基于滑?？刂品謹惦A統一混沌系統的函數投影同步

耿彥峰，王立志

（忻州師范學院 數學系，山西 忻州 034000）

1 引言和預備知識

隨著對混沌系統同步控制的深入研究，相關學者提出了多種混沌同步的概念[1-4].文獻[4]提出了混沌系統的修正函數投影同步的概念，該同步控制的驅動系統通過函數比例因子和響應系統實現同步，是一種更為廣義的同步，其在工程領域中有著廣闊的應用前景[4-5].實現混沌控制同步的主要方法有線性反饋控制法、自適應控制法和滑模控制法等[6-9].其中滑模控制方法適用系統范圍廣，能夠得到快速響應，且具有很強的魯棒性和抗干擾能力.對于分數階混沌系統的修正函數投影同步，文獻[5]基于分數階微積分理論研究了一類不確定分數階混沌系統的同步控制問題，文獻[10]結合分數階微分不等式研究了基于憶阻器分數階時滯混沌神經網絡的修正投影同步，文獻[11]通過構造適當的響應系統針對一類分數階超混沌系統設計了一種自適應廣義投影同步的控制方案.

本文研究分數階統一混沌系統的自適應修正函數投影同步，基于滑?？刂评碚撛O計了一種自適應函數投影同步的控制方案.通過構造響應系統的補償器，進而由響應系統得到誤差系統；然后構造一個分數階積分滑模面，給出合適的自適應控制器，并選取合適的自適應滑模控制律，最終實現自適應修正函數投影同步控制；最后通過數值算例及其仿真驗證了所提控制方案的有效性和可行性.

對于分數階微積分的概念[12]，Caputo 定義的初始條件有明確的物理意義，因此廣泛應用于許多實際問題的建模，本文采用Caputo 定義.函數f（t）的q 階Caputo 導數為

定義1[4]對于分數階混沌系統和若存在函數對角矩陣M（t）=diag（m1（t），m2（t），…，mn（t）），使得

則稱這2 個系統獲得函數投影同步.其中：mi（t）為連續可微有界函數，且mi（t）≠0，i=1，2，…，n.

引理1[13]對于自治系統Rn，若矩陣A 的任意特征值滿足則該系統是漸近穩定的.

引理2[14]設x（t）為可微向量函數，則有其中：0 ＜q ＜1，P 為正定矩陣.

引理3[15]設為分數階混沌系統f（x，t）的平衡點，若存在分數階Lyapunov 函數V（t，x（t））與K 類函數γi（i=1、2、3），使得

（1）γ1（‖x‖）≤V（t，x（t））≤γ2（‖x‖）；

則當0 ＜q ＜1 時，該分數階系統是漸近穩定的.

統一混沌系統相應的分數階系統[16]為

當α∈[0，1]，系統（2）均呈混沌態.本文只討論0 ＜q ＜1的情形.

2 主要結果

系統（2）的矩陣形式為

式（3）可表示為如下形式的混沌系統

其中：A、B∈Rn×n為已知常數矩陣，設‖A‖=N；f（x）為非線性向量函數；α 為單參數，α∈[0，1].

以系統（4）作為驅動系統，構造響應系統

系統（4）和系統（5）的同步誤差為

為了得到分數階誤差系統，將參考信號的分數階微分設計在補償器中.因此對于響應系統（5），控制器U 設計為

其中：v 為待設計的控制器；補償器u 為

則有

將式（8）整理后可得誤差系統

設向量函數f（·）滿足Lipschitz 條件，即‖f（y）-f（Mx）‖≤l‖y-Mx‖，其中l 為正常數.

設計積分滑模面

其中a ＞0.對式（10）求分數q 階導得

設計控制器

及自適應律

其中：Q=diag（q1，q2，…，qn）為正定陣，設q′＝min{q1，q2，…，qn}；為控制增益；λ、μ 均為正常數.

定理對于驅動系統（4）和響應系統（5），設計積分滑模面（10），采用控制器（13）及自適應律（14），則系統（4）和系統（5）可實現修正函數投影同步.

證明構造分數階Lyapunov 函數

設k 為正常數，且k≥N+l+a.對V 取分數q 階導數，并由引理2 可得

由引理3 知系統（11）是漸近穩定的，即s→0，故在滑模面s=0 上有e→0，所以系統（4）和（5）最終實現修正函數投影同步，且有證畢.

3 數值仿真

為了驗證上述同步方案的正確性和有效性，采用Adams-Bashforth-Moultom 算法進行數值仿真.

例1對于分數階統一混沌系統（3），取α=0.8，q = 0.98，此時系統為分數階Lü 混沌系統.取M =則響應系統可寫為

通過補償器u，由響應系統可得誤差系統為

積分滑模面、 控制器與自適應律分別按式（10）、式（13）和式（14）取得，取Q 為單位矩陣，步長h=0.01，系統（3）和（15）的初值取為x（0）=[3.5，7.5，-6]T，y（0）=[4，-3.5，3.2]T，（0）＝3.4.仿真結果見圖1 和圖2.由圖1 可知驅動-響應系統最終實現同步，圖2 表明參數趨于定值0.8.

圖1 例1 的e（t）-t 曲線Fig.1 Curve of e（t）-t for example 1

圖2 例1 的（t）-t 曲線Fig.2 Curve of （t）-t curve for example 1

例2對于系統（3），取a=1，q=0.9，此時系統為分數階Chen 混沌系統，取響應系統按式（15）取得，則可得誤差系統為

積分滑模面、 控制器與自適應律分別按式（10）、式（13）和式（14）取得，取Q 為單位矩陣，步長為h =0.01，驅動系統、響應系統的初值分別取為x（0）=[-3.5，-6，6]T，y（0）= [7.8，-3.5，13]T，（0）＝3.2.仿真結果見圖3 和圖4.

圖3 例2 的e（t）-t 曲線Fig.3 Curve of e（t）-t for example 2

圖4 例2 的（t）-t 曲線Fig.4 Curve of （t）-t curve for example 2