高中函數概念起始課教學案例研究*

馬延紅

(河南省汝州市第一高級中學 河南 汝州 467599)

學生們在初中時已經初步接觸了函數概念，到了高中將進行深入學習，而高中函數的概念強調對應，是運用集合與對應的關系來幫助學生認識函數，因此函數定義更加抽象，具有高度的形式化，因此理解起來有一定難度。所以在高中函數概念起始課的教學中，教師應當明確教學重點為幫助學生理解高中函數的概念，結合已學的數集知識，形成對比分析。

1.創設現實生活情境理解高中函數的對應關系

初中函數概念強調x和y之間的變量關系，即，出現一個變量x，則有另一個唯一確定的變量y與之對應，學生是通過運動和變化的關系來理解函數概念的。而高中函數的概念強調的是x和y之間的對應關系，借助集合的概念理解函數。所以在起始課上為幫助學生順利進行思維轉變，教師可以聯系現實生活，創設教學情境，幫助學生感受函數的對應邏輯關系，如，創設情境，讓學生的邏輯思維從研究常量向研究變量進行轉變，感受兩個變量之間的對應關系[1]。

1.1 創設情境，教師提出以下現實生活案例讓學生分析。

情境1：某蓄水池的水位高低以及蓄水量的變化列表如下：

水位(m)105120137蓄水量(m3)2.10×1076.09×1072.09×108

情境2：小明一家每天都要買一條魚，小明從媽媽的賬本上看到了每天買魚的花銷：

稱重(斤)11.52……花銷(元)14.9822.4729.96……

1.2 提問環節和分組討論，教師提出問題引導學生思考兩個變量之間的對應關系，讓學生圍繞問題進行討論。

教師：認真觀察兩個表格，考慮一下在這兩個變化過程中，存在幾個變量？這些變量之間有什么樣的關系？你是從哪看出變量關系的？嘗試用數學語言描述一下。

學生A：“兩個表格都有兩個變量，水位和蓄水量，承重和花銷。”

學生B：“水位和蓄水量是對應的，水位高的話，蓄水量就大，而且每個水位都有一個對應的蓄水量。”

學生C：“表2中魚的承重和買魚的花銷也是對應的，稱重越大，花銷就越多。”

……

根據學生的回答，教師繼續進行引導：“從以上兩個表格中你們印象最深的是什么？”

部分學生的重點在于兩個變量上面，教師可以和學生繼續進行交流：“兩個變量之間存在著什么關系？一個任意的變量，另一個是唯一確定的變量，它們之間的關系用符號應該怎么描述？”

接著教師板書：A→B，啟發學生的思考，學生經過教師的反復引導之后，注意到：“兩個變量之間是對應的關系。”

教師：“很好，那么你們再舉出一些現實生活的實例，看看現實生活中存在那些對應思想。”

學生舉出了更多實例，如，汽車里程表的數據由于車輪的周長是固定的，那么汽車行駛中車輪轉了多少圈就是一個變量集合A，里程表的數據根據轉數來確定，就是一個集合B，兩者對應關系是：車輪周長×轉數。

接著，教師繼續提出問題：“大家考慮一下為什么要研究這些變量和它們之間的對應關系？”

學生D：“因為研究了它們之間的關系，我們知道一個變量就可以推導出另一個變量，比如，表2中，可以看出一條魚的單價是14.98元，每天買魚的花銷就是14.98×魚的重量。”

教師：“那么，如果我買了一條一斤的魚，我說花了兩份錢，一份是14.98，一份是21元，而且沒有打折沒有優惠沒有特價，你們覺得可能嗎？”

學生E：“不可能，如果外界條件不變的話，一條魚的重量對應一個總價。”

1.3 探索和升華，將現實情境進行邏輯思考和歸納總結，上升到數學語言和數學思維上。教師帶領學生回憶初中時學過的函數概念，在探討的基礎上對實例中的變量進行總結，并結合之前學過的數集的概念，將上述兩個例子運用數學概念進行解讀，實例中都涉及到兩個非空數集，也都存在某種對應關系，而且根據討論，一個變量的變化會引起另一個變量的變化，而且一個變量只對應唯一的另一個變量，那么用數集的概念來解釋就是：非空數集A和B，存在某種對應關系，A中的任意一個變量X，在B中都有唯一的一個變量與之對應。

在函數中對應關系用y來表示，函數的形式可以表示為：y=f(x)，數集A為定義域，其中的任意x，在對應關系下都會產生一個唯一的y，即：

方向性：A→B，(非空數集)

對應關系：y；

關鍵詞：x(任意一個)，y(唯一確定)

注意：A→B中，A中的任意一個數，B都有唯一一個確定的數與之對應，而B中的變量在A中對應變量可以不唯一。

2.教學案例的研究和反思

2.1 教學過程解讀。高中函數的概念是在初中函數概念的基礎上發展和延伸的，但本質上是一個新概念的產生，在起始課上教師可以用大量案例讓學生感受新概念對應的現實生活情境，并通過案例中的對應關系感受數學概念中的對應關系，對于學生理解函數中的對應關系幫助較大。在感受和理解變量之間的對應關系之后，教師要引導學生將看到的觀察到的真實案例進行提煉，這個過程也是概念形成的過程，學生參與其中就能明白函數的概念是怎么來的，是基于大量現實情境，用已經掌握的數學概念描述客觀事物的數量關系，再經過抽象思維的處理形成新的數學概念[2]。

2.2 反思。函數起始課教學中，重點應當是讓學生理解變量之間的對應關系，關鍵詞是對應關系，而經過起始課教學后，部分學生的學習重點卻放在變量上面。所以在教學中，教師可以通過不同的圖表、表格和計算公式聯系所舉的實例，結合學生學過的知識，讓學生在新的情境下感受兩個變量之間的對應關系，不至于教學中出現重點偏移的現象。