衛星微振動液阻隔振器建模與試驗研究

劉巧斌， 史文庫， 柯俊， 陳志勇,*， 曹飛， 閔海濤

(1. 吉林大學 汽車仿真與控制國家重點實驗室, 長春 130022; 2. 浙江理工大學 機械與自動控制學院, 杭州 310018)

衛星上所搭載的精密儀器設備經常處于低頻微幅的振動環境中。液體阻尼式隔振器(簡稱液阻隔振器)是一種廣泛應用于衛星微振動隔離的隔振裝置[1-5]。

建立準確、簡潔而物理意義清晰的隔振器模型，是進一步對隔振器進行性能預測、結構改進以及優化控制的基礎。國內外學者在液阻隔振器建模方面進行了大量的研究，建立了各式各樣的液阻隔振器模型，總體而言可以分為3類：第1類為質量-彈簧-阻尼元件模型，通過將隔振器等效為一些簡單的質量、彈簧和阻尼元件的串并聯，從而實現隔振器性能的仿真預測[6-8]；第2類為流體力學集中質量模型，通過建立流體力學模型，根據力學等效原理，將連續流體等效為集中質量，對液體阻尼的非線性特性進行分析[9-10]；第3類為流固耦合有限元模型，這種建模方法通過建立隔振器的流體-固體耦合作用的有限元分析模型，并在有限元模型中施加載荷激勵與提取響應，從而計算隔振器的動特性[11-12]。

分數階導數建模方法是介于第1類和第2類的新方法，這種建模方法來源于黏彈性材料的分數階本構模型。近年來，學者們引入分數階導數建立了隔振系統模型，取得了一系列成果[13-16]。分數階導數模型能夠在使用較少的參數條件下，實現對黏彈性材料宏觀力學性能的準確預測[17-19]，因此本文采用一種改進型分數階導數模型對波紋管式液阻隔振器進行建模，并通過試驗驗證模型的正確性。

1 隔振器結構和工作原理

本文所研究的隔振器是一種波紋管式液阻隔振器，主要用于衛星微振動的隔離。圖1為波紋管式液阻隔振器的結構示意圖。隔振器的主要承載功能由外部的金屬波紋管承擔，并通過金屬波紋管的彈性變形吸收振動能量，從而實現振動的隔離。此外，阻尼板上下的波紋管構成的液室在外部載荷的作用下，產生體積膨脹效應和活塞泵吸效應，這2個效應使得上下液室存在壓力差，在壓力差的作用下，液體通過阻尼通道來回振蕩運動，產生阻尼，消耗振動能量，實現沖擊振動的快速衰減。

圖1 波紋管式液阻隔振器結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of bellow type vibration isolator with hydraulic damping

在靜態載荷和動態載荷的作用下，波紋管式液阻隔振器呈現出不同的剛度和阻尼特性，其剛度阻尼特性具有明顯的隨激勵頻率變化的頻變特性和隨激勵振幅變化的幅變動特性。

2 改進型分數階導數模型

為了實現對波紋管式液阻隔振器頻變、幅變動特性的模擬，借鑒Pritz[16]所提出的五參數黏彈性材料本構關系模型，建立波紋管式液體阻尼隔振器的五參數分數階導數模型，在此基礎上，進行參數的幅值相關性修正，從而建立起可以同時進行頻變和幅變分析的改進型分數階導數模型。黏彈性材料的分數階導數本構關系模型為

(1)

式中：σ(t)為應力；ε(t)為應變；K0、K∞、τ、α和β分別為分數階導數本構關系模型的5個參數，可由時間的應力應變關系曲線的擬合獲得。

對式(1)進行拉普拉斯變換，獲得材料的微觀彈性模量表達式，將其推廣至宏觀上，可得復剛度表達式，即

(2)

圖2 復剛度、存儲剛度和損耗剛度三者之間的幾何關系Fig.2 Geometric relationship among complex stiffness, storage stiffness and loss stiffness

由式(2)的復剛度，進一度定義動剛度和滯后角的表達式分別為

(3)

(4)

式中：動剛度Kd的數值大小即為圖2中的對角線長度。

結合波紋管式液體阻尼隔振器的結構和實測動特性曲線，對式(2)的分數階導數模型進行改進，考慮幅變特性對5個參數的影響，將分數階導數模型改進為

k(s,x)=ks(x)+(k1(x)-

(5)

式中：引入幅變因子x，將式(2)中的初始動剛度K0，高頻動剛度K∞，時滯因子τ，分數階因子α和β這5個參數由不考慮幅變特性的常數改進為含幅變特性的ks(x)、k1(x)、τ(x)、α(x)和β(x)這5個幅變參數。

3 幅變動特性模型參數識別

為了進行分數階導數模型的參數識別，對波紋管式液阻隔振器進行動靜特性試驗。試驗在MTS 831.10彈性試驗機上進行。該試驗臺采用液壓伺服控制系統產生作動位移，位移激勵的最大振幅范圍為±50 mm，最大激振力為25 kN, 最大激振頻率為200 Hz。圖3(a)所示是試驗臺的示意圖，通過上下夾具將隔振器固定在試驗臺上，在夾具上下端分別布置有力傳感器，在下夾具下方設置有作動器，作動器通過液壓伺服系統產生所需的位移激勵。圖3(b)所示是動靜特性試驗臺的實物圖。通過在隔振器下端施加位移振動激勵載荷，在隔振器上方測量傳遞力，從而計算獲得實際的剛度和阻尼。在靜特性試驗時，分別采集位移激勵幅值最大值為0.1、0.5、1.0、1.5和2.0 mm的5組數據，獲得隔振器的位移-力滯回特性曲線，通過計算滯回曲線的斜率，即可得到隔振器的靜剛度。在動特性試驗時，分別施加位移振幅為0.1、0.2、0.4、0.6、0.8和1.0 mm，頻率為5～200 Hz的正弦掃頻位移激勵6組。由于試驗臺激振器作動頻率的限制，掃頻激勵最小頻率為5 Hz，掃頻頻率間隔為1 Hz。

圖3 隔振器動靜特性試驗臺示意圖和實物圖Fig.3 Schematic diagram and picture of dynamic and static characteristic testbed for vibration isolator

通過對比不同幅值的靜剛度滯回曲線，發現位移激勵對靜剛度的影響很小。為了研究的方便，忽略金屬波紋管靜剛度的幅變特性，在分數階導數模型中，令靜剛度ks為常數。圖4所示是位移激勵最大幅值為1 mm時的隔振器靜剛度特性曲線，根據試驗曲線擬合獲得靜剛度ks=18.12 N/mm。圖5所示是動特性掃頻試驗測得的隔振器被動端相對主動端的力傳遞率曲線，由圖可知，隨著位移激勵振幅的增加，隔振器的隔振性能下降，說明所研究的隔振器適用于微振動的隔離，對于大幅振動的隔離性能不如微幅振動。

根據試驗數據和式(3)～式(5)，通過調用MATLAB的nlinfit函數，采用非線性最小二乘法分別對試驗幅變動特性曲線的參數進行識別。圖6所示是模型參數識別的流程圖。識別獲得的不同幅值激勵下的分數階導數模型參數如表1所示。

分析表1的參數識別結果可知，4個參數呈現明顯的幅值相關性。通過曲線擬合發現，使用二次多項式可以對這4個參數的幅值相關性進行有效的擬合，擬合結果如表2所示。由相關系數可知，擬合值和最小二乘法參數識別結果的相關系數達到0.96以上，說明擬合效果很好。4個參數的幅值相關性的二次多項式擬合結果表達式分別為

圖4 隔振器靜特性曲線Fig.4 Static characteristic curve of vibration isolator

圖5 隔振器動特性試驗力傳遞率曲線Fig.5 Force transmissibility curves of vibration isolator in dynamic characteristic test

圖6 模型參數識別流程圖Fig.6 Flowchart of model parameter identification

幅值/mmk1/(N·mm-1)αβτ/s0.1120.1270.9180.9000.02610.2116.6510.9270.9020.03460.4103.6741.0921.0490.04440.697.3691.0941.0460.05730.894.4641.1411.0910.06061.093.9181.1321.0850.0639

表2 參數識別結果的二次多項式擬合

k1(x)=42.341x2-76.807x+128.456

(6)

α(x)=-0.426x2+0.721x+0.835

(7)

β(x)=-0.348x2+0.603x+0.829

(8)

τ(x)=-0.041x2+0.087x+0.018

(9)

圖7(a)～(d)所示分別是參數k1、α、β和τ的識別結果和擬合結果的對比。由圖可知，動態硬化剛度k1隨著激勵幅值的增大而減小，說明位移激勵的幅值越大，液體的高頻動態硬化現象越小；而參數α、β和τ隨著激勵幅值的增加而增大，說明激勵幅值增大，分數階導數的階次增加，液體阻尼增大，時滯增加，阻尼通道內的液柱共振頻率減小。以上結論和相關液阻減振器的幅變動特性研究結論相一致[20-21]，并與試驗結果相吻合，說明了理論建模和參數識別結果的可靠性。

聯合式(5)～式(9)，用提出的改進型分數階導數模型對隔振器的動特性進行仿真，并與實測數據進行對比，圖8是在幅值為0.2、0.6和1.0 mm時采用改進型分數階導數模型的仿真結果與實測動剛度和滯后角的對比。由仿真結果與實測結果的對比可知，采用改進型分數階導數模型可以對波紋管式液阻隔振器的幅變、頻變動特性進行準確的描述。實測動剛度曲線由于夾具和激振器的條件限制，存在一些噪聲干擾，因此在數值上出現一些波動。

圖7 參數k1、α、β和τ識別結果與擬合結果對比Fig.7 Comparison between identified and fitting results of parameter k1,α,β and τ

圖8 不同幅值的動剛度和滯后角仿真與試驗曲線對比Fig.8 Comparison of simulation and experimental dynamic stiffness and loss angle curves with different amplitudes

4 參數影響分析

為分析分數階導數模型的主要模型參數對隔振器動特性曲線的影響。采用控制變量方法分別研究模型中5個參數分別相對初始參數變化0.8～1.2倍時相應的動特性曲線的變化情況。

圖9所示是高頻動剛度k1對動剛度和滯后角的影響,k10為初始值，由圖可知，隨著k1的增加，動剛度和滯后角增加，此外，k1主要影響高頻動剛度和峰值滯后角的數值。

圖10所示是靜剛度ks對動剛度和滯后角的影響，ks0為初始值，由圖可知，ks主要影響動剛度曲線的低頻段和滯后角曲線的峰值，隨著ks的增加，低頻動剛度增大，滯后角峰值減小。

圖9 參數k1對動剛度和滯后角的影響Fig.9 Influence of parameter k1 on dynamic stiffness and loss angle

圖10 參數ks對動剛度和滯后角的影響Fig.10 Influence of parameter ks on dynamic stiffness and loss angle

圖11所示是分數階導數的分子階次α和分母階次β對動剛度和滯后角的影響，α0和β0為初始值。由圖可知，這2個參數控制了隔振器動特性曲線的液柱共振區，分數階因子α和β的數值越大，液柱共振區間范圍的動剛度和滯后角越大，動剛度曲線的斜率越大，滯后角峰值越高，說明液體阻尼的慣性效應越明顯。當分數階次因子為1時，分數階模型轉化為線性速度阻尼系統，系統阻力主要與位移的導數成正比；而分數階次因子為2時，系統轉化為質量慣性系統，系統阻力主要與位移的二階導數成正比。對于本文所研究的黏彈性液阻隔振器，分數階因子介于1和2之間，在激勵幅值小時，由于彈性力的影響更明顯，分數階因子出現略小于1的現象，與表1所示的參數識別結果所揭示的規律相一致。

圖12所示是時滯因子τ對動剛度曲線和滯后角的影響，τ0為初始值。由圖可知，τ改變后，曲線沿橫坐標平移，說明時滯因子τ主要表征阻尼通道中液柱的共振頻率，隨著時滯的增加，共振頻率減小，曲線整體左移。

圖11 參數α和β對動剛度和滯后角的影響Fig.11 Influence of parameter α and β on dynamic stiffness and loss angle

圖12 參數τ對動剛度和滯后角的影響Fig.12 Influence of parameter τ on dynamic stiffness and loss angle

5 結 論

本文在分析了某衛星微振動液阻隔振器結構和工作原理的基礎上，建立了隔振器改進型分數階導數模型，對隔振器的幅變、頻變動特性進行仿真，并與實測動特性曲線進行對比，驗證了所提出的模型的正確性，可為類似微振動隔振器的動特性建模提供參考。主要結論如下：

1) 微振動液阻隔振器具有頻變特性，在液柱共振時，隔振器動剛度和阻尼角出現峰值，從而可以提高隔振器衰減大幅振動的能力。

2) 微振動液阻隔振器具有明顯的幅變特性，隨著激勵振幅的增加，分數階的階次因子逐漸增大，時滯因子逐漸增大，動態硬化等效線剛度逐漸減小，可采用二次多項式對分數階導數動特性模型的參數幅變相關性進行擬合。

3) 由分數階導數模型的參數影響分析結果可知，液阻隔振器的靜剛度ks主要影響動剛度曲線的起點和滯后角曲線的峰值；動態硬化等效線剛度k1主要影響動剛度曲線的高頻段和滯后角曲線的峰值；分數階因子α和β共同決定了動剛度特性曲線共振區斜率和峰值頻率；時滯因子τ主要影響動特性曲線液柱共振峰值頻率點的位置。