不同初始分布向列相液晶電容特性的相場法研究

王舒凱，周志東

(廈門大學 材料學院，福建省特種先進材料重點實驗室，福建 廈門361000)

1 引 言

20世紀50年代末，發現了液晶材料在熱圖像方面的應用價值，激發了人們對液晶的研究熱潮[1]。液晶盒又稱液晶顯示板，是將薄層液晶注入到兩塊玻璃基板之間，加以密封。當施加外電場時，液晶分子的排列狀態和指向矢發生改變，從而改變液晶盒宏觀的電學和光學特性。液晶盒也可以當作一個電容器[2]，液晶層的有效介電常數會隨著外加電學條件的變化而變化[3], 其電容可調。同時，液晶的介電常數[4]、彈性常數[5-6]、撓曲電系數[7-9]和基板的錨定條件[10-11]等特性，對液晶盒電容特性及其液晶顯示器件性能具有重要的影響。

液晶盒中的液晶分子呈楔形、紡錐形或香蕉形。當分子指向發生變化時，會引起整體結構的彎曲、展曲和扭曲等機械形變，此時存在顯著的撓曲電效應。撓曲電效應描述了向列相液晶發生形變后液晶盒產生的自發極化現象，并具有永久的偶極矩[12-13]，影響液晶盒的介電常數[7]。崔文靜等基于液晶彈性理論和變分原理，推導了液晶盒系統的平衡態方程和電容的表達式，模擬不同撓曲電系數下電壓-電容曲線，分析了液晶撓曲電特性對液晶盒電容的影響[8]，以及彈性常數和介電各向異性對混合液晶盒和平行液晶盒電容的影響[14]。Kaur等[15]實驗測試了液晶盒中液晶分子指向偏轉的臨界電壓，獲得了展曲和彎曲撓曲電系數的差值。Reshetnyak等[16]采用一種半定量的方法描述了光折變材料中兩束光引起的能量增益，發現液晶的撓曲電能是驅動光柵結構的主要物理機制。Vitoriano和Satiro[17]考慮液晶盒中液晶分子不同的分布密度，分析了液晶分子指向密度耦合理論在實驗測量撓曲電系數e3和e1以及組合e1+e3和e1-e3中的實際應用。

相場法可以模擬并預測材料在不同的物理場下各種微觀結構的形成及演化過程。Oates和Wang[18]建立了向列相液晶的相場模型，研究了液晶中單疇和多疇結構，分析了熱和機械拉伸加載過程中液晶核的自發形態和多疇結構的演化。液晶器件大部分是在電壓控制下進行工作，如果液晶器件與其他電容器連接時，也可以在恒定表面電荷控制下工作。但是，關于采用相場方法研究各種初始取向液晶在表面電荷密度作用下液晶核指向的演化，并最終分析如何影響宏觀電學特性的工作還很少見。

本文考慮構建研究液晶微結構的相場方法，結合液晶材料的撓曲電效應，應用液晶相整體的自由能密度，分析液晶指向矢隨外加表面電荷密度的演化，并給出液晶盒約化電容離散化的表達式。通過數值算例，分析討論混合液晶盒和平行液晶盒液晶指向矢、約化電容與撓曲電系數、機械約束條件、表面電荷密度和液晶盒厚度等的相互數值關系與演變趨勢。

2 液晶系統的相場方法

2.1 液晶盒系統的自由能密度

圖1 混合液晶盒(a)和平行液晶盒(b)結構和坐標系Fig.1 Structure of liquid crystal cells and the coordinate system. (a) HAN cell, (b) PAN cell.

液晶盒的總自由能可以表示為[19]：

(1)

其中：fof、fdiel和fflex分別表示彈性形變自由能密度、介電自由能密度和撓曲電效應引起的自由能密度。彈性形變自由能的表達式為[20]：

(2)

其中：K1，K2和K3分別表示液晶的展曲、扭曲和彎曲彈性系數，為拉普拉斯算子。對于本文分析的一維問題，代入液晶指向矢n(z)可以得到形變自由能密度為：

(3)

式(3)中不存在含K2的項，說明在一維問題中液晶盒沒有發生扭曲形變，只有展曲和彎曲形變。對于本文研究的對象，液晶的電位移矢量可以表示為：

D=ε0[ε⊥E+(Δε)(E·n)n]+Pf，

(4)

其中：ε0為真空介電常數，ε⊥為垂直于液晶分子長軸方向的相對介電常數，ε‖為平行于液晶分子長軸方向的相對介電常數，Δε=ε‖-ε⊥為液晶材料的介電各向異性。E表示液晶中的電場強度。Pf是液晶中由于撓曲電效應產生的極化強度[17]：

Pf=e1n(·n)+e3[(×n)×n]，

(5)

其中：e1和e3表示液晶展曲和彎曲的撓曲電系數。對于一維問題，z方向上的極化強度Pfz可以表示為：

(6)

當液晶盒表面存在自由表面電荷密度σ時，可以獲得液晶盒內沿厚度方向上的電場分布為[17]：

(7)

因此，液晶系統的介電自由能fdiel可以表示為：

(8)

而由于撓曲電效應引起的自由能為：

(9)

結合式(4，6，8，9)可以看出，液晶系統的自由能密度與液晶分子的指向矢即液晶核的極化方向密切相關。當外加物理場發生改變時，液晶分子通過改變其指向矢(極化方向)來降低系統的自由能，使得液晶盒系統更穩定。

2.2 液晶指向矢的相場方程

相場方法可以通過序參量模擬材料內部微結構的演化，也可以很容易推廣描述二維和三維結構。本文把表示液晶分子指向矢的偏轉角θ作為液晶系統的序參量，其在外場下的演化可以通過動態金茲堡-朗道方程來求解[21]：

(10)

其中：δF/δθ(r,t)表示熱力學驅動力，t為時間，L為動力學系數。將式(1，3，8，9)代入式(10)，得到關于液晶指向矢偏角θ的相場方程具體表達式：

(11)

式(11)相場方程可以通過有限差分法求解。將液晶盒沿厚度方向平均劃分成m份，在第i(1

(12)

(13)

(14)

將式(14)簡化為如下函數形式:

(15)

(16)

其中:

(17)

其中:Δt表示時間步長。

2.3 液晶盒電容表達式

(18)

(19)

(20)

從式(20)可以看粗，約化電容與液晶盒內液晶分子指向分布密切相關。

3 數值分析與討論

在整個數值計算過程中，采用如下材料參數[8]：r=1、L=1、K1=6.2 pN、K3=8.3 pN、Δε=5.2、ε‖=10.5、ε0=8.85×10-12C2/(N·m2)。液晶盒厚度取d= 4μm，沿厚度方向分成10等份，即m=10，計算時間步長Δt=1×10-4，整個時間循環次數為5000～30 000。通過數值算例發現，對于平行液晶盒，在臨界厚度或臨界電荷密度工況下，時間循環次數需要達到30 000時結果才能趨于穩定值。在液晶盒上下基板位置上設定液晶核的機械邊界條件，對于平行液晶盒θ(1)=θ(11)=0，而混合液晶盒θ(1)=0，θ(11)=/2，在液晶盒內每個節點液晶指向矢偏角的計算初始值賦予微小高斯隨機值。

圖2 不同表面電荷密度值對混合液晶盒(a)和平行液晶盒(b)指向矢厚度分布的影響Fig.2 Distribution of director in (a) HAN cell and (b) PAN cell with different surface charge density

圖2給出了不同表面電荷對混合液晶盒與平行液晶盒內液晶分子指向矢分布的影響，此時撓曲電系數和取e1+e3=30 pC/m。從圖2(a)中可以看出，在混合液晶盒中，表面電荷密度越大，液晶分子的指向矢偏角越大，沿厚度方向指向矢偏角在0～π/2連續變化。從圖2(b)可以看出，在平行液晶盒中，當表面電荷密度超過某一臨界值時(大約3×10-5C/m2)，液晶分子指向矢才能發生改變，并在液晶盒中間層出現最大值。當表面電荷密度低于臨界值時，液晶分子指向矢保持不變。臨界表面電荷密度值與液晶盒的厚度密切相關，將在下節討論。

圖3 不同撓曲電系數對混合液晶盒(a)和平行液晶盒(b)指向矢厚度分布的影響Fig.3 Distribution of director in (a) HAN cell and (b) PAN cell with different flexoelectric coefficients

圖3給出了撓曲電效應對兩種液晶盒指向矢分布的影響，此時表面電荷密度取σ=8×10-5C/m2。從圖中可以看出，在混合液晶盒和平行液晶盒中，撓曲電效應對液晶核指向矢的影響是一樣的，即撓曲電系數和越大，液晶核指向矢偏角越小。這個結果與文獻[7]報道的結果很類似，他們討論的是電壓控制。

圖4 不同撓曲電系數對混合液晶盒(a)和平行液晶盒(b)約化電容-表面電荷密度曲線的影響Fig.4 Capacitance-surface charge density curve in (a) HAN and (b) PAN cell with different flexoelectric coefficients

圖4分別給出了撓曲電效應對約化電容-表面電荷密度曲線的影響。從圖4(a)可以發現，在混合液晶盒中，當表面電荷密度較小時，約化電容隨表面電荷密度的增加而顯著增加，當表面電荷密度較大時，約化電容趨于穩定值。這是因為在不斷加大的表面電荷作用下，液晶分子指向矢都穩定地趨于電場的加載方向，因此約化電容的變化逐漸平緩并最終趨于穩定。而從圖4(b)可以發現，在平行盒液晶盒中，當表面電荷密度低于臨界值時，約化電容不發生改變，當表面電荷密度超過臨界值時，液晶盒的約化電容發生陡變，并最終趨于穩定。這是因為，在平行液晶盒中，電荷密度達到臨界值后，液晶分子指向矢發生變化，從而引起電容的巨大變化，而且平行液晶盒的液晶分子指向矢比混合液晶的液晶分子指向矢更快的達到飽和指向。圖4也顯示了在混合液晶盒和平行液晶盒中，撓曲電系數和越大，約化電容越小，但隨著表面電荷密度的增加，約化電容最終會趨于相等。因此，我們可以通過調節液晶材料的撓曲電系數來調控液晶盒的宏觀電容特性。

圖5 不同撓曲電系數對(a)混合液晶盒和(b)平行液晶盒約化電容-厚度曲線的影響Fig.5 Capacitance-Thickness in (a) HAN and (b) PAN cell with different flexoelectric coefficients

圖5給出了兩種液晶盒中撓曲電效應對約化電容-厚度關系曲線的影響，此時表面電荷密度取σ=8×10-5C/m2。圖5(a)顯示，在混合液晶盒中，當表面電荷密度確定時，約化電容隨著液晶盒厚度的增加而增加。當液晶盒厚度達到一定值時，約化電容趨于穩定。從圖5(b)可以看出，在平行液晶盒中，當表面電荷確定時，液晶厚度存在一臨界值，當液晶盒厚度小于此臨界值時，約化電容保持不變；當液晶盒厚度達到此臨界值時，電容發生陡增并很快達到穩定值。因此，當設計液晶器件時，需要充分考慮其應用工況。例如，當工況表面電荷密度確定時，設計平行液晶盒的厚度必須大于臨界厚度，這樣才能獲得大的電容特性。從圖5(b)也可以看出，撓曲電效應對液晶盒厚度臨界值幾乎無影響。

圖6 不同表面電荷密度對(a)混合液晶盒和(b)平行液晶盒約化電容-厚度曲線的影響Fig.6 Capacitance-Thickness curve in (a) HAN and (b) PAN cell with different surface free charge density

圖6分別給出了兩種液晶盒中表面電荷密度對約化電容-厚度關系的影響，此時撓曲電效應取e1+e3=30 pC/m。從圖6(a)中可以看出，大的表面電荷密度產生更大的約化電容，但是，表面電荷密度大小對大厚度的液晶盒幾乎無影響。而圖6(b)的結果顯示，在平行液晶盒中，表面電荷密度越大，液晶盒的約化電容發生改變時的液晶盒厚度越小，即液晶分子發生反轉時的臨界厚度越小。因此，當設計應用于小表面電荷密度工況下工作的平行液晶盒時，液晶盒的厚度應該盡量小。圖6(b)也顯示，對于大厚度液晶盒，表面電荷密度也幾乎不改變液晶盒的約化電容。

4 結 論

本文采用相場方法研究了表面電荷作用下不同初始分布向列相液晶盒(混合液晶盒與平行液晶盒)中撓曲電效應對液晶電容特性的影響。基于液晶盒的整體能量，構建描述液晶分子指向矢偏角在外加電場下演化的相場方程，給出了液晶盒約化電容的數值表達式。分析了撓曲電系數和表面電荷密度對混合液晶盒和平行液晶核指向矢的影響，討論了兩種初始分布的液晶盒內約化電容-表面電荷密度曲線和約化電容-厚度曲線。分析結果表明，在混合液晶盒中，表面電荷密度越大，撓曲電系數越小，液晶核指向矢偏角越大并最終沿電荷加載的方向趨于穩定，其約化電容隨表面電荷和液晶厚度的增加而增加并趨于平緩。在平行液晶盒中，表面電荷密度和液晶厚度都存在臨界值，當超過其臨界值時，液晶核的指向矢才會發生偏轉，從而引起液晶電容的巨大改變。當表面電荷密度越大，液晶盒約化電容發生顯著變化的臨界厚度越小，而表面電荷密度幾乎不影響大厚度液晶盒的約化電容。因而，液晶器件在設計時應該充分考慮其應用工況(表面電荷密度)、液晶盒厚度、液晶核初始取向與液晶材料等各種因素的影響。