教育技術裝備內知識系統的建構和發展（續二）

趙曉寧 任熙俊 新喬

x定量分析：萬有引力的三個驗證? 牛頓的萬有引力理論提出后，在18世紀受到三次重大檢驗：它被運用于確定地球的形狀、月球的運動和哈雷彗星的返回等問題[9]41。

牛頓的萬有引力體系僅在它通過精確的計算證明它同自然現象完全一致時，才能被看作是正確的，否則牛頓的假設與笛卡兒的渦旋理論相比就沒有任何優勢。渦旋理論能對行星的運動做出很好的解釋，但在方式上是不完全的、不嚴謹的，它們只有在方式相同時才能很好地更圓滿地解釋。牛頓的萬有引力體系不允許有任何這一類的假象，否則否認這種計算的一篇文章或者一次觀察，都可能將牛頓的理論降低到想象已經創立而分析又將其毀滅的如此眾多的那一類中。[9]40

當18世紀的數學家試圖從他們形而上學的誤區中抽提出力學原理時，也深入探索牛頓萬有引力以求獲得定量的新結果。天體力學為新理論提供了理想的試驗基礎，因為天體力學表明理論預測可以被精確驗證。達朗貝爾在笛卡兒渦旋定量理論的基礎上解釋了牛頓萬有引力定量理論的進展。理性力學賴以建立的物理問題大多是關于理論、無摩擦狀態下的“思想”問題，這些依地球上的條件是無法實現驗證的，但是天體運動卻是理想狀態下的運動并能夠被精確計量和測算，也正因如此，就為運動定律和萬有引力理論提供了最終的驗證。[9]40

對地球形狀的爭論始于莫佩爾蒂的《論天體的形狀》（1732年）。在《原理》中，牛頓早已斷定地球繞軸自轉，使得它在赤道附近膨脹而在兩極則扁平。而且作為例證，他引用了瓊·里克（1630—1696）于1672年在赤道附近的卡宴（Cayenne）所做的擺線測驗。里克發現同樣長度的擺在赤道附近要慢于在巴黎。牛頓是這樣解釋的：赤道上的地方比法國的地方更遠離地心，所以所受的萬有引力就小，因而擺線就擺得慢。根據笛卡兒的觀點，萬有引力是由繞地球旋轉的一種物質渦流產生的，所以導致地球在赤道扁平而在兩極則拉長。[9]41

為了更加精確地確定地球的形狀，就必須在曲率差異最大的地方測量，即在赤道和兩極。1733年，夏爾-馬里·德·拉·孔多米納（1701—1774）建議去赤道考察。經過法國政府批準，考察隊在孔多米納的帶領下于1735年出發前往厄瓜多爾。1736年，由莫佩爾蒂和克萊羅帶領的另一支極地考察隊由海路前往北極圈，成員包括天文學家皮埃爾-夏爾·勒·莫尼耶（1715—1799）、鐘表匠夏爾-艾蒂安-路易·加繆（1699—1768）、瑞典天文學家安德斯·攝爾修斯（1701—1744）和其他一些有特殊技能并能吃苦耐勞的研究者。[9]42

因為兩支考察隊的久居巴黎測繪室的科學家對這些人跡罕至的地區不熟悉，要取得成功就必須有不同尋常的堅毅和韌性。莫佩爾蒂的考察隊原指望能在冰上或從波的尼亞灣的島上進行測量，但是在測置點之間卻找不到足夠高的支點進行觀測，被迫把信號放在拉普蘭的山上。赤道考察隊則把信號放在安第斯山脈的頂峰上。這兩支考察隊在克服了所遇到的難以想象的困難之后，北極考察隊于1737年完成工作并返回巴黎，而當赤道考察隊返回巴黎時，那已是10年后了。兩支考察隊的考察結果都證實了牛頓的理論：地球像個洋蔥，而不是像個檸檬。從此，萬有引力定律被確立。[9]42

1747年11月，當亞歷克西·克萊羅在法國科學院的一次公開會上宣布牛頓的定律不能解釋已觀測到的月球運動時，萬有引力定律經過了它的第二次驗證。精確的月球運動表具有極為重要的實用性，因為它們提供了在海上測定經度的一種方式，但制作這樣的圖表特別困難。牛頓曾告訴約翰·梅欽，計算月球的運動是他唯一頭痛的問題，而且他知道原因所在：月球因為受到地球和太陽兩個物體的強烈吸引，在不同的角度互相吸引——而行星只受到太陽的吸引。計算月球的運動，就要解決三個物體相互吸引的問題。隨著微積分的進步，對這種“三體吸引”問題首先獲得答案的競爭異常激烈，特別是巴黎的達朗貝爾和克萊羅及在柏林科學院的歐勒，都提出與答案近似的方法。[9]42-43

運用微分寫出三個相互吸引物體的等式沒有什么問題，但直接解出這些等式是不可能的，所以答案只能一步一步地近似才能獲得。而達朗貝爾、克萊羅和歐勒有他們各自偏愛的方法，但三人卻得出同一個令人吃驚的結論：月球的遠地點（月球的軌道離地球最遠的那一點）每月的運動和以前的預測值有兩個因數之差異。這引起的反響非常強烈，特別是因為克萊羅為了證明牛頓的萬有引力定理，在10年前就已開始拉普蘭之行。博物學家德·布豐伯爵從形而上學的基礎出發，宣稱只有牛頓的表述才是正確的。爭論依然在繼續，直到1749年5月17日，克萊羅又作了同樣令人吃驚的宣布，他說牛頓最終還是對的。數學家們都犯了一個共同的錯誤。數學的簡化乍看之下對結果并無影響，可是克萊羅經仔細分析，發現這正是在計算月球遠地點的運動時產生大的差異的原因所在。[9]43

盡管克萊羅只公布了他的計算結果，還沒有公布他所采用的方法，但達朗貝爾很快地便贊同了他的說法。歐勒更是迫不及待地想知道答案，并勸說俄國科學院宣布把1752年的獎項授予論月球遠地點運動的最佳論文。這才使得克萊羅把答案公之于世。[9]43-44

1758年11月14日，克萊羅又一次在法國科學院的公眾大會上公布了又一個令人震驚的消息，他預測到了哈雷彗星的返回日期，并宣稱誤差只有一個月。埃德蒙·哈雷（1656—1743）早就預測了如今以他的名字命名的1682年的彗星將于1758年或1759年初返回，但它返回的精確日期難以預算，因為彗星每經過一顆大的行星，都會受到強烈的引力干擾。克萊羅在約瑟夫·拉朗德（1732—1807）和一個著名鐘表匠的妻子妮科爾·勒波特的幫助下，采用新的攝動理論開始計算更加精確的返回日期。1759年，哈雷彗星按預計日期（或是在30天的誤差之內）準時返回近日點，克萊羅受到公眾的高度稱贊，并被稱為新牛頓。[9]44

三個著名的數學方法的驗證，驗證了牛頓是正確的，也表明當時天體力學的日益精確以及公眾對科學的興趣日益增長。這些理論在18世紀下半葉得到拉格朗日和皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（1749—1827）的繼續發展，拉普拉斯最終解決了曾經困擾牛頓的一個難題，即關于太陽系的穩定性問題。[9]44

5 方法論和數學形式

有關力學的數學思維? 近代力學科學的歷史，是由一組關于運動新概念的詳盡表述組成的，而運動的新概念由伽利略所說明。第一個闡釋出自笛卡爾之手。當伽利略專注于哥白尼天文學提出的問題時，笛卡爾已將注意力集中到對新自然哲學的闡釋上。的確，這種集中幫助他向前邁進了一步，他用同樣的方式處理所有的運動，而這是伽利略從未成功運用過的。在伽利略的腦海中，圍繞一個中心的慣性（圓周）運動一直與被他稱為“固有運動”即朝著一個中心的運動相區別，但對笛卡爾的普遍性而言，這種區別完全消失了：所有的運動，只要是運動，就應當選擇在同樣的條件下處理，所有的運動變化都應歸于相同的原因，即物質的一個微粒對另一個微粒的影響。在這祌情況下，很容易對伽利略的設想——慣性運動是圍繞萬有引力中心的圓周運動——提出疑問。笛卡爾得出結論：任何運動的物體將總是沿著直線軌跡運動，只有當某物體使其轉向時，它才做曲線運動。由于自然界中充滿各種各樣的物體，事實上每個物體都在不斷地改變運動方向;但慣性運動是直線的。[2]128-129

為證明這一結論是正確的，笛卡爾首次嘗試對圓周運動中的機械元素進行分析。笛卡爾對碰撞問題分析的嘗試，是他試圖將精確的定量力學引入自己的機械論哲學中的僅有的幾次嘗試之一。笛卡爾的分析建立在動量守恒的基礎之上。所謂動量，他指的是一個物體的體積和它的速度的乘積。這一概念與現在的動量概念相似，但不同的是他的“體積”不同于現在的“質量”，并且他對“速度”的處理也不是按一個矢量對待。笛卡爾推理道：上帝是產生運動的最終原因，而上帝是永恒的，因此，宇宙中總動量必然保持恒定;但每一物體的動量不一定要維持恒定，在碰撞中，動量可以從一物體轉移到另一物體。笛卡爾把碰撞的兩個物體看作一個整體，碰撞后它們的總動量必定與碰撞前相等。[2]129-130

而伽利略認為撞擊“力”的觀念表明了它自身。一個物體作用在另一物體上的作用力，或反抗它的作用的力，只在于每一物體竭盡全力保持自身原來的運動狀態。從這一前提推得一個驚人的、意料之外的結論，即碰撞定理——笛卡爾的第三定律：如果一個運動中的物體遇到比它強的另一物體，它的動量不減少;而如果遇到比它弱，能使之移動的另一物體，它減少的動量全部傳遞給另一個物體。[2]130

對于力學，這種分析具有明顯的缺陷。伽利略的意大利弟子托里拆利認為這完全不正確。站在機械論哲學范疇之外，托里拆利能將一套簡明的動力學概念運用于伽利略的運動學。盡管他的動力學與現在的完全不同，但是在伽利略的動力學解釋中，固有的基本數學聯系立刻出現了。托里拆利從伽利略關于撞擊力的問題開始研究：如果打破一張桌子需要1000磅的重量，那么怎樣才可能使重一百磅的物體從足夠高的地方落下，也能打破桌子呢？他回答說物體的重力是內部要素，這種要素在毎一瞬間產生與物體重力相等的推動力。他使用了—個噴泉的例子。[2]131-132

重力便是噴泉，沖擊或動量不斷從噴泉中流出。如果一個噴泉每分鐘產生一加侖的水，把水注入一加侖壺中100次，就可收集100加侖的水，與稱之為重力的噴泉相似。如果收集了一些瞬間產生的動量，就能夠增加所談物體的力量了。那么，怎么收集動量？通過讓物體下落。當100磅的物體靜止在桌子上時，桌子的阻力對抗并抵消了每一瞬間產生的動量;當物體下落時，沒有阻力抵消動量，每一瞬間產生的動量與前一瞬間產生的動量相累積，物體的力量不斷增強。因此，當100磅的物體從足夠高的地方落下時，它就獲得了打破桌子所需要的1000磅的力量。[2]132

顯然，托里拆利在使用看起來是任何別的東西而實際上是熟悉的一組概念，正是他給自己出了這樣一個試圖用靜力學的重量來衡量動力學行為的看起來很奇怪的問題，也只有他在這種情況下把重力看作噴泉噴出的與物體重力相等的一股動量。“瞬間”一詞對他來說有著特別的意義，它是最終的時間單位，無限小，不能再分。托里拆利正在解釋中世紀的動力學的觀點，并用內力來說明拋物運動。他將動力學運用到伽利略的運動學中，并且在他那些不為人們熟知的表述后面有著一些近代動力學的基本定量關系。通過用動力學觀點來看待垂直下落和傾斜下落，并把重力作為推動力，他認識到力和加速度之間的比例關系。同樣地，他也看到了恒力與其作用時間的乘積和物體從靜止開始下落所產生的總動量相等。[2]132

更重要的是他能將由自由落體運動得來的認知推論運用到其他情況，其中就包括碰撞本身。如果與物體重量相等的沖擊力每一瞬間都在增加，并且假定瞬間無限短，那么一個物體在有限的時間內獲得的力量必然是無限的，托里拆利同意這一點。但問題是只有這個力在瞬間全部得到應用，力的效果才是無限的，實際上這永遠不可能。由于物體的彈性，碰撞存在于一段時間內，而且時間越長，所產生的力量越小。托里拆利認識到在動力學上動量的破壞與動量的產生是同等的，對這兩者他運用了一個明確的等式：

即恒力與作用時間的乘積和動量的變化相等。他也把這個公式運用到彈性反彈，而且最令人印象深刻的是，他使用這一原理成功地分析了一個完全不同的問題：設想一條大船和一艘輕舟停泊在離碼頭20英尺的地方，如果一個人拉著大船駛入碼頭，他所做的一切努力幾乎不能給該船以任何速度，但如果大船撞擊了碼頭，碼頭會搖晃;相反，他能馬上使小船快速行駛，但是如果小船撞擊了碼頭，那么它的效果幾乎等于零。[2]132-133

人們只需要將托里拆利分析的概念框架與笛卡爾的加以比較，就能理解為什么伽利略運動的動力學表達沒有輕易出現在機械論哲學家身上。事實上，托里拆利的講稿到了18世紀尚未出版，但是認為在它們一被提出時就出版，會受到廣泛的接受，那是不客觀的。同時，在他的出版的其他幾何學著作中，的確也提出了對力學科學產生了很大影響的另一個概念：兩個連在一起的重物不能夠使它們自己運動，除非它們共同的重心下降。[2]133-134

如果天平兩臂的運動沒有降低它們共同的重心時，天平將保持平衡。當用通過滑輪的繩子連接兩個物體時，一物下降，而使另一物上升，是否可假設在這個過程中就是兩個物體的共同重心下降了呢？托里拆利抓住這樣一個事實，即沒有受到外界影響的兩個物體可看作集中在它們的重心上的一個物體。用這種方法，伽利略關于重物的運動學可以延伸到包括多個物體的體系。在進一步研究這個問題時，力學科學獲得了17世紀的影響整個18世紀的又一個偉大成就。[2]134

數學分析法一直用來解決較為棘手的力學問題，例如：擴張的堅硬物體回轉儀或陀螺的運動;在不同的管道和容器中水的流動;彈性表面或固體表面的振動，以及通過桿、繩或其他捆綁物連接成的復雜系統的運動。所有這些復雜的運動都被分析法所征服，因為分析法只需筆和紙，理性力學唯一所需的器械是大腦，正如狄德羅所做的，因為利用這些偉大的理論才能設計出真正的抽水機、紡紗機和架橋。也可以說數學物理學家就是數學實驗領域的科學家。[9]31

拉普拉斯的精確實驗? 皮埃爾·西蒙·德·拉普拉斯（1749—1827）重視將精細的實驗測量作為他的數學物理理論的重要補充，他認為實驗方法和數學理論并重。J.B.畢奧（1774—1862）把數學方法和實驗方法都看作物理學的范例，認為定量描述才是物理理論的目標。他在分析拉普拉斯的影響深遠的著作《論實驗物理和數學物理》（1816年）時曾強調指出，拉普拉斯認為通過采用新的儀器設備和新的實驗方法，提高實驗精度，減小誤差，亦即物理量的精確數值測量是極端重要的。[4]15-16

拉普拉斯的研究工作不完全都是從零開始的。A.C.克萊奧特在18世紀30年代和40年代在他的論光的折射和毛細作用的論著中，討論過短程分子力的數學理論。拉普拉斯在1805年發表的《論天體力學》中闡述了折射和毛細作用，在兩年后出版的補充材料中又用分子力的術語對這些現象作了系統的用數學式表示的說明。拉普拉斯堅持認為，對粒子間短程力規律的深入研究，可使地球物理的研究工作像牛頓的萬有引力定律在研究天體物理時那樣，達到高度完美的水平。粒子間相互作用力理論和不可稱量流體的理論，經過拉普拉斯和他的學派研究之后，在19世紀的最初20年里達到最美妙的頂峰。拉普拉斯證明，光的折射、固體附著力、毛細管的作用、化學反應等，都是與物質粒子所施加的吸引力密不可分的。[4]15-16

拉普拉斯設想了一種包括不可稱量流體理論在內的定量化的物理學。他的熱理論和氣體理論都是建筑在推想的基礎上的：熱作為一種不可稱量的流體，滲透在物質粒子的周圍。拉瓦錫及其同事把這種流體稱為熱素，熱素的性質隨著它同物質混合時的狀況的改變而改變。氣體的彈性要比液體、固體好，是因為氣體粒子間滲進了比液體、固體粒子間更多的熱素之故。而拉普拉斯認為，普通物質粒子間的吸引力和熱素粒子間的排斥力之間的關系是氣體性質的決定因素。熱素說加上拉普拉斯的定量物理學，使拉普拉斯的氣體理論達到相當完美的程度。[4]17

圖3所示為拉瓦錫和拉普拉斯采用的“冰量熱器”。該裝置高約三英尺，由三個頸部套在一起的同軸金屬圓筒組成。外圓筒里盛著碎冰塊，使內圓筒與外界隔熱;最里面的圓筒是內中懸掛著金屬網籃（網籃內裝上待測物質樣品）的容器，由于網籃中的物質產生熱量，使緊貼著的一層冰融化;冰融化所產生的水流到下端的容器，稱出水的重量，融冰的重量與物質釋放的熱量成正比。拉瓦錫和拉普拉斯測出多種物質的比熱，亦即測出各種等量物質上升相同溫度所需要吸收的熱量（以水的比熱為標準值，并取為1）。[4]18

拉普拉斯對分子力理論的研究，包括對有關重大問題的定量實驗測量和數學運算研究，得到多方面的支持和鼓勵。畢奧和F.阿拉戈（1786—1853）對光在氣體中的折射現象做了實驗研究，認為自己的觀測提出了對分子力的一種量度辦法。E.L.馬呂斯（1775—1812）對雙折射現象的拉普拉斯譜線提出一種解釋辦法。這就證實了這樣一個問題：拉普拉斯用他的分子力的理論來解釋光學現象是適當的。[4]17

（未完待續）