高空太陽能無人機(jī)三維航跡優(yōu)化

王少奇， 馬東立， 楊穆清， 張良

(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100083)

近年來，能源危機(jī)和環(huán)境污染已經(jīng)成為人類社會(huì)面臨的主要挑戰(zhàn)。太陽能無人機(jī)依靠鋪設(shè)在機(jī)翼表面的太陽能電池將太陽輻射能轉(zhuǎn)化為電能，通過電機(jī)驅(qū)動(dòng)螺旋槳產(chǎn)生前進(jìn)動(dòng)力，具有可持續(xù)、無污染的特點(diǎn)。高空太陽能無人機(jī)能夠在平流層飛行數(shù)天乃至數(shù)月，可以廣泛應(yīng)用于遙感、偵察、通信等諸多領(lǐng)域，成為近年來各國(guó)研究的熱點(diǎn)[1-3]。

目前，太陽能無人機(jī)晝夜閉環(huán)飛行高度和載荷能力的進(jìn)一步提升主要受太陽能電池效率和儲(chǔ)能電池能量密度等因素的制約[4]。這些子系統(tǒng)技術(shù)水平的提升需要投入大量時(shí)間和經(jīng)濟(jì)成本。而由于能源系統(tǒng)的特殊性，飛行航跡優(yōu)化為提升高空太陽能無人機(jī)飛行性能和載荷能力提供了一個(gè)重要途徑，應(yīng)當(dāng)引起足夠的重視[5]。

國(guó)內(nèi)外針對(duì)太陽能無人機(jī)飛行航跡優(yōu)化的措施主要集中在2個(gè)方面。一是通過改變無人機(jī)飛行姿態(tài)，增加凈吸收能量。Klesh和Kabamba[6-7]利用極大值原理給出了水平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)飛行任務(wù)最優(yōu)航跡的解析解。Spangelo和Gilbert[8-9]采用周期性樣條函數(shù)來表示航跡，研究了短時(shí)間小半徑盤旋時(shí)的最優(yōu)航跡。Ma等[10]推導(dǎo)了最優(yōu)轉(zhuǎn)彎過程的必要條件，并進(jìn)一步得到了轉(zhuǎn)彎過程中的最優(yōu)滾轉(zhuǎn)角控制率。Dai[11]考慮了天氣因素，結(jié)合圖譜法和Bellman-Ford搜索算法，研究了低空水平飛行的航跡規(guī)劃問題。在此基礎(chǔ)上，Vasisht、Mesbahi[12]和Wu等[13-14]針對(duì)地面目標(biāo)追蹤、多機(jī)聯(lián)合監(jiān)視等特殊任務(wù)開展了航跡優(yōu)化。在這些研究中，無人機(jī)的運(yùn)動(dòng)限定在二維水平面內(nèi)。另一個(gè)措施是通過改變飛行高度，利用重力儲(chǔ)能代替部分儲(chǔ)能電池的作用。Gao等[15-17]采用高斯偽譜法研究了下滑過程的最優(yōu)航跡，分析了重力儲(chǔ)能和二次電池的等價(jià)性，并提出了一種晝夜閉環(huán)能量管理策略。Xu等[18]基于鋰電池的充放電特性，提出了相似的飛行策略。在這些研究中，無人機(jī)的運(yùn)動(dòng)限定在二維鉛垂平面內(nèi)。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)太陽能無人機(jī)航跡優(yōu)化的研究已經(jīng)取得了很大進(jìn)展。但同時(shí)采取上述2種措施對(duì)高空太陽能無人機(jī)在三維運(yùn)動(dòng)時(shí)的航跡優(yōu)化研究還鮮見相關(guān)文獻(xiàn)資料。

本文建立了高空太陽能無人機(jī)三維航跡優(yōu)化模型，研究同時(shí)利用改變飛行姿態(tài)和飛行高度2種措施來提升飛行性能的效果。采用高斯偽譜法離散狀態(tài)方程和約束方程，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題。針對(duì)典型的點(diǎn)到點(diǎn)飛行任務(wù)，以儲(chǔ)能電池剩余電量為目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化得到了能量最優(yōu)飛行航跡，并與常規(guī)定高定速航跡進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 航跡優(yōu)化建模

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

假設(shè)無人機(jī)具有縱向?qū)ΨQ平面，如圖1所示。無風(fēng)條件下的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中：x、y、z為地面坐標(biāo)系下的無人機(jī)位置坐標(biāo)；V為空速；γ為爬升角；χ為航跡偏角；φ為滾轉(zhuǎn)角；m為無人機(jī)質(zhì)量；g為重力加速度；L、D和T分別為升力、阻力和螺旋槳推力。阻力和螺旋槳推力平行于速度方向，升力垂直于速度方向。地面坐標(biāo)系Og-XgYgZg和機(jī)體坐標(biāo)系Ob-XbYbZb的定義如圖1所示。

升力L和阻力D可以表示為

(2)

式中：ρ為空氣密度；S為機(jī)翼面積；CL和CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)。

圖1 地面坐標(biāo)系和機(jī)體坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Schematic diagram of earth-fixed coordinate system and aircraft body-fixed coordinate system

CL、CD受翼型、迎角α和雷諾數(shù)Re的影響，通過式(3)計(jì)算，式中系數(shù)Aij、Bij通過計(jì)算流體力學(xué)(Computational Fluid Dynamics，CFD)方法得到，數(shù)值見表1和表2。

(3)

飛行高度越高，偵察范圍越廣，對(duì)z坐標(biāo)作如下限制。

z≥Hmin

(4)

式中：Hmin為執(zhí)行任務(wù)所允許的最低飛行高度，取15 km。

表1 系數(shù)Aij的值Table 1 Value of coefficients Aij

表2 系數(shù)Bij的值

1.2 能源系統(tǒng)模型

1.2.1 太陽能電池模型

對(duì)于高空太陽能無人機(jī)，因其大部分時(shí)間飛行在云層之上，可以忽略云層的遮擋。太陽能電池輸出電功率Psc為

Psc=PsdSscηscηMPPTcosκ

(5)

式中：Psd為太陽光譜密度；Ssc為太陽能電池面積；ηsc為太陽能電池效率；ηMPPT為最大功率點(diǎn)跟蹤(Maximum Power Point Tracking，MPPT)控制器效率；κ為太陽入射角。

太陽入射角κ可以表示為

(6)

太陽能電池板單位法向量在地面坐標(biāo)系中可表示為

(7)

入射光線單位向量在地面坐標(biāo)系中可表示為

(8)

式中：αe和αa分別為太陽高度角和方位角，可通過式(9)確定。

(9)

式中：Φ為當(dāng)?shù)鼐暥龋沪臑樘柍嗑暎沪豻為太陽時(shí)角；nd為一年中的日子數(shù)(從1月1日開始計(jì))；th為真太陽時(shí)。

1.2.2 儲(chǔ)能電池模型

鋰硫(Li-S)電池能量密度較高，具有作為太陽能無人機(jī)二次電源的應(yīng)用前景[19]，其充電速率可以表示為[20]

(10)

式中：VOC為開路電壓；RI為電池內(nèi)阻；QB為電池容量；PB為電池放電功率；SOC表示儲(chǔ)能電池的電量狀態(tài)，定義為當(dāng)前電量與最大電量的比值。

為使Li-S電池具有更長(zhǎng)的循環(huán)壽命，將SOC的值限制在如下范圍：

0.25≤SOC≤0.9

(11)

1.2.3 功率消耗模型

太陽能無人機(jī)的功率消耗部件包括電機(jī)和機(jī)載電子設(shè)備，其中機(jī)載電子設(shè)備的功率相對(duì)較小，在本文中忽略。電機(jī)提取功率為

(12)

式中：ηm為電機(jī)效率；ηp為螺旋槳效率。ηp受螺旋槳前進(jìn)比λ和特征雷諾數(shù)Rep的影響，通過式(13)計(jì)算。

(13)

式中：系數(shù)Cij由CFD方法得到，數(shù)值見表3，λ和Rep的定義分別如式(14)和式(15)所示。

表3 系數(shù)Cij的值Table 3 Value of coefficients Cij

(14)

(15)

式中：Dp為螺旋槳直徑；n為轉(zhuǎn)速；c0.75R為槳葉75%半徑處的當(dāng)?shù)叵议L(zhǎng)；μ為空氣動(dòng)力黏性系數(shù)。

電機(jī)提取功率需滿足：

Pm-Psc-PB≤0

(16)

1.3 優(yōu)化問題描述

以α、φ、PB、T為控制變量，以任務(wù)結(jié)束時(shí)刻儲(chǔ)能電池的電量狀態(tài)SOCf為目標(biāo)函數(shù)，高空太陽能無人機(jī)三維飛行航跡優(yōu)化問題可以描述為最優(yōu)控制問題，即

(17)

并滿足式(1)、式(10)組成的狀態(tài)方程，同時(shí)滿足式(4)、式(11)和式(16)組成的過程約束條件。

2 離散方法

第1節(jié)中的最優(yōu)控制問題的時(shí)間區(qū)間定義在[t0,tf]，經(jīng)式(18)變換到[-1,1]。

(18)

以N階Legendre-Gauss多項(xiàng)式GN(τ)的零點(diǎn)τ={τ1,τ2,…,τN}作為配點(diǎn)，τ分布在區(qū)間(-1, 1)上，添加τ0=-1，以τ*={τ0,τ1,…,τN}作為離散點(diǎn)。

(19)

以N+1階Lagrange插值多項(xiàng)式Li(τ)作為基函數(shù)，將狀態(tài)變量近似為

(20)

式中：

(21)

類似地，將控制變量近似為

(22)

式中：

(23)

將狀態(tài)變量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)近似為

(24)

式中:k=1, 2, …,N。

初始時(shí)刻狀態(tài)變量滿足：

X(-1)=x0

(25)

結(jié)束時(shí)刻狀態(tài)變量X(1)采用高斯積分估計(jì)：

X(1)=X(-1)+

(26)

式中：Ak為高斯積分系數(shù)，可表示為

(27)

通過采用高斯偽譜法，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化成為非線性規(guī)劃問題，待優(yōu)化參數(shù)為：x(τi),i=0,1,…,N和u(τi),i=1,2,…,N。

3 優(yōu)化結(jié)果分析

3.1 仿真參數(shù)

高空太陽能無人機(jī)參數(shù)見表4，各部件的能量轉(zhuǎn)換效率見表5。考慮一種典型的點(diǎn)到點(diǎn)飛行任務(wù)，即從指定的初始點(diǎn)出發(fā)，在給定的時(shí)間到達(dá)指定的終點(diǎn)。假設(shè)無人機(jī)在北京(39.9°N)上空飛行，日期為3月21日，太陽光譜密度為1 352 W/m2。初始時(shí)刻為0 h，初始時(shí)刻無人機(jī)位置坐標(biāo)為[0 0 0]Tm，儲(chǔ)能電池電量狀態(tài)SOC0=0.6；結(jié)束時(shí)刻為24 h，結(jié)束時(shí)刻無人機(jī)位置坐標(biāo)為[0 0 0]Tm。

表4 高空太陽能無人機(jī)基本參數(shù)Table 4 Basic parameters of high-altitude solar-powered UAV

表5 各部件能量轉(zhuǎn)換效率

3.2 結(jié)果分析

作為對(duì)比，首先給出一種常規(guī)飛行航跡。在這種航跡中，無人機(jī)以有利速度在任務(wù)允許的最低高度定高定速飛行。其能量管理策略為：

1) 當(dāng)Psc=0且SOC>0.25時(shí)，令PB=Pm。

2) 當(dāng)Psc>0且0.25≤SOC<0.9時(shí)，令PB=Pm-Psc。

3) 當(dāng)Psc>0且SOC=0.9時(shí)，令PB=0。

取配點(diǎn)數(shù)量N為50，優(yōu)化得到能量最優(yōu)航跡，與常規(guī)航跡的仿真結(jié)果對(duì)比見表6。與常規(guī)航跡相比，優(yōu)化航跡能使儲(chǔ)能電池剩余電量提高18.8%，相當(dāng)于可以使儲(chǔ)能電池重量減小6.5 kg。這些重量可以省掉，也可以分配給任務(wù)載荷，將使得飛行性能進(jìn)一步提高。此外，結(jié)果顯示SOCf>SOC0，這意味著無人機(jī)可以在儲(chǔ)能電池剩余電量不減小的前提下完成下一個(gè)晝夜循環(huán)，使數(shù)天乃至數(shù)月的超長(zhǎng)航時(shí)飛行成為可能。

圖2給出了常規(guī)航跡和優(yōu)化航跡對(duì)應(yīng)的太陽能電池輸出電功率Psc、儲(chǔ)能電池放電功率PB及電機(jī)提取功率Pm曲線。根據(jù)優(yōu)化航跡的特點(diǎn)，將其分為4個(gè)階段。在常規(guī)飛行航跡中，Psc的最大值為4 189 W，出現(xiàn)在t=12 h。而在優(yōu)化航跡中，通過改變飛行姿態(tài)，Psc得到提高，其最大值為4 344 W，出現(xiàn)在t=12.9 h。在整個(gè)晝夜循環(huán)里，優(yōu)化航跡使太陽能無人機(jī)的凈吸收能量提高了9.2%。

表6 仿真結(jié)果對(duì)比Table 6 Comparison of simulation results

圖2 常規(guī)航跡及優(yōu)化航跡功率Fig.2 Power of common flight path and optimized flight path

在常規(guī)航跡中，無人機(jī)定高定速飛行，電機(jī)提取功率始終為1 104 W。而在優(yōu)化航跡中，自t=12.9 h開始，電機(jī)提取功率增大至和太陽能電池輸出電功率一致。當(dāng)12.9 h

常規(guī)航跡與優(yōu)化航跡在水平面的投影如圖3所示。

階段①：定高巡航

由于Psc=0 W，常規(guī)航跡和優(yōu)化航跡都旨在使功率消耗最小化，因而在這一階段中，2種航跡的狀態(tài)變量和控制變量幾乎相同。如圖4所示，無人機(jī)在任務(wù)允許的最低高度(15 km)以平飛最小功率對(duì)應(yīng)的有利速度(23.3 m/s)飛行。迎角始終為1.5°，航跡傾角始終為0°，分別見圖5(a)和圖5(b)。螺旋槳推力約為34.4 N，儲(chǔ)能電池放電功率為1 104 W。

圖3 航跡在x-y平面內(nèi)的投影對(duì)比Fig.3 Comparison of flight path projection on x-y plane

圖4 常規(guī)航跡與優(yōu)化航跡的飛行高度及飛行速度對(duì)比Fig.4 Comparison of flight altitude and velocity between common and optimized flight path

為了盡可能降低需用功率，滾轉(zhuǎn)角本應(yīng)為0°。但為了滿足結(jié)束時(shí)刻的邊界條件，同時(shí)為了在下一階段獲取更多的能量，無人機(jī)維持較小但不為0°的滾轉(zhuǎn)角以改變航向(見圖5(a))。在該階段結(jié)束時(shí)刻，航跡偏角約為180°，如圖5(b)所示。

該階段結(jié)束的標(biāo)志為：Psc>0。

階段②：平飛充電

與階段①相似，無人機(jī)依舊在任務(wù)允許的最低高度(15 km)以平飛最小功率對(duì)應(yīng)的有利速度(23.3 m/s)飛行，如圖4所示。當(dāng)Psc>Pm時(shí)，利用剩余功率給儲(chǔ)能電池充電。隨著Psc逐漸增大，當(dāng)t=12 h時(shí)，達(dá)到最大充電功率3 179 W，如圖2(b)所示。

為了增加太陽能電池板吸收功率，無人機(jī)以較小的滾轉(zhuǎn)角來改變航向，通過這一方式，太陽能電池獲取的能量提高了0.99 kW·h。

該階段結(jié)束的標(biāo)志為：SOC達(dá)到最大值0.9，如圖6所示。

圖5 常規(guī)航跡與優(yōu)化航跡的迎角、滾轉(zhuǎn)角、航跡傾角和航跡偏角對(duì)比Fig.5 Comparison of angle of attack, roll angle, flight path angle and heading angle between common and optimized flight path

階段③：爬升飛行

由于儲(chǔ)能電池已經(jīng)充滿電，無人機(jī)利用剩余功率爬升，初始爬升率為1.5 m/s，初始爬升角為3.6°。隨著Psc的減小及Pm的增大，爬升率逐漸減小，在t=15.7 h時(shí)刻，爬升率減小至0 m/s，無人機(jī)到達(dá)最大高度(22.6 km)。在爬升過程中，飛行速度接近于當(dāng)前高度對(duì)應(yīng)的有利速度。爬升過程持續(xù)2.8 h，無人機(jī)利用7.6 km的高度差儲(chǔ)存了2.7 kW·h的重力勢(shì)能。

值得注意的是，飛行高度越高，平飛需用功率越大，在總太陽能一定的情況下，飛行需用功率越小，剩余功率越大。因此，為了使儲(chǔ)能電池剩余電量最大化，應(yīng)在充滿電之后再爬升，而不是爬升到一定高度之后再充電。

和階段②類似，通過調(diào)整滾轉(zhuǎn)角和航跡偏角，使得太陽能電池獲取的能量增大了1.54 kW·h。

該階段結(jié)束的標(biāo)志為：剩余功率為0 W。

圖6 常規(guī)航跡與優(yōu)化航跡的儲(chǔ)能電池電量狀態(tài)對(duì)比Fig.6 Comparison of battery pack state of charge between common and optimized flight path

階段④：下降階段

太陽能不足以維持在當(dāng)前高度繼續(xù)平飛，無人機(jī)開始下降。在日落前，無人機(jī)保持有動(dòng)力下降，充分利用太陽能以爭(zhēng)取盡可能長(zhǎng)的下降時(shí)間，在這段時(shí)間里，通過改變飛行姿態(tài)，太陽能電池獲取的能量提高了0.38 kW·h。在日落之后，利用重力勢(shì)能無動(dòng)力下滑。整個(gè)下降過程持續(xù)3.6 h。

該階段結(jié)束的標(biāo)志為：無人機(jī)到達(dá)任務(wù)允許的最低高度。

在階段④結(jié)束后，階段①重新開始，形成一個(gè)完整的循環(huán)。

在階段③和階段④，無人機(jī)存儲(chǔ)并利用重力勢(shì)能，代替了部分儲(chǔ)能電池的作用。在這4 個(gè)階段里，無人機(jī)不斷調(diào)整滾轉(zhuǎn)角和航跡偏角以滿足結(jié)束時(shí)刻的邊界條件，更重要的是通過這種方式，太陽能電池吸收功率得到了提高。

4 結(jié) 論

本文提出了高空太陽能無人機(jī)三維航跡優(yōu)化方法，針對(duì)一種典型的點(diǎn)到點(diǎn)飛行任務(wù)進(jìn)行了航跡優(yōu)化，并與常規(guī)定高定速航跡進(jìn)行了對(duì)比。主要結(jié)論如下：

1) 高斯偽譜法適用于高空太陽能無人機(jī)航跡優(yōu)化問題。

2) 通過調(diào)整飛行姿態(tài)，可以使高空太陽能無人機(jī)的凈吸收能量提高9.2%。

3) 結(jié)合調(diào)整飛行姿態(tài)和改變飛行高度兩種措施能夠獲得更大的能量?jī)?yōu)勢(shì)，使儲(chǔ)能電池剩余電量提高18.8%。

4) 為了使儲(chǔ)能電池剩余電量最大化，應(yīng)在儲(chǔ)能電池充滿電之后再爬升。