明確“初末位置” 構建“直線邊界”
——對稱規律在有界磁場中的巧妙應用

李 進

(山東省鄒平市第一中學,山東 鄒平 256200)

1 問題的提出

2018年全國卷高考物理試題迎來了“帶電粒子在磁場中運動”的全面回歸,全國Ⅰ卷和全國Ⅱ卷均在第25題進行重點考查,總分20分,全國Ⅲ卷將其放在第24題,總分12分．該問題情境題目多、題型多、綜合性強、難度大,能考查學生的分析綜合能力和應用數學知識處理物理問題的能力．筆者在多年高三物理教學工作中發現,許多物理參考資料都是按照有界磁場的形狀對題目進行所謂的歸類,如“圓形磁場”、“三角形磁場”、“平行邊界磁場”等．仔細分析就能發現,這些名詞對解題并沒有什么實際意義．

筆者發現,在粒子入射點和出射點確定的情況下可以進行如下處理:先連結入射點和出射點構建“直線邊界”,然后利用粒子進出直線邊界時運動軌跡的對稱性分析問題．

2 帶電粒子進出直線邊界磁場時軌跡的對稱性

從直線邊界射入勻強磁場的粒子,從同一直線邊界射出時,入射時速度與邊界的夾角同出射時速度與邊界的夾角相等,且等于圓心角的一半．

(1) 粒子速度與邊界成直角時,粒子在磁場中運動半個圓周后垂直于邊界射出磁場[如圖1(a)所示].

(2) 粒子速度與邊界成鈍角時,粒子在磁場中運動一段優弧后射出磁場[如圖1(b)所示].

(3) 粒子速度與邊界成銳角時,粒子在磁場中運動一段劣弧后射出磁場[如圖1(c)所示]．

以上是所有參考資料里面都有的內容,其弊端是會讓學生認為只有題目中出現如圖1所示的直線邊界才能用以上結論處理問題,其實并非如此,以下將舉例說明．

圖1

3 舉例

在各種形狀的有界磁場中,只要粒子的初末位置確定時,連結初末位置則可以構建出“直線邊界”,進而運用以上規律巧妙地分析問題．

圖2

例1.(2016年全國卷Ⅱ第18題)一圓筒處于磁感應強度大小為B的勻強磁場中,磁場方向與筒的軸平行,筒的橫截面如圖2所示．圖中直徑MN的兩端分別開有小孔．筒繞其中心軸以角速度ω順時針轉動．在該截面內,一帶電粒子從小孔M射入筒內,射入時的運動方向與MN成30°角.當筒轉過90°時,該粒子恰好從小孔N飛出圓筒.不計重力.若粒子在筒內未與筒壁發生碰撞,則帶電粒子的比荷為

圖3

以上方法的優點在于,連接M與N1后,將該連線看做直線邊界,根據圓心角等于弦切角的2倍這一幾何關系迅速得出運動軌跡的圓心角的大?。?/p>

圖4

例2.如圖4所示,在邊長為2a的正三角形區域內存在方向垂直于紙面向里的勻強磁場,一個質量為m、電荷量為-q(q>0)的帶電粒子(重力不計)從AB邊的中心O以速度v進入磁場,粒子進入磁場時的速度方向垂直于磁場且與AB邊的夾角為60°,若要使粒子能從AC邊穿出磁場,則勻強磁場磁感應強度的大小B需滿足

解析:解答該題的關鍵是判斷帶電粒子能否經過C點,若不能經過C點,則要判斷何時軌跡與AC邊相切．許多學生正是因為無法得出以上結論而不能正確解答該題．

圖5

其實,我們可以做如下處理:如圖5所示,假設粒子能夠經過C點,連結OC并延長,將其做為直線邊界,則入射速度與邊界夾角為30°,根據帶電粒子進出直線邊界磁場時軌跡的對稱性可知,從C點出射時速度與邊界夾角也是30°,從而得出經過C點時速度沿AC方向,且圓弧所對應的圓心角為60°．

圖6

例3.如圖6所示,紙面內有E、F、G3點,∠GEF=30°,∠EFG=135°,空間有一勻強磁場,磁感應強度大小為B,方向垂直于紙面向外．先使帶有電荷量為+q的點電荷a在紙面內垂直于EF從F點射出,其軌跡經過G點;再使帶有同樣電荷量的點電荷b在紙面內與EF成一定角度從E點射出,其軌跡也經過G點,兩點電荷從射出到經過G點所用的時間相同,且經過G點時的速度方向也相同．已知點電荷a的質量為m,軌道半徑為R,不計重力,求:

(1) 點電荷a從射出到經過G點所用的時間;

(2) 點電荷b的速度的大?。?/p>

圖7

解析:如圖7所示,該題中a、b兩個粒子分別從F點和E點出發并均經過G點,則分別連接FG和EG并延長,將它們看做直線邊界．a粒子入射時速度與邊界夾角為45°,根據帶電粒子進出直線邊界磁場時軌跡的對稱性可知,a粒子到達G點時速度與邊界夾角∠HGI也是45°(如圖5所示)進而得出G點速度方向水平向右．a粒子軌跡的圓心角θ=90°．b粒子到達G點時速度方向與a粒子相同,也是水平向右的,該速度與EG連線的夾角為30°,再次根據帶電粒子進出直線邊界磁場時軌跡的對稱性可知,b粒子從E點入射時速度方向與EG連線的夾角也是30°,它的運動軌跡所對應的圓心角θ1=60°．

(1) 設點電荷a的速度大小為v,由牛頓第二定律得

(1)

由(1)式得

(2)

設點電荷a做圓周運動的周期為T,有

(3)

如圖7,O和O1分別是a和b的圓軌道的圓心．設a在磁場中偏轉的角度為θ,b在磁場中偏轉的角度為θ1,由幾何關系得

θ=90°,θ1=60°.

(4)

故a從開始運動到經過G點所用的時間t為

(5)

(2) 設點電荷b的速度大小為v1,軌道半徑為R1,依題意有

(6)

由(6)式得

(7)

由于兩軌道在G點相切,所以過G點的半徑OG和O1G在同一直線上．由幾何關系和題給條件得

θ1=60°，R1=2R.

(8)

聯立(2),(4),(7),(8)式,解得

(9)

圖8

(1) 編號為①的粒子進入磁場區域的初速度大小;

(2) 編號為②的粒子在磁場區域內運動的時間;

圖9

(3) 編號為③的粒子在ED邊上飛出的位置與E點的距離．

解析: (1) 如圖9所示,設編號為①的粒子在正六邊形區域磁場中做圓周運動的半徑為r1,將AF看做直線邊界,初速度大小為v1,與AF夾角為60°,根據帶電粒子進出直線邊界磁場時軌跡的對稱性可知,軌跡所對應圓心角為120°．

(2) 設編號為②的粒子在正六邊形區域磁場中做圓周運動的半徑為r2,線速度大小為v2,周期為T2,則

將AE連線做為直線邊界,初速度與其夾角為30°,根據帶電粒子進出直線邊界磁場時軌跡的對稱性可知,運動軌跡所對應的圓心角為60°,則粒子在磁場中運動的時間

(3) 設編號為③的粒子在正六邊形區域磁場中做圓周運動的半徑為r3,由幾何關系可得

4 結束語

“帶電粒子在磁場中的運動”是高中物理的重點,其難點主要在于“幾何關系”的確定,包括圓心、角度、長度等．多數參考資料的試題講解部分對“幾何關系”的說明一帶而過,不能幫助學生突破難點．通過以上分析可以看到,“直線邊界”的構建可以幫助學生迅速撥開形狀各異的有界磁場帶來的“迷霧”,快速找到邊角關系,進而順利解決問題．