例談求參數(shù)范圍問題中邊界值的取否

張 輝

(江蘇省南京市寧海中學(xué) 江蘇 南京 210024)

高中數(shù)學(xué)的問題中，有一類題目我們認(rèn)真做完以后感覺肯定是對(duì)的，但結(jié)果往往與正確答案差之毫厘，那就是求參數(shù)的取值范圍問題，這種問題涵蓋了高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，涉及函數(shù)、不等式等重點(diǎn)和難點(diǎn)知識(shí)，正因如此，我們都很重視，但在實(shí)際的做題過程中，我們往往會(huì)得到一個(gè)和結(jié)果差不多的答案，最大的差別就是和正確答案在邊界值的是否可取上，其實(shí)這是最可惜的，為什么信心滿滿的我們會(huì)做出一個(gè)與正確答案差之毫厘的結(jié)果，那么這種問題是如何產(chǎn)生的？我們?cè)鯓幼霾拍鼙苊膺@種錯(cuò)誤呢？下面，我想結(jié)合具體的實(shí)例來加以明確的分析。

本題主要錯(cuò)誤答案有：(0,4)(錯(cuò)誤率最高)，[0,4].

本題同學(xué)們出現(xiàn)這種邊界值錯(cuò)誤的原因主要是因?yàn)榭紤]問題不周到，根號(hào)里面mx2+mx+1，這個(gè)形式不一定是二次的，需要分情況討論，而同學(xué)們往往先入為主，看到這種形式就直接當(dāng)做二次來求解，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤，還有第二個(gè)問題就是在考慮V時(shí)，到底是V<0還是V≤0，往往同學(xué)們分辨不清，甚至還有同學(xué)認(rèn)為是V>0，V≥0，出現(xiàn)此類錯(cuò)誤主要是對(duì)這種問題的模糊認(rèn)知，見大忘小.要想杜絕這種錯(cuò)誤，那么在做題的時(shí)候一定要多留一個(gè)心眼，多考慮一下細(xì)節(jié)！

這兩個(gè)題目條件有些許的變化，但是對(duì)結(jié)果卻沒有任何影響，但許多同學(xué)的錯(cuò)誤答案都是(-∞,1].究其錯(cuò)誤的原因主要在問題轉(zhuǎn)化時(shí)產(chǎn)生的偏差，這是由于我們對(duì)該問題和該知識(shí)的理解不到位所產(chǎn)生的.課本上利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間步驟如下：求f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，令f′(x)>0，求出該不等式在定義域內(nèi)的解集即是該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的重點(diǎn)知識(shí)，也是高中函數(shù)的必備和必考知識(shí)，因此同學(xué)們就在反復(fù)的演練中根深蒂固于自己的腦海，因此在本題中，這種根深蒂固就變成了函數(shù)在[2,+∞)上遞增，所以f′(x)>0對(duì)于任意的x∈[2,+∞)恒成立，從而得到上面錯(cuò)誤的答案. 其實(shí)如果仔細(xì)思考，認(rèn)真領(lǐng)悟，單調(diào)區(qū)間在邊界點(diǎn)取與不取都是正確的，如前面三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間都是寫成閉區(qū)間，所以對(duì)于求單調(diào)區(qū)間而言，邊界值取與不取只需看定義域；反過來，針對(duì)本題，已知函數(shù)的在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，應(yīng)該轉(zhuǎn)化為該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上大于等于零恒成立，因此我們做這些題目時(shí)不能想當(dāng)然的一知半解，必須在平時(shí)的學(xué)習(xí)中充分體會(huì)和領(lǐng)悟知識(shí)的內(nèi)涵和知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，才能突破這些難點(diǎn)，達(dá)到會(huì)且對(duì)的效果.

當(dāng)然，在實(shí)際的做題過程中，我們還會(huì)犯諸如看錯(cuò)題目：把“≥”看成“>”，造成邊界值沒有取得的錯(cuò)誤；還有在謄抄答案時(shí)將“≥”抄錯(cuò)成“>”這樣的尷尬錯(cuò)誤，因此認(rèn)真審題和細(xì)致答題這個(gè)做題的萬(wàn)能法寶我們時(shí)刻不能丟！

對(duì)于求參數(shù)的取值范圍這樣的問題，在實(shí)際解答的過程中，我們需要細(xì)心和專心，結(jié)合多個(gè)視角、多個(gè)側(cè)面來深入思考、分析、作答，如函數(shù)本身的性質(zhì)、題目的特定要求以及隱含的種種要素，如果真的不好判斷的話有些問題我們還可以直接將邊界值代入進(jìn)行驗(yàn)證是否滿足. 這樣，碰到關(guān)于這一類題型的問題我們就可以做到不留遺憾，百戰(zhàn)百勝！