基于均值濾波和小波變換的圖像去噪

彭姝姝

（中國三峽新能源有限公司江浙公司，鹽城 224011）

通過對含高斯噪聲的圖像進(jìn)行分析和研究，結(jié)合傳統(tǒng)的圖像去噪算法，提出一種采用均值濾波和小波變換相結(jié)合的算法來進(jìn)行圖像去噪。在分析主流的軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)后，提出一種新型閾值函數(shù)，并針對傳統(tǒng)閾值選取采用的“一刀切”方式的缺陷，提出一種根據(jù)圖像分解層次不同能夠自適應(yīng)更新的閾值選取方式。先對含有噪聲的二維圖像信號進(jìn)行小波分解，然后對圖像信號重構(gòu)至第一層；采用不同的濾波模板對水平、垂直，以及對角線方向上的子圖像進(jìn)行均值濾波；最后將低頻近似子圖像和經(jīng)過均值濾波處理后的各個(gè)細(xì)節(jié)子圖像結(jié)合產(chǎn)生去噪后的圖像。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新算法相較于傳統(tǒng)的單一算法有更好的去噪性能。

圖像去噪；小波變換；均值濾波；閾值量化；自適應(yīng)閾值

0 引言

人類獲得信息最為主要和關(guān)鍵的手段之一就是圖像。因此，在圖像的各種傳達(dá)以及輸送過程中，多種不同的噪音或其他干擾是難以規(guī)避的[1]，這樣一來，輸送的圖像的品質(zhì)以及質(zhì)量將會受到不同程度的受損，對于人類的視覺系統(tǒng)進(jìn)行圖像分析以及傳感器對圖像的系統(tǒng)分析和理解會造成一定程度上的妨礙，對于人們進(jìn)一步的圖像處理的需求也有很大的阻礙，因此圖像去噪對于圖像處理來說是非常重要的一步。

變換域去噪以及空間域去噪是現(xiàn)在圖像去噪的兩大類方法[2-3]。變換域去噪的方法可以再分為兩種，一種是基于小波變換的圖像去噪方法；另一種就是基于傅里葉變換的圖像去噪方法。對于空間域去噪類方法來講，中流砥柱主要有均值濾波、值濾波以及維納濾波等圖像去噪的方法。均值濾波是一種較為常見的圖像去噪算法，該算法運(yùn)算簡單，對高斯白噪聲有較好的抑制能力。但均值濾波作為一種低通濾波算法，在降低噪聲的同時(shí)也會對圖像的高頻成分造成破壞，從而使圖像的邊緣信息有所損失，使圖像模糊不清。而將小波變換運(yùn)用到圖像處理中不僅可以有效地抑制圖像噪聲，而且還能較好地增強(qiáng)圖像。因此將這兩種方法結(jié)合進(jìn)行圖像去噪，不僅能夠很大程度地將圖像噪音減低，還能夠?qū)D像原本的細(xì)節(jié)方面進(jìn)行有效的保留，使圖像更加平滑，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，其去噪效果好于單一方法。

1 均值濾波

均值濾波是一種線性濾波，對高斯噪聲具有較好的抑制能力，其基本思想是選取幾何領(lǐng)域平均。均值濾波的原理是：先選取大小固定的具有幾何規(guī)則的模板，讓某一像素點(diǎn)出于該模板的幾何中心位置，計(jì)算該點(diǎn)領(lǐng)域若干點(diǎn)的灰度平均值，然后用該值來代替待處理點(diǎn)的灰度值。對噪聲圖像的所有像素點(diǎn)做同樣的處理，就得到了均值濾波后的圖像。用公式可表示為：

其中，f(x,y)表示含噪聲圖像，g(x,y)表示經(jīng)過均值濾波后的結(jié)果圖像，圖像為m×n 大小。均值濾波具有算法簡單、易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，但在使用這種圖像去噪方法時(shí)，會將圖像原本的很多細(xì)節(jié)方面損傷，進(jìn)而使得圖像沒有原本的清晰。

2 小波變換

2.1 小波去噪原理

小波去噪的圖像去噪原理是將時(shí)間域或者是空間域上的帶有噪音的圖像進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)變到小波域進(jìn)而形成多層的小波系數(shù)，再基于小波分析思想對小波系數(shù)的特性進(jìn)行系統(tǒng)分析。由于小波變換是線性的，所以噪聲圖像經(jīng)過小波變換后的小波系數(shù)是原始圖像的小波系數(shù)和噪聲的小波系數(shù)的總和。

圖像去噪的方法之一是基于小波變換的圖像去噪，其變換尺度特性對于圖像信號的確定具有極為顯著的能力——集中。其運(yùn)用基本思想是：將圖像噪音信號進(jìn)行變換，由高頻轉(zhuǎn)換為小波，將圖像噪音聚集到次低頻、次高頻以及高頻的板塊中，由于圖像的噪音信號在高頻中占有重要比重，噪聲信號占絕大部分，因此將該子塊設(shè)置為零，對其他兩個(gè)子塊則可以降低要求，不必設(shè)置為零，只進(jìn)行抑制，進(jìn)而將圖像噪音一步去除到位。

2.2 小波閾值去噪

圖像的噪音能量的分布范圍較廣，幾乎占據(jù)小波區(qū)域的全部，同時(shí)圖像信號也是具有能量的，而這些能量的分布范圍是具有局限性的，被集中在小波域內(nèi)一些特定的小波系數(shù)當(dāng)中。當(dāng)含有噪音的圖像進(jìn)行小波域去噪時(shí)，小波將圖像信號進(jìn)行有關(guān)分解，將噪音圖像邊緣含有的信息能量聚集在大模值系數(shù)中，再使得圖像噪音含有的能量聚集在小模值系數(shù)，進(jìn)而按照次頻的特性特點(diǎn)，將小波閾值去噪的閾值調(diào)為零，這樣就能夠使得圖像的噪聲全部去除。

2.3 小波圖像增強(qiáng)

將圖像進(jìn)行增強(qiáng)，其目的是為了把圖像的特征以及圖像的視覺效果進(jìn)一步的提升。當(dāng)對噪音圖像進(jìn)行小波閾值去噪時(shí)，其圖像信號被分解，高頻部分表示的是噪音圖像的細(xì)節(jié)，而低頻的部分體現(xiàn)的主要是圖像的輪廓信息。因而，圖像進(jìn)行小波分解以后，低頻系數(shù)應(yīng)該加權(quán)增強(qiáng)，而高頻的系數(shù)應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行加權(quán)減弱，即可達(dá)到圖像增強(qiáng)的目的。

3 圖像小波分解與重構(gòu)

圖像的小波分解是在二維離散小波變換和多分辨分析的基礎(chǔ)上建立起來的，圖像f(x,y)的二維離散小波分解可表示為：

其中，j 為分解尺度，hk和gk為低通濾波器和高通濾波器，分別是標(biāo)準(zhǔn)正交尺度函數(shù)和小波函數(shù)的雙尺度方程系數(shù)。圖像cAj經(jīng)過一層小波分解后可分解為：低頻系數(shù)cAj+1、水平細(xì)節(jié)系數(shù)cHj+1、垂直細(xì)節(jié)系數(shù)cVj+1和對角線細(xì)節(jié)系數(shù)cDj+1。

對噪音圖像進(jìn)行小波分解以后，可以得到兩個(gè)系數(shù)，一個(gè)是高頻細(xì)節(jié)系數(shù)，一個(gè)是低頻系數(shù)，將這兩種系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，就能夠得到原始圖像。原始圖像產(chǎn)生的具體流程如下：

上式中，Aj+1、Hj+1、Vj+1、Dj+1是低頻系數(shù)和三個(gè)高頻細(xì)節(jié)系數(shù)充構(gòu)建產(chǎn)生的圖像cAj的近似子圖像和三個(gè)高頻細(xì)節(jié)子圖像。

4 小波變換結(jié)合均值濾波的圖像去噪

4.1 算法流程

由于噪音圖像的邊緣信息在噪音的抑制和去除的過程中會被均值濾波模糊，故而噪音圖像在進(jìn)行小波變換處理時(shí)，圖像會有顯著的提高。所以，結(jié)合上述內(nèi)容以及研究了兩種算法后，對于圖像的去噪采用均值濾波和小波變換兩種去噪方法相結(jié)合。

將均值濾波和小波變換兩種圖像去噪方法結(jié)合后，其具體的操作過程如下所示：

（1）小波分解噪音圖像信號：用Sym4 小波基對噪聲圖像進(jìn)行兩層分解；

（2）閾值量化：相關(guān)值曉得系數(shù)即為噪聲系數(shù)，將其設(shè)置為零，將相關(guān)值大的系數(shù)根據(jù)具體情況相應(yīng)的進(jìn)行增強(qiáng)；

（3）重新構(gòu)建被分解的噪音圖像信號：圖像信號經(jīng)過小波分解以后，進(jìn)行閾值化處理，將處理以后得到的第二層到第一層的系數(shù)重構(gòu)建，進(jìn)而得到重構(gòu)建以后的第一層多個(gè)細(xì)節(jié)子圖像；

（4）均值濾波：使用特定的濾波模板對水平細(xì)節(jié)子圖像、對角細(xì)節(jié)子圖像以及垂直細(xì)節(jié)子圖像進(jìn)行均值濾波處理，而對于低頻的細(xì)節(jié)子圖像不進(jìn)行變動；

（5）圖像恢復(fù)：如若想獲得噪音圖像在去噪以后的復(fù)原圖像，可以將經(jīng)過均值濾波處理以后的對角細(xì)節(jié)子圖像、水平細(xì)節(jié)子圖像以及垂直細(xì)節(jié)子圖像和低頻近似子圖像進(jìn)行疊加。

4.2 算法流程當(dāng)中的參數(shù)選取

（1）閾值函數(shù)選取

當(dāng)使用小波變換圖像去噪法處理圖像以后，圖像極大多數(shù)的能量是聚集在一些特定的低頻系數(shù)上的，小波變換的高頻系數(shù)上只存在很少部分的一些能量。相對來說，能量較為分散，并且幅度值也不是很大的噪聲小波系數(shù)值是小于圖像信號小波系數(shù)值的。想要獲得圖像內(nèi)含有有用的信號并且噪音被去除的圖像，就需要采用適當(dāng)?shù)拈撝颠M(jìn)行處理。

當(dāng)噪音圖像進(jìn)行小波閾值去噪時(shí)，將小波閾值去噪中的小波系數(shù)模的不同的估計(jì)方法以及不一樣的處理方式體現(xiàn)出來的正是閾值函數(shù)。現(xiàn)階段研究方法中經(jīng)常會使用到的閾值函數(shù)主要有以下三個(gè)，分別是軟閾值函數(shù)、半軟閾值函數(shù)以及硬閾值函數(shù)。

①硬閾值函數(shù)

②軟閾值函數(shù)

③半軟閾值函數(shù)

硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)在已知函數(shù)噪聲方便有較好的效果，但其也存在一些缺陷：硬閾值函數(shù)可以較好的保留圖像細(xì)節(jié)，但充構(gòu)建后的圖像信號將會出現(xiàn)諸多不好的失真情況，例如偽吉布斯效應(yīng)以及振鈴等；相對來說，使用軟閾值函數(shù)進(jìn)行處理會平滑點(diǎn)，然而也會產(chǎn)生其他的影響，如圖像的邊緣會變得模糊不清。因此，為了攻克閾值函數(shù)的這些缺點(diǎn)和不足之處，研究人員提出了改進(jìn)型閾值函數(shù)，這些函數(shù)有效地克服了傳統(tǒng)閾值函數(shù)缺陷。然而，由于改進(jìn)型的閾值函數(shù)中存在很多難以確定的參數(shù)，故而圖像去噪的最終結(jié)果也將會受到影響。

上述三組閾值函數(shù)都含有不確定參數(shù)，為了克服其對去噪性能的影響，對閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，從而構(gòu)建出一種新型的閾值函數(shù)。

④新型閾值函數(shù)

對于函數(shù)f（x）：

當(dāng)x＞0 時(shí)，f（x）/x →1（x →+∞）；當(dāng)x＜0 時(shí)，同樣的，有f（x）/x →1（x →-∞），同時(shí)f（x）-x →0（x →∞），所以函數(shù)（15）是以y=x 為漸近線的，即新型閾值函數(shù)以=W 為漸近線，隨著W 的增大逐漸接近W，此函數(shù)有效地克服了在軟硬閾值當(dāng)中和W 有恒定偏差的缺陷。

（2）閾值選取

在小波閾值去噪的過程當(dāng)中，除了構(gòu)造閾值函數(shù)外，另外一個(gè)重點(diǎn)就是閾值的選取，如果閾值選取過大，則會得到較多大小為零的小波系數(shù)，這樣一來，圖像的去噪效果將會有極大地影響，因?yàn)楹芏啻嬖谟趫D像當(dāng)中的有用的信息會在這一過程當(dāng)中被過濾掉；假設(shè)在小波閾值去噪時(shí)，選取的閾值較小，和輸入的相比較來說去噪后的圖像很接近，但經(jīng)過這一處理過后的圖像是有很多的噪音信號沒有去除掉，保留了下來。普遍而言，一旦小波系數(shù)是被確定了的，當(dāng)圖像的噪音信號越大，在處理時(shí)就應(yīng)當(dāng)選擇越大的閾值；反之閾值的選取就應(yīng)該越小。

現(xiàn)階段對于閾值的估計(jì)方法主要有以下幾方面：

①Visu Shrink 閾值，由Donoho Johnstine 提出，是一種小波閾值萎縮算法，閾值選取為,其中δn為噪聲均方差，N 為信號的長度。

②Sure Shrink 閾值，很多時(shí)候也被叫做Stein 無偏風(fēng)險(xiǎn)閾值，下面是關(guān)于Stein 無偏風(fēng)險(xiǎn)閾值的計(jì)算求取具體過程：

Step1.先求信號長度N；

Step2.將小波系數(shù)有小到大排列，形成一個(gè)新的向量X=[X1,X2…Xn]；

Step3.計(jì) 算 風(fēng) 險(xiǎn) 向 量 R=[r1,r2…rn], 其中

Step4.以R 中的最小元素作為風(fēng)險(xiǎn)值，由rB的相對應(yīng)的位置B 求解出XB，則Sure Shrink 的閾值

目前，選取采用“一刀切”的方式是傳統(tǒng)閾值計(jì)算多數(shù)選擇的方式，即無論采用幾層小波變換，每一層的圖像小波系數(shù)都采用相同的閾值處理。但是這樣就會帶來對噪聲圖像過度去噪處理的問題。當(dāng)圖像進(jìn)行若干層的小波分解后，圖像有用信號的能量主要集中在很少一部分的小波變換系數(shù)中，但是噪聲則不同于有用信號，其能量會廣泛分布于各個(gè)小波分解的系數(shù)中。這樣就會使得圖像有用信號的小波變換系數(shù)的幅值大于噪聲小波變換系數(shù)的幅值。所以，當(dāng)采用傳統(tǒng)的統(tǒng)一閾值進(jìn)行去噪時(shí)，有可能會造成原圖像信息的丟失。小波閾值選取地改進(jìn)方向主要是為了解決這樣的缺陷，即小波閾值要根據(jù)圖像小波分解的層數(shù)不同自適應(yīng)地更新，使其能夠適應(yīng)該層的小波系數(shù)。

為此，采用以下改進(jìn)型閾值：

其中j 為分解尺度，也就是說，當(dāng)j=1 時(shí)：

其結(jié)果與通用的閾值相同，當(dāng)j＞1 時(shí)，閾值會隨著分解尺度的增加而較小，與實(shí)際情況更加符合。

4.3 均值濾波模板選取

從能量的角度來說，對于高斯噪聲，其功率譜密度為常數(shù)，也就是說，全部的頻域中都存在高斯噪聲的能量，并且這些能量不是雜亂的，是均勻分布；同時(shí)，高頻區(qū)域是圖像細(xì)節(jié)成分的主要存在區(qū)域。在存在噪音的圖像中，高頻區(qū)域含有的噪音能量所占比重較多，在一定程度上甚至能夠?qū)⒂杏玫男盘柛采w，而在低頻區(qū)占有的比重相對來說較低。因此，在對圖像進(jìn)行去噪處理時(shí)，著重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)放在高頻區(qū)。

選擇采用合適的均值濾波模板是進(jìn)行圖像去噪極為重要的一步，目的是為了避免圖像在處理過程中模糊，變得不清楚；若是均值濾波模板選擇的太小，其去噪的能力會受到影響，能力降低；若是太大的話，圖像的模糊程度將會增強(qiáng)，變得更加不清晰。

當(dāng)噪音圖像經(jīng)過小波重構(gòu)建以后，還需要經(jīng)由列高通濾波以及行低通濾波處理，進(jìn)而會產(chǎn)生將垂直方向的低頻信息以及水平方向的高頻信息包含在內(nèi)的子圖像，為了將垂直方向的低頻信息更好地保存下來，同時(shí)將水平方向的噪音去除，可以使用水平線性模板對圖像進(jìn)行均值濾波噪音處理。相同的，如果想要去除水平方向圖像噪音，同時(shí)將水平方向低頻信息極好地保存，可以選擇垂直線型模板對圖像進(jìn)行均值濾波處理。但是，通過列高通濾波以及行高通濾波處理后產(chǎn)生的子圖像包含了水平方向和垂直方向的高頻信息，即對角線方向上的高頻信息，所以，采用X 型模板，在一定程度上能去除對角線方向上的噪聲。選取地噪聲模板如圖1 所示。

圖1 濾波模板

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證該方法的有效性，采用MATLAB 2015b軟件對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行仿真，將新型去噪算法與均值濾波算法、小波硬閾值算法、小波軟閾值算法進(jìn)行比較，以峰值信噪比（PSNR）和均方根誤差（RMSE）來作為去噪效果的客觀評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，其定義分別為：

表1 幾種去噪方法的PSRN 和RMSE 的比較

其中，MSE 為均方誤差；Si為原始圖像信號；為去噪后的圖像信號。

實(shí)驗(yàn)采用Lina 圖像作為輸入（256×256，灰度范圍[0,1]），先將均方差0.01 的高斯噪音放入其中，然后對均值濾波法、軟硬閾值法和新型算法分別進(jìn)行對比分析。實(shí)驗(yàn)中的小波分解采用Sym4 小波基，對H1、V1分別采用1×5 和5×1 的模板，對D1采用5×5 的9 點(diǎn)X 型模板，圖2-7 分別為文中算法的去噪方法比較。

圖2 原圖像

圖3 加噪圖像

圖4 均值濾波

圖5 硬閾值

圖6 軟閾值

圖7 文中算法

6 結(jié)語

在現(xiàn)有的去噪算法基礎(chǔ)上，選用基于均值濾波和小波變換的去噪方法，在對圖像進(jìn)行小波變換的過程當(dāng)中，采用了新型的小波閾值函數(shù)，該函數(shù)與傳統(tǒng)的軟硬閾值函數(shù)相比，有更好的去噪性能；和其他的改進(jìn)閾值函數(shù)相比，由于去除了不確定參數(shù)，大大提高了去噪性能的穩(wěn)定性。在閾值選取上，采用了基于小波分解層數(shù)自適應(yīng)更新的閾值選取方法，克服了傳統(tǒng)方法有可能造成圖像信息丟失的缺陷。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于均值濾波和小波變換的新型算法在視覺效果上優(yōu)于傳統(tǒng)均值濾波即軟硬閾值小波算法，在峰值信噪比和均方根誤差這兩個(gè)客觀評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)上也證明了其去噪性能的優(yōu)越性。