趙海濱，顏世玉，陸志國，劉 沖，于清文

(東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819)

0 引 言

具有旋轉激勵的平移振蕩器(Translation Oscillators with Rotating Actuator，TORA)由一個未驅動的小車和驅動的小球組成[1]，來源于雙自旋航天器的簡化模型。TORA系統是一種典型的欠驅動機械系統，在控制理論的研究中可以作為一個基準系統，用于對不同算法進行驗證[2]。最初的TORA系統中，小球是在水平面內轉動[3-4]，目前很多學者研究了小球在垂直平面內的轉動問題[5-7]。TORA系統的控制方法主要有PD控制方法[8]、反饋控制方法、反步控制方法、基于能量的控制方法[8]和滑模控制方法[9]等。

本文首先對垂直欠驅動TORA系統的動力學方程進行分析，然后建立仿真模型，并采用PD控制器進行控制。在PD控制器中，需要檢測小球的角度和角速度。由于獲取小球的角速度一般比較困難或者非常昂貴，因此設計了高通濾波器，通過對小球的角度進行高通濾波獲取偽角速度。在PD控制器中采用偽角速度代替角速度。最后，通過Matlab/Simulink軟件對欠驅動TORA系統建立了仿真實驗系統，并進行了數值仿真驗證。學生可以修改參數，然后進行動態仿真。通過仿真實驗，向學生完整的展示了欠驅動系統的控制過程，能夠加深學生對欠驅動系統的理論、仿真和控制等的理解，增強學生的編程能力和學習興趣，有助于理論和實驗教學的結合。

1 垂直欠驅動TORA系統

垂直欠驅動TORA系統由驅動的小球和未驅動的移動小車組成，如圖1所示。小車通過彈簧和固定的墻面連接，小車和彈簧在水平面內做一維運動。小球在電機的驅動下在垂直平面內做旋轉運動。通過小球的轉動和小車位移之間的耦合作用，實現旋轉小球對小車的控制。小車的質量為M，位移為x，受到水平面上的摩擦力為f。小球的質量為m，轉動半徑為r，輸入轉矩為τ，關于其質心的轉動慣量為J，逆時針轉離豎直向下方向的角度為θ。彈簧的彈性系數為k，重力加速度為g。

圖1 垂直欠驅動TORA系統

TORA系統的總動能包括小車的動能和小球的動能，總動能為

(1)

TORA系統的總勢能包括小球的重力勢能和彈簧的彈性勢能，總勢能為

P=-mgrcosθ+kx2/2

(2)

TORA系統的拉格朗日算子函數為

L=K-P

(3)

根據拉格朗日方程[10]，系統的動力學方程為

(4)

最后得到的TORA系統動力學模型為

(5)

TORA系統中有兩個狀態變量，分別是小車的位移x和小球的角度θ，但只有一個控制輸入τ，因此TORA系統是欠驅動機械系統。

2 控制系統

對于欠驅動TORA系統，最常用的控制器為PD控制器。PD控制器和基于能量的控制方法是一致的。采用小球的角度和角速度的PD控制器為

(6)

式中：參數kp>0；kd>0。

在式(6)中，需要檢測小球的角度和角速度，對于小球角度的檢測比較容易，但是檢測角速度一般比較困難或比較昂貴。下面通過設計動態高通濾波器，通過對小球的角度進行高通濾波獲取偽角速度。動態濾波器設計為

(7)

(8)

τ=-(kpθ+kdη)

(9)

3 仿真實驗

Matlab/Simulink軟件在系統仿真和自動控制等領域的研究與教學中應用非常的廣泛[11-14]。為了對算法進行驗證，本文采用Matlab/Simulink軟件建立了仿真實驗系統，如圖2所示。在圖2中，主要采用了Simulink軟件中用戶自定義函數庫中的Matlab Function模塊和積分模塊[15]等。Matlab Function模塊可以采用Matlab語言非常方便靈活的建立復雜系統，非常適合進行動態系統的建模[16]。

TORA系統的參數[5-6]為：小車的質量M=1.260 8 kg，小球的質量m=96 g，半徑r=0.592 m，轉動慣量J=0.217 5 g·m2，彈簧的彈性系數k=186.3 N/m，重力加速度為g=9.81 m/s2。本文不考慮小車受到水平面的摩擦力，因此f=0。

圖2 TORA系統的PD控制實驗

在圖2中，仿真系統采用變步長的ode45算法，最大步長為1 ms，仿真時間為20 s。通過Constant模塊設置初始值。通過Manual Switch模塊進行小球角速度的選擇。通過To Workspace模塊將運行結果保存在工作空間中。

根據TORA系統的動力學方程建立仿真模型。在圖2中，TORA模塊內的代碼為

function dd = fcn(xdthd,xth,tau)

M=1.3608;m=0.096;k=186.3;r=0.0592;

J=0.0002175;g=9.81;

x=xth(1);th=xth(2);thd=xdthd(2);

d11=M+m;d12=m*r*cos(th);

d21=d12;d22=m*r^2+J;

D=[d11,d12;d21,d22];

C=[0,-m*r*thd*sin(th);0,0];

g1=k*x;g2=m*g*r*sin(th);

G=[g1;g2];

dd=D([0;tau] - C*xdthd - G);

在圖2中，PD模塊內的代碼為

function tau = fcn(xth,thd)

th=xth(2);

kp=0.012;kd=0.002;

tau=-(kp*th + kd*thd);

根據式(8)，建立子系統模塊High-pass filter，如圖3所示。圖中，高通濾波器的參數設置為a=65。

圖3 高通濾波子系統

圖4 小球的角速度

圖5 角速度之間的差值

小車的初始位置為x=25 mm，在PD控制器下，小車的位移如圖6所示。小車的位移逐漸減小，最終趨近于0。

圖6 小車的位移

在動力學方程和PD控制器中，小球的角度采用弧度制。將小球的角度轉換為(°)后，如圖7所示。小球的角度初始值為0。小球角度的最大值為30.30°，最小值為-31.47°，最終逐漸趨近于0。

圖7 小球的角度

小球的驅動力矩如圖8所示。在圖8中，驅動力矩的初始值為0，最大值為14.9 mN·m，最小值為-14.4 mN·m。驅動力矩逐漸減小，并趨近于0。

圖8 驅動力矩

4 結 語

根據垂直欠驅動TORA系統的動力學方程，建立仿真模型，并采用PD控制器進行控制。通過Matlab/Simulink軟件建立了仿真和控制實驗系統。設計了高通濾波器，對小球的角度進行高通濾波后得到偽角速度。在PD控制器中，采用偽角速度代替實際的角速度。實驗結果表明，能夠進行TORA系統的平衡控制。通過仿真實驗，學生可以對TORA系統的仿真和控制系統有一個完整的了解，還可以自己修改系統的參數或編寫控制算法。該仿真實驗能夠加深學生對欠驅動系統的理論、仿真和控制等的理解，增強學生的實際編程能力和學習興趣，培養學生的創新意識和能力。