多級(jí)仿生建模及優(yōu)化技術(shù)

喻長(zhǎng)江 戴 寧 李大偉 程筱勝

南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京,210016

0 引言

晶格結(jié)構(gòu)材料是極具潛力的輕質(zhì)多功能結(jié)構(gòu)材料，與傳統(tǒng)材料相比，晶格結(jié)構(gòu)材料擁有更加優(yōu)良的力學(xué)性能。晶格結(jié)構(gòu)材料在生物醫(yī)療、航空航天等領(lǐng)域應(yīng)用潛力巨大，增材制造的發(fā)展為晶格結(jié)構(gòu)的制造提供了保證。自然界中的生物經(jīng)過(guò)數(shù)萬(wàn)年進(jìn)化，擁有了獨(dú)特的結(jié)構(gòu)及力學(xué)特性，利用其復(fù)雜的多尺度和多相結(jié)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)超出人造系統(tǒng)的功能[1]。這些多層生物結(jié)構(gòu)材料往往比單一結(jié)構(gòu)材料具有更合理的力學(xué)特性。以常見(jiàn)的多級(jí)生物體牙齒、骨骼、珍珠等[2]為例，這些生物結(jié)構(gòu)材料擁有卓越的力學(xué)特性，它們擁有堅(jiān)硬的表面層，以抵抗磨損或者穿透，并具有堅(jiān)韌的內(nèi)在結(jié)構(gòu)以適應(yīng)變形的需求，這些特性與生物體內(nèi)部的多級(jí)結(jié)構(gòu)有非常緊密的聯(lián)系。但如何參數(shù)化地設(shè)計(jì)多級(jí)結(jié)構(gòu)使其擁有優(yōu)良的力學(xué)性能仍具有一定的挑戰(zhàn)性。

SIGMUND等[3]提出模型微觀尺度結(jié)構(gòu)優(yōu)化的概念，初步探索了單晶格陣列對(duì)模型宏觀彈性模量的控制效果；ARMILLOTTA等[4]利用晶格結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)并制造出了超輕且堅(jiān)硬的結(jié)構(gòu)；GARCIA等[5]通過(guò)調(diào)整晶格單元結(jié)構(gòu)的孔隙率對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，進(jìn)而調(diào)整了晶格的彈性力學(xué)性能,但由于單晶格結(jié)構(gòu)功能單一,因此無(wú)法設(shè)計(jì)具有復(fù)合功能的結(jié)構(gòu)材料;SCHUMACHER等[6]將多晶格在三維模型空間中優(yōu)化分布，實(shí)現(xiàn)了對(duì)模型彈性模量的準(zhǔn)確控制，但是該方法計(jì)算量大，只能夠?qū)崿F(xiàn)介觀尺度的建模；XU等[7]在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，通過(guò)在單元晶體中組裝兩個(gè)不同的晶格單元，實(shí)現(xiàn)在不同空間方向上對(duì)剛度的調(diào)控，生成具有可控各向異性的晶格結(jié)構(gòu)單元，但這類(lèi)設(shè)計(jì)方法只能夠?qū)崿F(xiàn)性能的微調(diào)。

本文以多級(jí)生物體作為主要研究對(duì)象，從微觀層面探究其堅(jiān)韌的原理，構(gòu)建了以晶格孔隙率驅(qū)動(dòng)力學(xué)性能調(diào)控的晶格模型族，對(duì)目標(biāo)對(duì)象進(jìn)行填充優(yōu)化，并基于有限元映射的方法使晶格呈現(xiàn)梯度變化，從而最大化地接近結(jié)構(gòu)梯度變化特征。此外，還基于隱式曲面方法優(yōu)化了晶格間的過(guò)渡連接，保證了結(jié)構(gòu)間的有效連接及力的穩(wěn)定傳遞。通過(guò)迭代優(yōu)化生成具有形狀結(jié)構(gòu)穩(wěn)健且滿足堅(jiān)韌生物力學(xué)特性的模型。最后將物理實(shí)驗(yàn)與仿真實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，評(píng)估了本文多級(jí)晶格力學(xué)性能的控制方法，并將該方法應(yīng)用在生物模型上。

1 技術(shù)路線

本文目標(biāo)是將多級(jí)體空間根據(jù)給定的力學(xué)參數(shù)用匹配的晶格進(jìn)行填充，并依據(jù)仿真結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而生成期望的復(fù)合功能結(jié)構(gòu)。方法主要分為兩個(gè)階段，在預(yù)處理階段，通過(guò)有限元仿真運(yùn)用插值的方法，建立由彈性模量和抗沖擊韌性等參數(shù)進(jìn)行檢索的晶格單元模型族。在設(shè)計(jì)過(guò)程中，首先將獲得的生物體μCT(computed tomography)圖片進(jìn)行重建，獲得多級(jí)體空間，根據(jù)前人對(duì)生物體各級(jí)力學(xué)性能的研究結(jié)果，輸入各級(jí)體空間的生物力學(xué)參數(shù)，匹配晶格模型族中的單元結(jié)構(gòu)，根據(jù)給定的力學(xué)參數(shù)對(duì)模型各級(jí)空間進(jìn)行填充，通過(guò)全局優(yōu)化的方法對(duì)模型進(jìn)行初步的優(yōu)化設(shè)計(jì)，并保證連接的有效性及穩(wěn)定性。隨后將模型導(dǎo)入有限元分析軟件ABAQUS中，根據(jù)實(shí)際的受力情況對(duì)模型進(jìn)行分析，并將模型的力學(xué)結(jié)果導(dǎo)出。通過(guò)三維映射的方法，將分析結(jié)果與晶格填充模型進(jìn)行匹配，從而調(diào)整晶格結(jié)構(gòu)的孔隙率、尺寸等參數(shù)。將優(yōu)化后結(jié)果重新導(dǎo)入ABAQUS中進(jìn)行分析，驗(yàn)證是否滿足生物體變形的需求，如果不滿足則返回重新完成優(yōu)化過(guò)程，循環(huán)往復(fù)，直到生成具有形狀結(jié)構(gòu)穩(wěn)健和滿足生物力學(xué)特性的模型，其流程如圖1所示。

圖1 多級(jí)微結(jié)構(gòu)力學(xué)性能建模流程圖Fig.1 The mechanical properties of multilevel microstructures modeling flowchart

2 晶格結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.1 均質(zhì)化

目前人們已經(jīng)對(duì)周期性中尺度單元結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提出了各種優(yōu)化解決方法，但是設(shè)計(jì)人員必須考慮均質(zhì)化問(wèn)題，即單胞尺寸必須比所有方向上的設(shè)計(jì)空間小得多。假設(shè)在所有方向上都是周期性的晶格結(jié)構(gòu)，可以通過(guò)均質(zhì)化的方法計(jì)算出晶格單元的彈性模量[8]。由晶格單元構(gòu)成的剛度矩陣Μ可以表示為

(1)

式中,n為晶格單元體網(wǎng)格的個(gè)數(shù);R為應(yīng)力應(yīng)變矩陣;Ci為與單元密度相關(guān)用于表示晶格的矩陣;Ωi為第i個(gè)單元域。

我們定義晶格單元Cell為c，通常為了計(jì)算出晶格單元的結(jié)構(gòu)特性，需要求解6個(gè)方向的載荷：

MX(i)=F(i)i=1，2，…，6

(2)

其中，X(i)為每個(gè)晶格單元c在i方向上的位移向量；F(i)為施加的載荷，可以通過(guò)應(yīng)力場(chǎng)計(jì)算得出：

(3)

其中，單元應(yīng)變矩陣為

ε(1)=[1 0 0 0 0 0]T
ε(2)=[0 1 0 0 0 0]T
ε(3)=[0 0 1 0 0 0]T
ε(4)=[0 0 0 1 0 0]T
ε(5)=[0 0 0 0 1 0]T
ε(6)=[0 0 0 0 0 1]T

2.2 晶格模型族構(gòu)建

在均值化理論基礎(chǔ)之上進(jìn)行晶格單元的設(shè)計(jì)，圖2所示為幾種常見(jiàn)的晶格單元結(jié)構(gòu)。為高效準(zhǔn)確地檢索到具有特定參數(shù)的微結(jié)構(gòu)，采取了預(yù)計(jì)算的策略。考慮到晶格單元間的連接問(wèn)題，將晶格單元結(jié)構(gòu)劃分為三類(lèi)，分別為面心立方(face center cubic，F(xiàn)CC)、體心立方(body center cubic，BCC)以及面體心立方(face and body center cubic，F(xiàn)BCC)，以保證相鄰結(jié)構(gòu)可以穩(wěn)定地連接。隨后對(duì)每一個(gè)晶格結(jié)構(gòu)都進(jìn)行有限元分析，以獲得不同晶格結(jié)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的力學(xué)參數(shù)，并為構(gòu)建的單元結(jié)構(gòu)賦予對(duì)應(yīng)的參數(shù)信息，如晶格類(lèi)別、孔隙率、抗沖擊韌性、彈性模量等，建立晶格與各參數(shù)之間的映射關(guān)系。通過(guò)對(duì)晶格孔隙率的調(diào)控，可以獲得一組由孔隙率驅(qū)動(dòng)的晶格單元所對(duì)應(yīng)的彈性模量，對(duì)這組數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，可以獲得一組連續(xù)的晶格模型系。首先，利用距離場(chǎng)轉(zhuǎn)換函數(shù)：

f(x)=sgn(x)ln(|x|+δ)

(4)

(a)十字立方 (b)面心立方

(c)十字面心立方 (d)體心立方

(e)立方體 (f)正十二面體

(g)面體心立方 (h)陣結(jié)構(gòu) 圖2 典型的晶格單元結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Typical lattice unit structures

將模型空間進(jìn)行變換。其中，δ為調(diào)控?cái)M合精度的閾值，δ的數(shù)值越小，擬合的精度越高。然后根據(jù)給定的孔隙率φgoal和變換距離場(chǎng)f(x)，通過(guò)最小二乘法線性插值求解ξ，當(dāng)ξ最小時(shí)可以求得φgoal以基本單元cbase插值計(jì)算得到的對(duì)應(yīng)單元體結(jié)構(gòu)cgoal：

(5)

式中,d為空間維數(shù);m為多項(xiàng)式的次數(shù);xi為x的第i個(gè)取值;Π為所有晶格點(diǎn)陣的所在域。

通過(guò)這種方法可以獲得比較準(zhǔn)確的晶格族系，后期可以通過(guò)繼續(xù)增加晶格種類(lèi)來(lái)提高方法的適用性及準(zhǔn)確性，為多級(jí)參數(shù)力學(xué)性能調(diào)控的選擇提供豐富的初始樣本。圖3展示了三類(lèi)典型晶格結(jié)構(gòu)BCC、FCC以及FBCC，由孔隙率驅(qū)動(dòng)的五種典型結(jié)構(gòu)彈性模量的變化趨勢(shì)。由力學(xué)試驗(yàn)可知，不同孔隙率的晶格結(jié)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的彈性模量呈線性分布。當(dāng)單元模型族數(shù)據(jù)庫(kù)越完善，則在建模時(shí)對(duì)晶格單元的選擇就越多，便于設(shè)計(jì)出更具個(gè)性化需求的多級(jí)模型。

(a)BCC晶格

(b)FCC晶格

(c)FBCC晶格圖3 三類(lèi)常見(jiàn)的三維晶格單元結(jié)構(gòu)，不同孔隙率所對(duì)應(yīng)的彈性模量Fig.3 Three common three-dimensional lattice unit structures, different porosity corresponding to the elastic modulus

2.3 多級(jí)晶格單元力學(xué)調(diào)控方法

在單元晶格的理論研究基礎(chǔ)之上，筆者提出了多級(jí)晶格結(jié)構(gòu)的力學(xué)調(diào)控方法。從根源上可以追溯到線性彈性定律：σ=Eε，其中σ={σ1,σ2,σ3,σ4,σ5,σ6},ε={ε1,ε1,ε1,γ4,γ5,γ6}。在上文中定義了晶格單元的均值化計(jì)算方法，首先將晶格單元拓展到單級(jí)晶格模型中，定義m為單級(jí)晶格層數(shù)，n為m層晶格的個(gè)數(shù)，利用均質(zhì)化理論[9]將單級(jí)晶格彈性模量表示為

(6)

ξ(i,j),(m,n)=exp(d(i,j),(m,n)·g(i,j),(m,n))

(7)

描述第i層第j個(gè)晶格單元與第m層第n個(gè)晶格單元間的匹配程度，d(i,j),(m,n)為選定結(jié)構(gòu)與實(shí)際微結(jié)構(gòu)間的連接誤差,g(i,j),(m,n)為相鄰結(jié)構(gòu)間的相似度。隨后對(duì)多級(jí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行定義：

(8)

式中,N為模型的層數(shù)。

3 多級(jí)微結(jié)構(gòu)填充實(shí)現(xiàn)

3.1 多級(jí)晶格填充

在對(duì)多級(jí)生物體進(jìn)行仿生設(shè)計(jì)之前，必須先獲得多級(jí)生物體空間的離散網(wǎng)格數(shù)據(jù)模型，然后將μCT掃描數(shù)據(jù)進(jìn)行三角網(wǎng)格數(shù)據(jù)重建。由于生物體各層級(jí)結(jié)構(gòu)之間是梯度變化的，沒(méi)有明確的分界線，為便于后期設(shè)計(jì)，在根據(jù)實(shí)際情況對(duì)模型重建后，需進(jìn)行相應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，運(yùn)用等值面繪制方法，將各層結(jié)構(gòu)用明確的界限劃分出來(lái)，用幾何參數(shù)Ωi(i∈N)表示各級(jí)體空間，其中i為生物體層級(jí)數(shù)。輸入各層級(jí)需要設(shè)定的力學(xué)參數(shù)，在晶格族數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索與之匹配的晶格單元，隨后進(jìn)行平鋪填充。

3.2 基于水平集方法的梯度建模

晶格結(jié)構(gòu)間連接的穩(wěn)定性，將對(duì)多級(jí)結(jié)構(gòu)的宏觀力學(xué)性能產(chǎn)生巨大影響。如圖4a所示，晶格結(jié)構(gòu)間不可能完全匹配。為解決這一問(wèn)題，一方面需豐富晶格模型族備選晶格，選擇匹配程度系數(shù)ξ較高的晶格。在檢索晶格結(jié)構(gòu)時(shí)匹配類(lèi)別能夠相互連接的結(jié)構(gòu)，比如將FBCC-BCC、FBCC-FCC、FBCC-FBCC等結(jié)構(gòu)相連。值得注意的是，F(xiàn)CC不能與BCC直接相連，必須以FBCC作為過(guò)渡晶格結(jié)構(gòu)。另一方面，基于隱式曲面的方法[6]對(duì)晶格進(jìn)行融合。由于距離函數(shù)的變化率是均勻的，因此有利于實(shí)現(xiàn)晶格梯度均勻變化，并提高數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。圖4b為晶格融合后的效果，圖4c為晶格梯度變化的效果。

(a)四種常見(jiàn)晶格的連接 (b)晶格融合后結(jié)果

(c)晶格桿徑從3.0 mm到0.5 mm梯度變化圖4 晶格融合及梯度變化Fig.4 Lattice fusion and gradient change

3.3 性能空間分布

首先利用OOFEM有限元庫(kù)[10]的分析方法將應(yīng)力映射到模型上，獲得多級(jí)映射空間Ωi(i∈N)。然后，通過(guò)預(yù)計(jì)算選取不同空間Ωi對(duì)應(yīng)的相似力學(xué)特性單元模型Li,j(i,j∈N)，并用求得的單元結(jié)構(gòu)ci,j對(duì)模型空間Ωi進(jìn)行填充，其關(guān)系為

(9)

為介紹基于有限元的紋理映射原理，以15 mm×7.5 mm×2.5 mm長(zhǎng)方體為實(shí)驗(yàn)物體，進(jìn)行有限元仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)長(zhǎng)方體的中間施加壓力(圖5a)，獲得圖5b所示應(yīng)力場(chǎng)云圖。采用LU等[11]提出的基于全局對(duì)比度保持轉(zhuǎn)換方法，構(gòu)建如下參數(shù)化轉(zhuǎn)化函數(shù)：

I=f(c,s)
c=(r,g,b)

式中，r、g、b為每個(gè)像素的顏色向量；s為該像素點(diǎn)的顯著性度。

將彩色的應(yīng)力分布云圖轉(zhuǎn)換為灰度，并保持良好的灰度圖，如圖5c所示。在上文梯度變形的原理之上，構(gòu)建應(yīng)力云圖灰度值與模型梯度Osolution之間的映射關(guān)系為

G(I)=Osolution

(10)

根據(jù)不同的灰度值調(diào)整晶格桿徑的梯度變化，以匹配不同應(yīng)力值的大小，效果見(jiàn)圖5d。

(a)受力分析

(b)應(yīng)力云圖

(c)灰度圖

(d)圖像映射結(jié)果圖5 有限元結(jié)果映射實(shí)驗(yàn)Fig.5 FEA results in mapping experiment

4 實(shí)驗(yàn)分析

4.1 壓力實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證多級(jí)微結(jié)構(gòu)對(duì)彈性模量參數(shù)調(diào)控的有效性，我們從排列組合方式、方向以及孔隙率等多個(gè)角度，對(duì)多級(jí)晶格結(jié)構(gòu)進(jìn)行了物理實(shí)驗(yàn)以及力學(xué)仿真實(shí)驗(yàn)，并將實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。如圖6a所示，運(yùn)用熔融沉積制造(fused deposition modeling，F(xiàn)DM)工藝使用聚乳酸(PLA)材料制造了三組對(duì)比實(shí)驗(yàn)樣件，三組多級(jí)晶格結(jié)構(gòu)單元的排列方式分別是B-FB-F(BCC-FBCC-FCC)、B-FB-F(vertical)、F-FB-B，每組設(shè)計(jì)6個(gè)單元，桿徑從0.45～0.20 mm均勻變化，且每個(gè)多級(jí)單元結(jié)構(gòu)由3×3×3個(gè)單級(jí)單元結(jié)構(gòu)所組成。在結(jié)構(gòu)測(cè)試過(guò)程中，使用Instron 3367的設(shè)備進(jìn)行壓力試驗(yàn)，如圖6b所示。試驗(yàn)前，先對(duì)模型施加了一個(gè)預(yù)載荷，使晶格處于預(yù)緊狀態(tài),然后以0.8 mm/min的速率進(jìn)行測(cè)試。

(a)多級(jí)晶格模型樣件

(b)力學(xué)壓縮試驗(yàn)設(shè)備圖6 多級(jí)晶格結(jié)構(gòu)物理壓力試驗(yàn)Fig.6 Physical pressure test of multilevel lattice element structure

(a)φ=68.25%

(b)φ=55.02%圖7 B-FB-F晶格單元不同孔隙率應(yīng)力-應(yīng)變曲線圖Fig.7 A set of stress-strain curves for a group of B-FB-F lattices

將壓力測(cè)試的應(yīng)力-應(yīng)變曲線線性部分進(jìn)行線性擬合,圖7為一組B-FB-F結(jié)構(gòu)彈性模量的擬合效果圖，其中實(shí)線表示真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線數(shù)值變化,擬合出的虛線斜率為彈性模量的數(shù)值。

圖8a所示為多級(jí)晶格結(jié)構(gòu)，考慮到其各向異性，在三維空間中可能受到來(lái)自各個(gè)方向施加的力，為保證設(shè)計(jì)后的結(jié)果與真實(shí)受力的一致性，將有限元仿真結(jié)果與物理試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，從A、B、C三個(gè)方向?qū)Ц襁M(jìn)行壓力試驗(yàn)，圖8b～圖8d顯示了三組仿真及物理試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)比。通過(guò)表1可知，仿真和試驗(yàn)結(jié)果的擬合結(jié)果較好，所以本文利用仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是具有可行性的。

(a)施加力的方向

(b)F-FB-B晶格

(c)B-FB-F晶格

(d)F-FB-B晶格垂直方向圖8 三種結(jié)構(gòu)仿真結(jié)果與物理壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.8 Results of comparison between simulation and physical tests

結(jié)構(gòu)F-FB-BB-FB-FF-FB-B(V)相似度87.7190.3688.27

4.2 沖擊試驗(yàn)

利用光固化成形(stereolithigraphy apparatus,SLA)工藝制造了4組共24個(gè)試驗(yàn)樣件(80 mm×10 mm×6 mm)，每個(gè)長(zhǎng)條樣件由360個(gè)晶格單元組成，樣件桿徑在0.5～1.0 mm之間均勻變化。使用DELTA-TPO擺錘式?jīng)_擊試驗(yàn)機(jī)評(píng)估多級(jí)晶格模型的抗沖擊性能，也就是晶格模型的韌性，設(shè)置試驗(yàn)溫度為2 ℃，擺錘的沖擊能量為25 J，每次都對(duì)擺錘的角度進(jìn)行調(diào)零并保證樣件左右對(duì)稱(chēng)均勻擺放，記錄下每組模型的抗沖擊韌性ak值。

4.3 沖擊試驗(yàn)結(jié)果

(a)FCC晶格

(b)BCC晶格

(c)FBCC晶格

(d)多級(jí)晶格單元圖9 單級(jí)及多級(jí)晶格單元結(jié)構(gòu)沖擊試驗(yàn)結(jié)果Fig.9 Impact test results of single-stage and multi-stage lattice cell

將不同類(lèi)別的晶格單元結(jié)構(gòu)、不同孔隙率下的沖擊試驗(yàn)結(jié)果在圖9中用黑色圓點(diǎn)表示，并對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合。FCC、BCC單元晶格結(jié)構(gòu)和多級(jí)晶格單元結(jié)構(gòu)的孔隙率在0～1之間呈波浪形變化，而FBCC單元孔隙率在0～0.36之間呈線性變化(圖9c)。試驗(yàn)結(jié)果整體呈現(xiàn)了很好的規(guī)律性，且沖擊韌性結(jié)果雖然存在一定的誤差，但卻是可控的，為后期設(shè)計(jì)不同性質(zhì)的物體提供了重要的設(shè)計(jì)參考。

5 多級(jí)仿生微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)案例

人們對(duì)牙釉質(zhì)和牙本質(zhì)的彈性性能、硬度和斷裂力學(xué)性能進(jìn)行了大量的研究，其中彈性模量[12]和硬度[13]等參數(shù)是目前研究最為廣泛的力學(xué)特性。由于不同牙齒的力學(xué)性能有較大差別[14]，而第三磨牙的力學(xué)性能最為豐富，所以選取成年男性的第三磨牙作為研究對(duì)象。主要針對(duì)天然牙釉質(zhì)、牙本質(zhì)以及牙髓構(gòu)成的多級(jí)結(jié)構(gòu)彈性模量作為主要的調(diào)控目標(biāo)，能夠?qū)崿F(xiàn)多級(jí)晶格結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢(shì)：外硬內(nèi)軟，可以凸顯牙齒堅(jiān)韌的特性。

(a)體重建(b)三維模型剖視圖

(c)晶格填充(d)有限元模擬力與約束

(e)有限元變形對(duì)比(f)有限元應(yīng)力云圖

(g)結(jié)果(h)結(jié)果驗(yàn)證圖10 牙齒仿生多級(jí)模型制作過(guò)程Fig.10 The primary processes of the bionic multilevel model design of tooth

主要通過(guò)以下步驟實(shí)現(xiàn)多級(jí)牙齒模型的設(shè)計(jì)(圖10)。首先根據(jù)牙齒μCT切片重建出牙釉質(zhì)層、牙本質(zhì)層以及牙髓腔層三個(gè)獨(dú)立的層級(jí)空間，并將其分別表示為Ω1、Ω2和Ω3。然后通過(guò)設(shè)定各級(jí)空間的力學(xué)參數(shù)范圍(表2)，在晶格模型族中間按照晶格選取原則選取三種晶格，并對(duì)各級(jí)空間進(jìn)行平鋪填充，如圖10c所示。隨后固定住多級(jí)牙齒模型的根部，模擬牙周韌帶和牙槽骨將自然牙約束的情況，施加垂直咬合載荷，見(jiàn)圖10d。通過(guò)有限元分析，獲得多級(jí)牙齒應(yīng)力場(chǎng)云圖，見(jiàn)圖10f。由于在牙釉質(zhì)層的右上方應(yīng)力較集中，因此應(yīng)降低晶格孔隙率，提升其硬度，增強(qiáng)其抗磨切能力；在各層級(jí)連接處也存在一定的應(yīng)力集中現(xiàn)象，所以過(guò)渡的晶格桿徑較大，以提高承受應(yīng)力集中的能力。將應(yīng)力場(chǎng)云圖對(duì)多級(jí)晶格結(jié)構(gòu)進(jìn)行映射，獲得梯度變化的多級(jí)晶格模型，并將模型各級(jí)間的連接進(jìn)行增強(qiáng)，以保證力的有效傳遞。隨后將力在50～450 N之間變化，以判斷模型變形區(qū)間是否在最大變形范圍內(nèi)，并及時(shí)調(diào)整晶格單元的孔隙率，間接驅(qū)動(dòng)各級(jí)晶格彈性模量的變化，確保滿足實(shí)際的力學(xué)需求。整個(gè)模型在圖10c～圖10h之間迭代了了五次，為保證美觀，將最外層超出原始邊界的晶格單元進(jìn)行裁剪，最終獲得圖10g的結(jié)果，為保證設(shè)計(jì)結(jié)果的有效性，對(duì)生成的模型進(jìn)行驗(yàn)證，如圖10h所示。結(jié)果表明生成的模型最大微動(dòng)尺寸小于且接近自然牙的最大微動(dòng)尺寸45.6 μm[15]，滿足設(shè)計(jì)要求。

本文提出的方法可以解決種植牙與牙周骨的剛性連接問(wèn)題，生成的牙齒模型不僅具有堅(jiān)硬的外表層，而且擁有能夠緩沖變形的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)牙齒堅(jiān)韌的多級(jí)結(jié)構(gòu)特性，且多孔的結(jié)構(gòu)非常利于骨組織長(zhǎng)入，隨著時(shí)間的推移，種植體與牙周骨間的連接會(huì)更加緊密，不會(huì)像傳統(tǒng)的種植牙出現(xiàn)松動(dòng)的問(wèn)題。

表2 第三磨牙牙釉質(zhì)與牙本質(zhì)彈性模量測(cè)量結(jié)果[14]

6 結(jié)論

(1)本文提出了多級(jí)晶格仿生微結(jié)構(gòu)建模的概念和幾何設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了多級(jí)晶格結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能調(diào)控及多種晶格連接合成。

(2)通過(guò)預(yù)構(gòu)建具有不同彈性模量的微單元結(jié)構(gòu)模型族，提高了建模的效率，通過(guò)有限元映射、梯度變化、隱式曲面融合等方法獲得了特定的彈性模量及抗沖擊韌性。

(3)將該技術(shù)應(yīng)用到生物醫(yī)學(xué)假體牙齒的建模之中，突出了多級(jí)晶格結(jié)構(gòu)的功能性?xún)?yōu)勢(shì)，生成的模型不僅擁有堅(jiān)硬的外部結(jié)構(gòu)以抵抗破壞，又擁有堅(jiān)韌的內(nèi)在結(jié)構(gòu)以緩解沖擊變形，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)堅(jiān)韌的生物力學(xué)特性。

(4)多孔結(jié)構(gòu)可以有效減小模型的質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)輕量化，且能夠更好地保證與周邊的骨組織相互連接，利于生長(zhǎng)，使其生物相容性更強(qiáng)。