用功率相等法巧解速度關(guān)聯(lián)問題

牛紅標(biāo)

(保定市第一中學(xué)，河北 保定 071000)

繩、桿兩端連接有不同物體時,在運動過程中,由于兩端的物體運動方向不一定沿繩或桿的方向,所以兩端物體的速度大小或方向往往不相同.高中階段研究的繩都是不可伸長的,桿都是不可伸長和不可壓縮的,即繩或桿是長度不會改變的理想化模型,當(dāng)然其也不能儲存或釋放其他形式的能量,對兩端關(guān)聯(lián)的物體總是做功大小相等,一正一負(fù),總功為0而實現(xiàn)一個物體的機(jī)械能向另一個物體轉(zhuǎn)移,根據(jù)這個特點我們很容易知道,桿或繩對兩個物體做功的功率大小一定是相等的,力的方向沿繩或桿,所以我們根據(jù)這個功率相等的規(guī)律可以得到繩或桿類關(guān)聯(lián)的兩個物體的速度關(guān)系.

1 定滑輪牽引模型

這個模型對初學(xué)者來說非常容易受到力的作用效果分解思想的影響而出錯,但如果利用輕繩不可伸長,對兩端物體做功相等,可輕松理解速度關(guān)系,進(jìn)一步解決問題.

圖1

例1.如圖1所示,汽車以速度v0在水平路面上勻速行駛,通過繩子牽引質(zhì)量為m重物P.若汽車從圖中A點開到B點,H為已知.求:此過程中重物P增加的機(jī)械能.

解析：牽引重物的繩子不可伸長,對汽車做負(fù)功,對重物做正功,但功率大小相等,設(shè)繩上拉力大小F,在A、B兩點重物P的速度分別為vPA和vPB.

在A點，F(xiàn)vPA=Fv0cos60°,所以,vPA=v0cos60°.

汽車由A到B的過程中,重物上升的高度

機(jī)械能增加量為ΔE=mgh+ΔEk.聯(lián)立解得

圖2

例2.光滑水平面上有A、B兩個物體,通過一根跨過定滑輪的輕繩子相連,如圖2所示,它們的質(zhì)量分別為mA和mB.用水平力F拉著A向右沿水平面以速度v0勻速運動,當(dāng)繩子與水平方向的夾角為θA=45°,θB=30°時,B物體的速度是多少?

點評:根據(jù)繩子兩個端點的功率相等,可以輕松得到兩端物體的速度關(guān)系.

2 動滑輪關(guān)聯(lián)模型

對于和動滑輪相連接物體的運動與繩子端點的速度關(guān)系比較復(fù)雜,但如果抓住繩子做功過程為能量的轉(zhuǎn)移,端點功率與對應(yīng)對動滑輪物體做功功率相等,根據(jù)這個物理條件就能很快找出相關(guān)的速度關(guān)系.

圖3

例3.如圖3所示,一質(zhì)量為m的物體位于光滑水平面上,通過滑輪在一根輕繩的作用下向右運動,已知輕繩C端以速度v勻速收繩,物體m一直在水平上前進(jìn),求當(dāng)AO段的繩子與水平方向的夾角α由30°變化為60°時,拉力對物體所做的功?

解析:本題中,雖然繩子的C端勻速運動,但不能確定繩子上拉力的大小,也不能確定其位移的大小,題目中只給了繩端的速度,因此可以根據(jù)這個速度來得到這個過程中速度的變化.如前面兩個例題,繩子在沒有彈性的情況下,拉力在端點C處做功的功率與對物體做功的功率是相等的,而繩子上的拉力處處相等.

當(dāng)α=30°時，F(xiàn)v=Fv1+Fv1cos30°,

圖4

例4.如圖4所示,小環(huán)O和O′分別套在不動的豎直桿AB和A′B′上,一根不可伸長的繩子穿過環(huán)O′,繩的兩端分別系在A′點和O環(huán)上,設(shè)環(huán)O′以恒定速度v向下運動,求當(dāng)∠AOO′=α?xí)r,環(huán)O的速度.

解析:O、O′之間的速度關(guān)系與O、O′的位置有關(guān),即與α角有關(guān),但輕繩不可伸長,在兩個環(huán)運動過程中,輕繩對兩個環(huán)做功的功率大小相等.設(shè)繩上拉力大小為F.

對O，PO=FvOcosα，

對O′，PO′=Fv-Fvcosα，

兩個功率相等FvOcosα=Fv-Fvcosα，

點評:當(dāng)繩子中間有滑動物體時,同一根繩子對應(yīng)有兩個張力對其做功,注意其功的正負(fù),繩子上沒有能量儲存及釋放,所以一端為正功,一端為負(fù)功,但功率相等.

3 輕桿兩端關(guān)聯(lián)的物體

輕桿兩端有物體時,由于輕桿可以轉(zhuǎn)動,所以也有很多問題中兩端在各自的接觸面上運動,其速度大小及方向均不相等,但根據(jù)輕桿的作用力的特點,對兩端的物體做功一定相等,即桿上的作用力的功率相等,可以很快找到兩端物體的速度關(guān)系.

圖5

圖6

vBcosθ=vAsinθ,由題意可知θ=30°.

又AB組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒,

兩式聯(lián)立可得