怎樣上好初三數(shù)學習題課

李衛(wèi)

◆摘 ?要：數(shù)學解題的目標絕不是為了解題，而是通過數(shù)學問題解決，獲得學生更長遠的發(fā)展，同時對數(shù)學問題進行拓展研究，達到舉一反三，融會貫通的目標。習題課要設(shè)計出“問題串”的題系，要講習題的核心所在，講試題承載的思想方法。

◆關(guān)鍵詞：數(shù)學習題課;平行;專題復(fù)習;問題串

《解題學引論》羅增儒教授對數(shù)學習題課的認識是這樣說的：題——即是問題，特征是概念的抽象概括、定理的發(fā)現(xiàn)證明、數(shù)學的應(yīng)用。數(shù)學題——練習型的題具有教學性，研究型的題具有學術(shù)性，考慮一種為狹義。解題：傳統(tǒng)意義的“解題”注重結(jié)果、注重答案，而現(xiàn)代意義的“問題解決”則更注重解決問題的過程、策略及思維方法。因此數(shù)學習題課嚴格意義上應(yīng)該是練習型數(shù)學問題解決的課堂，我們可以從三個層次深入理解習題課：認識習題課，從課到題;建構(gòu)習題課，從題到解;反思習題課，從解到思。下面，將通過《平行專題復(fù)習》這個案例來讓我們重新認識數(shù)學習題課。

案例：中考專題復(fù)習《玩轉(zhuǎn)平行》

一、教學設(shè)計思路

中考常考察學生對兩條直線特殊位置的應(yīng)用，其中平行尤為常見，啟發(fā)學生巧用平行線的性質(zhì)給解題帶來很大的幫助。這節(jié)課重點探討平行線的兩類應(yīng)用：①平行在多邊形變換中的應(yīng)用;②平行在函數(shù)中的應(yīng)用。難點是平行在函數(shù)中的應(yīng)用。希望通過這節(jié)課能幫助學生有效利用平行的性質(zhì)快速尋找到解相關(guān)題的思路。

二、教學環(huán)節(jié)

（一）平行在中考中的重要性

PPT展示近幾年中考數(shù)學試卷中涉及到平行的考題所占比例，明確學生需熟練掌握平行性質(zhì)解題的重要性。

提到平行，學生常聯(lián)想到以下相關(guān)的知識：角的關(guān)系（同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角）、距離相等（平行線之間的距離）、平行線分線段成比例、直線表達式的一次項系數(shù)相等（[k1=k2]）等。老師板書關(guān)鍵點在黑板上。平行的相關(guān)知識掌握容易，但從這些基本性質(zhì)出發(fā)，到熟練運用平行線相關(guān)知識解題的這條鴻溝確是很多學生感到為難的地方，我們該如何把握住題目的關(guān)鍵，快速破題呢？

（二）玩轉(zhuǎn)平行

第四題：由平行與中點聯(lián)想到構(gòu)造全等的三角形。

本環(huán)節(jié)精選了四類題型：利用平行線構(gòu)造相似的三角形，A型、X型等;利用平行線、角平分線構(gòu)等腰三角形;利用平行線之間的距離處處相等進行等積變換;利用平行線、中點構(gòu)全等三角形。通過這四類幾何題型的練習，讓大家對平行的基本性質(zhì)的應(yīng)用有個更系統(tǒng)化的認識，如果我們再給它加一個函數(shù)的背景，那么又該如何運用平行來解題呢？

三、玩轉(zhuǎn)函數(shù)中的平行

【活動二】師生共同探究，先由學生獨立思考后，老師再提問點撥，學生講解解題方法。

老師可以設(shè)計問題串的形式啟迪學生思考：

問題1：這里的MN∥BD有何用處？（學生會發(fā)現(xiàn)內(nèi)錯角相等、A型相似等，讓他們能夠迅速的對圖形作出分析判斷。）

問題2：那么要判定△DNM∽△BMD，它們的邊或角還需要滿足什么條件？（要么兩夾邊成比例，要么再找一組對應(yīng)角相等。）

問題3：如果用兩夾邊成比例，那么列成的比例式就是[MNDM=DMBD]，這里的DM、BD均可以表示出來。因為MN長度隨著M點的移動而變化，難點是如何用M的坐標表示出MN的長度呢？

問題4：根據(jù)MN∥BD，得到平行的三角形相似，從而算出MN長度。代入之前的比例式中，得到關(guān)于m的方程，你能求解出答案是多少嗎？

問題5：根據(jù)MN∥BD，在表示MN時，你們有沒有別的方法？（根據(jù)兩條直線平行，[k1=k2]，那么可以求出直線MN表達式：y=-x+m，聯(lián)立兩條直線的表達式得到N坐標，然后再求出MN長度）

問題6：如果我們選擇的是方法二：再找另一組角相等，你會找哪一組角？（45°的角相等）

問題7：由這兩個45°角相等，結(jié)合圖形分析，你又有了什么新的發(fā)現(xiàn)？（兩個銳角相等，它們的正切值也相等，那么構(gòu)造相似的直角三角形，利用邊角倍數(shù)關(guān)系列出方程，求得答案。這種解題方法非常新穎，計算也很簡便，由角相等聯(lián)系到三角形相似解題，真是從相似中來，回到相似中去。這種方法妙得很！）

問題8：由這兩個45°角相等，大家還有沒有其他的發(fā)現(xiàn)？（分析圖形，結(jié)合一對45°角和一個公共角，得到兩個新的三角形相似，利用對應(yīng)邊的比，可求出AM長度。）

目前為止，我們給出了四種解題方法，這道深圳中考壓軸題讓我們玩出了新高度，簡簡單單的平行線，可以承載這么重的分量。讓我們欣喜的是，只要抓住平行的基本性質(zhì)，由平行想到角相等，由平行構(gòu)造的相似三角形等，就可以像今天這樣快速破題。

四、鞏固提升

變式1：利用平行構(gòu)造相似三角形求出邊長，再根據(jù)邊長和平移距離，表示B的坐標。最后帶入反比例函數(shù)的表達式中求出m的值。

變式2：由平行線之間的距離處處相等進行等積變換，將四邊形面積轉(zhuǎn)換為三角形AKB的面積。從而求出面積的最大值。

我們知道題是數(shù)學習題課堂的主要載體，從溫習題設(shè)計到新授題探究，再到鞏固題提升，本節(jié)課選題準確、題量適中、難度恰當、方法多樣。反思本節(jié)習題課，授課者從幾個方面進行精心設(shè)計：解題思路;切入角度;同質(zhì)變式;異題變式。但數(shù)學解題的目標絕不是為了解題，而是通過數(shù)學問題解決，獲得學生更長遠的發(fā)展，同時對數(shù)學問題進行拓展研究，達到舉一反三，融會貫通的目標。因此，習題課不要搞題海戰(zhàn)，要設(shè)計出“問題串”的題系;習題課不要就題講題，要講習題的核心所在，講試題承載的思想方法。