變式在數學教學中的應用

周功揚

關鍵詞：變式教學? 多題歸一? 一質多表? 一題多變? 一題多解

自顧冷沅教授開展變式教學實驗以來，變式教學已獲得了人們的普遍關注，“變式教學是我國數學教育的傳統特征，已成為我國數學教師的日常行為規范。”張奠宙 變式就是通過變換研究對象的非本質特征，變換觀察事物的角度或方法，來突出事物的本質特征，幫助學生認識、理解和把握這些本質特征。變式教學能夠在不改變事物本質的情況下，轉變問題的呈現方式，巧妙運用各類素材進行變式訓練，對概念、例（習）題、解法、結論不斷地進行拓展和深化，有利于啟迪學生思維，觸類旁通，提高教學效率。

一、多題歸一

通過設計不同現實情境下的變式問題，發現共同特征，突出概念的本質屬性，從而引入概念或獲得結論。

案例1：冪函數概念引入

（1）購買每千克1元的商品a千克，需要支付P = ______

（2）正方形邊長為 a，它的面積S = ____

（3）立方體邊長為a，它的體積V = ____

（4）面積為 S的正方形場地的邊長a = _____

（5） t 時間內車行1 km，車的平均速度v=_______

把各題的自變量和因變量分別換成x和y，得y=x，y=x2，y=x1/2，y=x3，y=x-1

讓學生尋找以上問題中的函數有什么共同特征？

都是函數;均是以自變量為底的冪;指數為常數;自變量前的系數為1;冪前的系數也為1。

上述問題中涉及的函數，都是形如的函數，進而引出冪函數的概念。

二、一質多表

通過變式題組多題辨析或多種表征，更加精準把握概念的內涵和外延，從而理解概念的本質。

1.案例2： 函數概念的辨析

講授函數定義時，設計以下一組對應關系f：A→B，讓學生辨別能否構成函數：

根據函數的定義，分析上述六種對應關系中，“一對一、一對一且B有余、多對一、多對一且B有余”四種對應可以構成函數，“A有余”不能滿足定義中的“任意性”，“一對多”不滿足定義中的“唯一性”，都不能構成函數。對“一對多”“多對一”的對比講解也為后面學習反函數留下伏筆。

教材中還有諸多例子，如用函數的解析法、表格法、圖像法三種表示來辨析函數概念中的“某種對應關系”;二次函數的三種表示：當a≠0，一般式y=ax2+bx+c;零點式y=a（x-x1）（x-x2）;頂點式y=a（x-m）2+n;直線方程有點斜式、兩點式、斜截式、截距式四種表達式。

三、一題多變

通過對原問題的條件改變、結論改變、一般化、特殊化等作引申或鋪墊。對例（習）題的變式訓練，要重視探究問題的變化，在變化中更深刻理解概念的本質，在變化中獲得更多的方法和結論，在變化中培養更具靈活創新的思維。

1.案例3： （弦的中點軌跡問題）拋物線y2=4x的弦AB的斜率為1，求AB中點的軌跡方程

解：設弦的兩個端點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點M（x，y）。

由題意可得（1），（2）

由（2）-（1）可得（y2+y1）（y2-y1）=4（x2-x1），

又y2+y1=2y，k==1，

則2（在拋物線內部，即x≥1）。

變式1（把拋物線改為橢圓）橢圓x2/2+y2=1的弦AB的斜率為1，求AB中點的軌跡方程。

解：設弦的兩個端點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點M（x，y）。

由題意可得（1），（2）

由（2）-（1）可得2（x2+x1）（x2-x1）+2（y2+y1）（y2-y1）=0，

又x2+x1=2x，y2+y1=2y，k==1，

則x+4y=0（在橢圓內部，即）。

變式2（把斜率改為過定點）過定點P（2，3）作直線交拋物線y2=4x于A、B兩點，求AB中點的軌跡方程。

解：設弦的兩個端點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點M（x，y）。

由題意可得（1），（2）

由（2）-（1）可得（y2+y1）（y2-y1）=4（x2-x1），

又y2+y1=2y，k==，

則y2-3y=2x-4（在已知拋物線y2=4x內部，即y〈2或y〉4）。

本例還可在橢圓、雙曲線、拋物線，斜率、定點、定弦長等之間作組合變式，延伸出各種不同的題。從解題中還可發現這類題都可以使用“點差法”（把弦的兩個端點坐標帶入已知曲線方程再作差）求解。

2.案例4： 作正弦型函數y=Asin（ωx+φ）+k的圖像

難點在于取哪五點來作圖。有學生作圖時取x=0，π/2，π，-π/2，2π，為此設計以下題：

（1）作函數y=sinx的圖像

（2）作函數y=sin2x的圖像

（3）作函數y=2sin2x+1

（4）作函數y=2sin（2x+π/4）+1

解決題（2）后，學生頓時明白y=sin2x與y=sinx “五點”作圖時x的取值是不同的，進而更加深刻掌握“五點”是函數最大值點、最小值點和三個零點組成的。這樣就大大降低了y=2sin（2x+π/4）+1的作圖難度。

四、一題多解

將同一個問題的不同解法作為變式，去聯結各種不同的知識點，從而提高學生對知識的整合能力，有利于形成完整系統的知識網絡，舉一反三，觸類旁通。

案例5：關于x的二次方程 2（m+1）x2-4mx+

3（m-1）=0至少有一個正根，求m的值

在有實根的前提下，依題意，可以按正根個數來分類：（1）有兩個正根，（2）只有一個正根，（3）沒有正根。從正向求解，分別求解（1）（2）兩種情形，再取并集即可;從方向求解，只需求解情形（3），取其補集即可。

解法一：首先要滿足2（m+1）≠0且△=（-4m）2-4×2（m+1）×3（m-1）≥0，得-≤m≤且m≠-1 （1）。

（1）有兩個正根，則 解得m<-1或m>1（2）。

由式（1）（2）得解-≤m<-1或1

（2）只有一個正根，則x1x2=≤0，解得-1

由式（1）（3）得解m的取值 -1

綜合情形（1）（2），得-≤m≤且m≠-1。

解法二：首先要滿足2（m+1）≠0且△=（-4m）2-4×2（m+1）×3（m-1）≥0，得-≤m≤且m≠-1 （1）

再解“沒有正根”情形，即 解之得無解（2）。

由式（1）（2），得m的取值-≤m≤且m≠-1。

五、一法多用

用同一具體解題方法解決不同知識點的問題。

案例6： 曲線系方程可用在下列題解中

（1）證明雙曲線x2/25-y2/9=1和x2/9-y2/25=1不相交;

（2）不論m為何值，曲線kmx2+my2+x+y-6m+4=0均過定點，求k的值;

（3）求圓2x2+2y2+4x-y-7=0與2x2+2y2-3=0的公共弦所在的直線方程;

（4）求經過點（2，-3），且與橢圓9x2+4y2=36有共同焦點的橢圓方程。

兩曲線C1：f（x，y）=0和C2：g（x，y）=0的公共交點一定在方程為f（x，y）+λg（x，y）=0的曲線上，因此可設經過曲線C1和C2交點的曲線系方程為f（x，y）+λg（x，y）=0，但曲線系中不包括C2。這種共交點的曲線系方程具有廣泛的應用?？捎盟鼇斫馍鲜鲞@組題。

（1）兩式相減，化簡得x2+y2=0，則x=y=0，而點（0，0）不在已知兩曲線上，故無交點。

（2）原方程可整理為

x+y+4+m（kx2+y2-6）=0

這是直線x+y+4=0與曲線kx2+y2-6=0的曲線系方程，那么也必定經過該直線與曲線的所有交點。由方程組化得（k+1）x2+8x+10=0，△=-40k+24

當△=0，即k=時，原曲線均過定點。

（3）兩個原方程相減，即得公共弦方程4x-y-4=0.

（4）該題運用結論：

與橢圓=1（半焦距為c）共焦點的橢圓系方程：=1（λ>c2）

解：因已知橢圓焦點在y軸上，則可設所求橢圓方程為=1

易求c2=5，又所求橢圓過點（2，-3），代入解得 =10或-2（舍去）

則所求橢圓方程為=1

說明：曲線系方程應用有一定條件要求，應用需謹慎，本文不展開。

還有本文例3“點差法”可以解決橢圓、雙曲線、拋物線的弦的中點軌跡問題;一元二次方程根的判別式可以解決一元二次方程求根、一元二次函數與x軸交點、一元二次不等式解集、二次三項式的因式分解以及直線與拋物線的交點等方面的問題;高等數學中“微元法”可以用來解決“分割化小，以直代曲”的問題等。

在變式教學中要帶領學生參與到問題認知、探究、發現過程中，多方位、多層次認識數學問題的本質特征，對問題有更深層次的理解，開拓思維能力。通過變式教學，能優化課堂教學方式，增強學生學習的興趣，提高課堂效率。

參考文獻：

[1]張奠宙.中國數學雙基教學[M].上海：上海教育出版社，2006.

[2]溫麗紅.數學概念的變式教學方略[J].福建中學數學，2017（5）.

（作者單位：杭州輕工技師學院）