Bogdanov-Takens系統在分段低次多項式擾動下極限環個數的上確界

崔文喆，李寶毅，張永康

（天津師范大學數學科學學院，天津 300387）

1 引言與主要結果

Hamilton 系統在擾動下極限環個數的估計是常微分方程定性理論研究的熱門課題之一，它不僅與弱Hilbert 第16 問題密切相關，而且還有很強的實用價值.Bogdanov-Takens 系統在常微分方程定性理論中具有極其重要的地位，相關學者對其擾動系統進行了大量研究[1-9]，如，文獻[7]證明了在n 次多項式擾動下，當一階Melnikov函數M（1h）0 時，極限環個數的上確界為n-1；文獻[8]證明了在n 次多項式擾動下，當M（1h）≡0，而M（2h）0 時，極限環個數的最小上界為2n-2（n 為正偶數）或2n-3（n 為大于1 的奇數）；文獻[9]證明了當Mk0，而Mi≡0（1≤i≤k - 1）時，M（kh）的零點個數的上界為k（n-1）.近年來，非光滑系統由于在控制理論、沖擊摩擦力學等許多領域有重要應用，因而受到相關學者的關注[10-13].文獻[10]利用Picard-Fuchs 方程和Chebyshev 準則證明了2 類非連續Hamilton 系統分別可以存在5 個和6 個極限環.文獻[11]證明了一類具有雙同宿閉軌的分段Hamilton 系統在擾動下可以存在14 個極限環.文獻[12]證明了一類分段系統在n 次多項式擾動下最多存在n 個極限環.文獻[13]證明了Bogdanov-Takens 系統在分段n 次多項式擾動下極限環個數的上界為12n+6.

本文將平面分為左右2 個區域，研究在分段一次和二次多項式擾動下的Bogdanov-Takens 系統

極限環個數的上確界，其中：0<ε?1，n=1、2；

當ε=0 時，系統（1）ε=0的Hamilton 函數為

設Γh與y 軸正半軸交于點與y軸負半軸交于點與x 軸正半軸交于點Bh（sh，0）.記B2（j）（B2c（j））為系統（1）ε在（連續）分段j次多項式擾動下極限環個數的上確界.本研究得到如下結論.

定理1對于系統（1）ε，當M1（h）不恒為0 時，有如下結論成立：

（1）當n ＝1 時，2≤B2（1）≤3.

（2）當n=2 時，5≤B2（2）≤7.

定理2對于系統（1）ε，若Pn+（0，y）≡Pn-（0，y），Qn+（0，y）≡Qn-（0，y），則當M1（h）不恒為0 時，有如下結論成立：

（1）當n=1 時，B2c（1）=1.

（2）當n=2 時，3≤B2c（2）≤5.

2 一階Melnikov函數的計算

引理1I0+′、 I1+′、 I0+″、 I1+″滿足Picard-Fuchs 方程組

其中：

證明考慮積分

因為

所以式（4）兩邊同時對h 求導可得

則有

考慮

因為

所以式（6）兩邊同時對h 求導可得

則有

聯立式（5）和式（7）解方程組可得

因此式（2）成立.

式（5）兩邊同時對h 求導可得

因此

式（7）兩邊同時對h 求導可得

因此

分別將式（10）和式（11）帶入式（5）和式（7），并解方程組可得

因此式（3）成立.證畢.

與引理1 同理，可得推論1 和推論1*.

推論1I0-′、 I1-′、 I0-″、 I1-″滿足Picard-Fuchs 方程組

其中系數多項式的定義同引理1.

推論1*令則I0′、 I1′、 I0″、 I1″滿足Picard-Fuchs 方程組

其中系數多項式的定義同引理1.

設x = ρcosθ，y = ρsinθ，代入H（x，y）=h 得ρ2-則h→0+?δ→0+，因此，在h=0+附近，ρ 關于δ 的Taylor 展開式可表示為

引理2（1）在h=0+附近，I0＋、I0-滿足

（2）在h=0+附近，I1＋、I1-滿足

證明令x=ρcosθ，y=ρsinθ，因為（-1+ρcos3θ）dt，所以因此有

將式（14）代入上式，可得δ2的系數為的系數為因此有

由式（12）可得I0＋滿足

其對應的齊次方程為

由文獻[14]知方程（16）在h=0+鄰域內存在收斂的冪級數解因此當時，Y1（h）＞0.由齊次線性微分方程的通解公式可得方程（16）存在另一個基本解

結論（2）同理可證.證畢.

命題系統（1）ε的一階Melnikov函數為

其中系數ci（i = 1，2，…，6）關于多項式系數pij+、 pij-、qij+、qij-相互獨立.

證明當n=1 時，

因此系統（1）ε的一階Melnikov函數為

故式（17）成立.

當n=2 時，

因此系統（1）ε的一階Melnikov函數為

3 一階Melnikov函數零點的估計

引理3[15-16]設Ψk（h）為上的連續函數，且當0

引理4設J 為一個區間，h∈J，P1（h）、P0（h）與R（h）為J 上的連續函數，且方程

存在一個在J 上沒有零點的解Ψ1（h），則方程

的任一解在J 上的孤立零點個數不超過2 + r（計重數），其中r 為R（h）在J 上的孤立零點個數.

證明設Ψ2（h）為方程（20）的一個解，令Z（h）=Ψ1（h）Ψ2′（h）-Ψ1′（h）Ψ2（h），則結合式（19）和式（20）可得

因為Q（h）和Ψ1（h）在區間J 上無零點，由此可知Q（h）Ψ1（h）R（h）在J 上的孤立零點個數為r（計重數）.根據文獻[17]，Q（h）Z（h）在J 上的孤立零點個數不超過r+1（計重數），即Z（h）在J 上的孤立零點個數不超過r+1（計重數）.

定理1的證明（1）當n=1 時，

由于c1、π（c1+c2）、c1+c2關于ci（1≤i≤3）是滿秩的，因此由引理3 知，存在ci（1≤i≤3），使得M1（h）至少存在2 個正變號零點，即存在一次多項式P1＋（x,y）、P1-（x,y）、Q1＋（x,y）和Q1-（x,y），使得擾動系統（1）ε至少存在2 個極限環.

（2）當n=2 時，

則有

其中：

下面估計r1=#（M*（h）），定義二階微分算子

并令φ（h）=-（6h-1）I0′+5I0，結合推論1*可得φ（h）=由文獻[18]可知，當h∈時，I0＞7I1＞0，故#（φ（h））=0，且

因此L2（h）φ（h）=0.

因為

所以

同理可得

所以L2（h）M*（h）=h-3/2w2（h），其中

且deg（w2（h））≤3，則在內有r2=#（h-3/2w2（h））≤3，由引理4 知在內有r1=#（M*（h））≤2+r2≤5，#（M1（h））≤2+r1≤7，即當M1（h）不恒為0 時，系統（1）ε至多存在7 個極限環.綜上5≤B2（2）≤7.

定理2的證明（1）當n ＝1 時，在式（17）中，c3=關于獨立，即

由引理3 知，M1（h）至少存在1 個正變號零點，即連續系統（1）ε至少存在1 個極限環.

由引理3 知，M1（h）至少存在3個正變號零點，即連續系統（1）ε至少存在3個極限環.同時有