一個(gè)豎直面輕繩模型圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的深入分析

李 寧 丁慶紅 肖偉華

(1. 北京市第九中學(xué),北京 100041; 2. 北京教育學(xué)院石景山分院，北京 100043; 3. 北京景山學(xué)校遠(yuǎn)洋分校,北京 100040)

1 問(wèn)題的提出

豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)輕繩模型作為圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)典型應(yīng)用,可以綜合考查受力分析,向心力方程,豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件,兩個(gè)狀態(tài)之間的能量關(guān)系等知識(shí),并且容易與其它運(yùn)動(dòng)模型或電磁場(chǎng)等組合,成為考試命題的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容．

在教學(xué)中,遇到這樣一個(gè)常規(guī)輕繩模型問(wèn)題:質(zhì)量為M的人抓住長(zhǎng)L的輕繩,繩的另一端系著質(zhì)量為m的小球,現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),已知小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)速率為v0,則此時(shí)人對(duì)地面的壓力是多大?

圖1 問(wèn)題情境圖

不難看出,當(dāng)小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí),人對(duì)地面的壓力小于人的重力,但此時(shí)人對(duì)地面的壓力是最小嗎?小球轉(zhuǎn)到什么位置時(shí)人對(duì)地面的壓力最大呢?是在最低點(diǎn)嗎?這幾個(gè)問(wèn)題值得進(jìn)一步深入研究．

2 一個(gè)常規(guī)輕繩模型問(wèn)題的解決

解法1:分別隔離小球和人分析,根據(jù)牛頓第二定律求解.

對(duì)小球,在最高點(diǎn)受力分析如圖2所示.

圖2

由牛頓第二定律可得

圖3

解法2:將小球和人作為質(zhì)點(diǎn)組,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組的牛頓第二定律求解.

圖4

對(duì)小球和人組成的質(zhì)點(diǎn)組,受力分析如圖4所示.

3 小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí),人對(duì)地面的壓力是否最小

圖5

3.1 根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律求拉力F的豎直分量的表達(dá)式

設(shè)當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到與豎直方向夾角為α?xí)r,小球的速度為v,人對(duì)地面的壓力最小,此時(shí)繩的拉力為F.

由動(dòng)能定理可得

由牛頓第二定律可得

整理可得

繩子拉力的豎直分量

3.2 求Fcosα的極值

3.3 關(guān)于Fcosα的極值討論

根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)可知:當(dāng)0°≤α≤90°時(shí),|cosα|≤1.

故當(dāng)cosα=1,即α=0°時(shí),Fcosα取最大值,

不難得出人對(duì)地面最小壓力

Nmin′=Mg-(Fcosα)max.

此時(shí)人對(duì)地面最小壓力

Nmin′=Mg-(Fcosα)max，

4 人對(duì)地面的壓力最大及最大值的表達(dá)式

圖6

4.1 人對(duì)地面的壓力最大時(shí),尋找小球的位置

設(shè)當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到與豎直方向夾角為β時(shí),小球的速度為v,人對(duì)地面的壓力最小,此時(shí)繩的拉力為F.

由動(dòng)能定理可得

繩子拉力的豎直分量

4.2 求Fcosβ的極值

4.3 關(guān)于Fcosβ的極值討論

根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)可得當(dāng)0°≤β≤90°時(shí),|cosβ|≤1,故當(dāng)cosβ=1,即β=0°,小球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí),Fcosβ具有最大值．

此時(shí)人對(duì)地面最大壓力

Nmax′=Mg+(Fcosβ)max，

4.4 直接研究小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)

由分析可知:小球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí),拉力豎直向上,具有最大值．

對(duì)小球從最高點(diǎn)至最低點(diǎn):

整理可得

此時(shí)人對(duì)地面最大壓力Nmax′=Mg+Fm，

5 結(jié)論

(1) 當(dāng)小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí),人對(duì)地面的壓力小于人的重力,但此時(shí)人對(duì)地面的壓力不一定是最小.