函數與數列相結合的幾類題型解法探究

江秋煜

(廣東省廣州市增城區永和中學 廣東 廣州 510000)

引言

在高中階段的數學中，數列是單獨作為一個章節進行教學，在數學的高考試卷中占有相當重要的比例，從選擇、填空到解答，甚至一些省市的壓軸題都是關于數列的問題。數列作為一個重要的知識點，能夠與高中數學中許多其他的知識點相結合起來，例如未知方程、三角函數以及不等式等，都可以很好的與數列結合起來，將數列作為解題的背景。本文主要是通過舉例說明函數思想在巧妙處理數列問題中所發揮的關鍵作用。——包括了對數函數與數列相結合，導函數與數列相結合，周期函數與數列相結合，函數圖象與數列相結合來進行論述。

1.運用對數函數解決數列問題

【分析】：(1)因為{an} 是各項均為正數的等比數列

【考點解析】(1)掌握對數基本運算；(2)會等差數列求和；(3)會裂項相消法求和。

2.導函數性質解決數列問題

求數列{an} 的通項公式和前n項和公式Sn

【分析】因為f′(x)=3x2，所以切線的斜率為k=f′(1)=3，而切點(1，2)，

切線方程為y-2=3(x-1) ，即：y=3x-1

又因為切線經過點(an+1,an) ，所以an=3an+1-1 ，即3an+1=an+1 ①

3.運用周期函數性質解決周期數列問題

【例題】設數列{an} 中，a1=a2=1，a3=2,且對n∈N，有anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3(anan+1an+2≠1)成立，試求該數列前100項和S100．

【分析】：對任何自然數N+，有anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3①

把式中的n換成n+1 ，得an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4②

①-②得an+1an+2an+3(an-an+4)=an-an+4．

由于an+1an+2an+3≠1 ，必有an+4=an(n∈N+) ．

所以數列{an} 是以4為周期的周期數列.所以S100=25S4=25×(1+1+2+4)=200 ．

選取2015年10月～2018年1月吉林省遼源市礦業集團有限責任公司職工總醫院收治的60例橈骨遠端骨折患者做為研究對象，分為觀察組和對照組2組，每組30例，觀察組中男14例，女16例，年齡29～66歲，平均（45.9±3.2）歲，部位：左側18例，右側12例；對照組中男13例，女17例，年齡27～65歲，平均（45.6±3.6）歲，部位：左側19例，右側11例。兩組患者的性別、年齡、部位等資料比較，差異無統計學意義（P＞0.05）。

【考點解析】：(Ⅰ)能夠根據數列遞推條件把式中的n換成n+1 ；(Ⅱ)能夠通過數列的一些基本技能得出“an+T=an”，從而確定該數列具有周期性，并確定周期值。

4.運用函數圖像直觀地分析數列問題

【例題】已知{xn} 是各項均為正數的等比數列，且x1+x2=3,x3-x2=2

(Ⅰ)求數列{xn} 的通項公式；(Ⅱ)如圖，在平面直角坐標系xoy中，依次連接點P1(x1,1) ,P2(x2,2) ,P3(x3,3) ,…,Pn+1(xn+1,n+1) 得到折線P1P2P3…Pn+1，求由該折線與直線y=0，x=x1,x=xn+1所圍成的區域的面積Tn.

【分析】(I)設數列{xn} 的公比為q(q>0) .

由x1+x2=3

所以3q2-5q-2=0，解得q=2，x1=1 .

所以數列{xn} 的通項公式為：xn=2n-1.

(II)過P1,P2,P3, ……Pn+1向軸作垂線，垂足分別為Q1,Q2,Q3, ……Qn+1,

所以Tn=b1+b2+b3+ ……+bn

=3×2-1+5×20+7×21……+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2

①

又2Tn=3×20+5×21+7×22+ ……+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1

②

①-②

【考點解析】本題通過的圖象模型性質，巧妙的把平面幾何區域面積轉化為數列求和問題。

5.構造特殊函數模型解決數列問題

A、a1,a30B、a1,a9C、a10,a9D、a10、a30

【考點解析】：本題通過函數思想，把數列問題通過分離常數，把數列問題轉化成熟悉的函數模型，結合函數模型的圖像性質解決問題。

數列知識是高中數學的重要組成部分，更是學習高等數學的基礎，所以在近年的高考中，它都占有非常重要的地位.高考對數列知識的考查比較全面，等差數列，等比數列的考查每年都不會通過不同的形式呈現.解答題多以中等難度為主，突出考查考生的嚴謹的思維能力和解決問題的能力，試題大多有較好的區分度，而其中數列知識和函數知識相互滲透，交叉命題已成為近年高考的熱點，常在數列解答題中出現。