高考解析幾何化動(dòng)態(tài)問題為“靜態(tài)問題”

李倩 趙臨龍

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）15-0137-01

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的重要“熱”點(diǎn)。作為研究解析幾何的重要工具——幾何畫板，給出解決解析幾何問題的重要啟示：那就是抓住運(yùn)動(dòng)和變化過程中幾何對(duì)象的“基本圖形的性質(zhì)”，即定義和性質(zhì)。

因此，解決中學(xué)解析幾何動(dòng)態(tài)問題的關(guān)鍵在于將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，本文以兩個(gè)高中數(shù)學(xué)解析幾何動(dòng)態(tài)問題中所蘊(yùn)含的“基本圖形的性質(zhì)”——定義和性質(zhì)為例，體現(xiàn)定義、性質(zhì)在解決解析幾何動(dòng)態(tài)問題中的重要性，以期引起學(xué)生和教師對(duì)幾何對(duì)象的定義與性質(zhì)的重視，達(dá)到深刻理解和靈活運(yùn)用。

1.高中解析幾何動(dòng)態(tài)問題研究

1.1解析幾何動(dòng)態(tài)問題之高考體現(xiàn)

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，動(dòng)態(tài)問題以其知識(shí)點(diǎn)多、考查方式靈活，成為高考的重要“熱”點(diǎn)。高考中的解析幾何動(dòng)態(tài)問題常表現(xiàn)為：（1）求曲線方程或動(dòng)點(diǎn)的軌跡;（2）求參數(shù)范圍問題;（3）求值域和最值問題;（4）求直線和圓錐曲線關(guān)系問題。

1.2解析幾何動(dòng)態(tài)問題的難點(diǎn)

解析幾何的核心思想是用代數(shù)的方法來研究幾何。最根本的做法是設(shè)法把平面圖形的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化和數(shù)量化。數(shù)形結(jié)合思想方法是貫穿于解析幾何全部知識(shí)的核心數(shù)學(xué)思想方法[1]。解決解析幾何動(dòng)態(tài)問題的關(guān)鍵在于在“動(dòng)”中找出所求的“靜”，將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題。

1.3幾何畫板在解析幾何動(dòng)態(tài)問題中的啟發(fā)

作為研究解析幾何的重要工具——幾何畫板，它以運(yùn)動(dòng)和變化過程中的“基本圖形的性質(zhì)”（定義、性質(zhì)）為基礎(chǔ)，并以軌跡和動(dòng)畫的形式，形象的展示“動(dòng)態(tài)幾何”的魅力和數(shù)學(xué)美的一面[2]，為學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)提供平臺(tái)，對(duì)發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維具有重要作用，在學(xué)生運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，最常用的就是幾何對(duì)象的定義和性質(zhì)，弄清某個(gè)對(duì)象的父對(duì)象和子對(duì)象，這一能力在分析解析幾何動(dòng)態(tài)問題時(shí)顯的尤為重要。

2.例題分析

解決本題的關(guān)鍵是幾個(gè)轉(zhuǎn)化，一是，將三角形面積的取值范圍根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為求圓上的動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離的最值;二是，將動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為靜點(diǎn)問題，即將圓上的動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離的最值轉(zhuǎn)化為具體的過圓心與定直線垂直的垂線與圓的交點(diǎn)。在第二次轉(zhuǎn)化中就需要靈活的運(yùn)用圓的定義。

在用代入法求點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，從表面上看似乎沒有用到定義與性質(zhì)，但是實(shí)際上，正是由于定義和性質(zhì)：某動(dòng)點(diǎn)在曲線上，則該點(diǎn)的坐標(biāo)滿足它的方程，因此，我們才可以通過將所求的點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為該動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而找出所求點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。也就是說定義和性質(zhì)是代入法的根本。

3.小結(jié)

從本文的兩個(gè)例子，可見在解析幾何動(dòng)態(tài)問題中，利用“基本圖形的性質(zhì)”將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題是解題關(guān)鍵，也就是定義和性質(zhì)是解決解析幾何動(dòng)態(tài)問題的根本。因此，在高中階段的學(xué)習(xí)和練習(xí)中，我們要善于抓住幾何對(duì)象的定義與性質(zhì)，運(yùn)用它們的幾何關(guān)系不變性將問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，從而解決問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱大紅.高中解析幾何的學(xué)習(xí)障礙分析及對(duì)策研究[D].蘇州大學(xué)，2015.

[2]湯志娜.幾何畫板中的繪圖思想探析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010（01）：9+11.

[3]2018年新課標(biāo)三卷[E].百度文庫.2018.6.17.

[4]2017年新課標(biāo)二卷[E].百度文庫.2017.6.15.