速運動階段L1，隨著圓球速度的增加，阻力越來越大，加速度越來越小；二是勻速運動階段L2，當速度增加到一定程度，阻力、浮力與重力平衡時，加速度為0，圓球以勻速運動，此時的速度即為沉降末速度vt。

重力：G=mg=1/6πdb3ρbg；浮力：P=1/6πdb3ρfg；阻力：D=1/8πCDρfdb2vt2。

因為：

則有：

又根據運動過程邊界條件：

圓球到達設計點時間為：

(4)

式中：H——投球到達設計點的垂深，m；vt——試壓球沉降末速度，m/s；g——重力加速度，9.81 m/s2；db——圓球直徑，m；ρb——圓球密度，g/cm3；ρf——壓井液密度，g/cm3；η——壓井液粘度，mPa·s；CD——繞流阻力系數，無因次。

通過對新的候球時間計算公式分析可知：圓球候球時間主要與設計點的垂深H和圓球沉降末速度vt有關。對沉降末速度的計算公式即式(3)進行分析得：影響沉降末速的主要因素為繞流阻力系數CD、圓球直徑db、圓球密度ρb和壓井液性能(密度和粘度)。在以上影響因素中，繞流阻力系數在已知三維物體的形狀與尺寸條件下主要取決于溫度及在該溫度下流體的密度、粘度與運動狀態。壓井液性能是相對而言容易調整的。可以通過改變三維物體的形狀與尺寸來降低繞流阻力，從而縮短“候球時間”和反洗施工時間，優化施工設計和提高施工效率。

3 新型管柱試壓體設計構思

根據空氣動力學定義將物體形狀分為流線型和非流線型兩種。流線型即不出現邊界層分離的形狀，相對于流線型，圓球則屬于非流線型中的鈍體。物體形狀不同其繞流阻力系數差異也很大，具體見表1。

表1 常見三維物體繞流阻力系數CD對比(Re>104)Table 1 Comparison of drag coefficient CD of common 3D objects(Re>104)

通過借鑒列車、船舶及水下航行體的流線型設計并參考仿生鲹科魚類游動力學研究[17-20]。在幾種常用流線型體(卡克斯流線型、雙半橢圓流線型、半橢圓+拋物線流線型和半橢圓+圓弧流線型)輪廓方程的基礎上，得出半橢圓+圓弧流線型的阻力系數最小[20]。該流線型的進流段是半橢圓，去流段是一段圓弧，具體曲線方程為：

(5)

鑒于以上曲線方程并結合工程實際設計出一種新型管柱試壓體，如圖3所示。流線體具體參數為：最大橫剖面直徑60 mm，進流段長度40 mm，去流段長度120 mm，圓弧半徑255 mm。

圖3 新型管柱試壓體示意圖(以?73 mm N80平式油管為例)Fig.3 Schematic diagram of the new pressure test body

新型管柱試壓體由流線體和打撈桿兩部分組成。(1)流線體由流線減阻頭和接頭構成，減阻頭屬于半橢圓+圓弧流線型構造，通過減阻頭能有效降低試壓體入座和反洗時的繞流阻力，加快試壓體入座和減小反洗難度，提高作業時效；接頭的配備便于與打撈桿快速連接。(2)打撈桿的作用主要是在反洗時方便作業人員打撈試壓體，而且利用聲音在液體中傳播較空氣中快的原理，在打撈桿中部配備蜂鳴器，在使用試壓體時打開電源開關使蜂鳴器處于工作狀態。通過在井口監測聲音的強弱來判斷反洗時試壓體的大致位置，便于施工人員打撈，新型管柱試壓體的設計構思為進一步優化施工作業奠定了基礎。

4 結論

(1)通過對圓球的運動階段和受力分析得出新的候球時間計算公式，為優化施工設計提供了依據；

(2)圓球繞流阻力系數、圓球直徑、圓球密度和壓井液性能(密度和粘度)是影響候球時間的關鍵因素；

(3)設計提出了一種新型管柱試壓體設計構思，與圓球試壓體相比，該試壓體應具有更小的繞流阻力；

(4)新的候球時間計算公式和新型管柱試壓體設計構思，應通過現場應用進一步完善和改進。