對一道力學競賽題解析的商榷

朱 挺

(江蘇省啟東中學,江蘇 啟東 226200)

中國科技大學出版社出版的《加拿大物理奧林匹克》一書中,有這樣一道題:多倫多物理奧林匹克競賽團隊為去年在POPTOR周末表現優秀的學生鋪設了一張紅地毯．比賽結束后他們決定把地毯卷起來放在儲藏室．在卷地毯的過程中,他們注意到了一個完美的物理問題．

假設有一條很長的地毯,厚度t非常小,已知其寬度W、長度L和密度ρ,有一部分已經卷成半徑為r的圓柱體．由于厚度很小,已經卷起的地毯可以看作完美的圓柱體．我們希望只通過踢一下圓柱部分的地毯,使它獲得大小為v的初始速度,就可以把整個地毯卷起來如圖1所示．求所需要的最小初始速度v．

圖1

書中給出如下解析.地毯的動能為

(1)

其中M1=πr2Wρ是已經卷起來部分的地毯的質量．而全部地毯的質量為M,在卷地毯的過程中地毯勢能增加,其重心將不斷地升高．當地毯全部卷起后,半徑將變為

重心升高了 Δh=rf-r.

勢能改變量為

ΔEp=Uf-Ui=Mgrf-M1gr=

(2)

動能全部轉化為地毯重心上升而增加的勢能,聯立兩式可求得速度

(3)

對于上述解析,筆者認為存在不完善的地方．若原題解析認為已卷起部分,在踢一下之后立即作純滾動,則原解析思路是正確的．但是在計算初動能時缺少了轉動動能．

正確解析是這樣的:由純滾動條件,v=ωr,故初動能

由機械能守恒得

若已卷起部分地毯做初速度v的平動,必然經歷一個連滾帶滑的過程.這個過程由于摩擦力做功,因而機械能不守恒，故原解析存在一個原則性的錯誤．

具體分析如下:通過踢一下圓柱體,給它一個平動的初速度,使該圓柱體滑動,同時,地面對圓柱體的摩擦力使平動減速,同時對圓柱體中心軸的力矩,使圓柱體具有順時針方向角加速度．角速度從0開始增加,經過一段時間,轉化為純滾動．而在這個過程中,圓柱體將會損失部分的機械能,故整個過程機械能是不守恒的．原題的解析忽視了連滾帶滑這一環節．

正確的解答如下:

全過程分成兩個階段.

第一階段,圓柱體由連滾帶滑轉化為純滾動的過程中,圓柱體和地平面相切的切線pp′為軸,角動量守恒．

M1vr=ICω+M1v1r.

ωr=v1式中ω是圓柱體做滾動時繞中心軸轉動的角速度,v1是圓柱體做純滾動時中心的平動速度.可得

第二階段,純滾動過程,滿足機械能守恒:

勢能的變化量同原題.

由Ek=ΔEp可得

綜上所述,原題對初始狀態描述不清晰,原解析沒有對地毯的運動過程進行充分地討論,最終導致了原解析的不完善．