端部帶質(zhì)量和彈簧約束懸臂梁振動(dòng)響應(yīng)的解析解

馬斌捷， 周書濤， 賈亮， 侯傳濤， 榮克林

(北京強(qiáng)度環(huán)境研究所, 北京 100076)

運(yùn)載火箭在垂直轉(zhuǎn)運(yùn)過程和發(fā)射前會(huì)受到地面風(fēng)產(chǎn)生的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)載荷作用，增加防風(fēng)減載結(jié)構(gòu)后，火箭根部的彎矩載荷可以大大降低。此時(shí)，火箭的受力狀態(tài)與受到橫向分布載荷作用懸臂梁的振動(dòng)響應(yīng)類似，可以利用等截面懸臂梁的振動(dòng)響應(yīng)解析研究結(jié)果來指導(dǎo)火箭的受力分析和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。連續(xù)體振動(dòng)響應(yīng)的解析解是否能得到，主要取決于其運(yùn)動(dòng)方程和邊界條件的復(fù)雜性。對(duì)于桿、軸、弦、膜等具有二階導(dǎo)數(shù)運(yùn)動(dòng)方程的振動(dòng)系統(tǒng)，其振型均為三角函數(shù)的線性組合，對(duì)應(yīng)的廣義質(zhì)量和廣義力可以通過解析積分獲得，存在完備的振動(dòng)響應(yīng)解析解[1]。對(duì)于梁、板等具有四階導(dǎo)數(shù)運(yùn)動(dòng)方程的振動(dòng)系統(tǒng)，有顯式或隱式特征方程，能得到特征根，但其振型為三角函數(shù)和雙曲函數(shù)的線性組合，在全簡支邊界條件下振型退化為三角函數(shù)的線性組合時(shí)，存在振動(dòng)響應(yīng)的解析解，在其他邊界條件下的振動(dòng)響應(yīng)解析解尚未見報(bào)道[1]。對(duì)于具有雙四階或八階導(dǎo)數(shù)運(yùn)動(dòng)方程的殼體振動(dòng)問題，存在眾多對(duì)應(yīng)不同假設(shè)的振動(dòng)理論，其特征值的解比較繁雜，不便于工程使用與分析，并且其振動(dòng)響應(yīng)的解析解不存在[2-4]。

懸臂梁的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與附加質(zhì)量大小、位置、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和支撐剛度等諸多因素密切相關(guān)，國內(nèi)外的眾多學(xué)者對(duì)此開展了大量的研究，但僅限于研究各種因素對(duì)懸臂梁振型和頻率的影響，很少進(jìn)一步研究這些因素對(duì)懸臂梁振動(dòng)響應(yīng)的影響。在考慮附加質(zhì)量大小和位置的影響方面，尹傳家和黃懷德[5]、劉樹林等[6]給出了端部帶質(zhì)量約束懸臂梁的特征值解；Wang等[7]根據(jù)達(dá)朗貝爾原理將懸臂梁端部的集中質(zhì)量等效為慣性力和慣性力矩，數(shù)值和實(shí)驗(yàn)研究了不同位置參數(shù)下梁的頻率和位移響應(yīng)；陸海桃和仝艷文[8]采用試驗(yàn)測量和有限元仿真相結(jié)合的方法，研究了集中質(zhì)量的大小和位置對(duì)懸臂梁固有頻率的影響規(guī)律；陳娟娟和劉杰[9]建立了帶懸掛小球和擺桿豎直懸臂梁的動(dòng)力學(xué)模型，分析了小球和擺桿質(zhì)量對(duì)結(jié)構(gòu)一階模態(tài)的影響；楊一柳等[10]推導(dǎo)了雙橋臂硅微懸臂梁諧振頻率的解析式，研究了質(zhì)量塊長度對(duì)微懸臂梁諧振頻率的影響；趙存生等[11]根據(jù)附加質(zhì)量塊的移動(dòng)改變懸臂梁頻率的原理，研制了懸臂梁動(dòng)力吸振器。在考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響方面，Swaminadham和Michael[12]推導(dǎo)了考慮端部集中質(zhì)量平動(dòng)(剪切)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的懸臂梁的頻率方程，獲得了不同質(zhì)量比和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比時(shí)梁的前五階頻率值；王棟[13]建立了考慮集中質(zhì)量平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的懸臂梁的頻率特征方程，數(shù)值分析了集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性對(duì)梁的頻率、振型以及靈敏度的影響；Lajimi和Heppler[14]建立了考慮端部集中質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的歐拉梁的特征方程，并計(jì)算了不同參數(shù)下梁的頻率。在考慮支撐剛度的影響方面，楊帥和王太勇[15]建立了懸臂梁在豎直方向?yàn)閺椥约s束時(shí)的特征方程，并數(shù)值研究了梁的前三階固有頻率隨約束剛度變化的規(guī)律。另外，蔡國平和洪嘉振[16]考慮梁橫向變形引起的軸向變形的二次耦合量，研究了附加質(zhì)量對(duì)中心剛體-懸臂梁系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響；閆安志等[17]實(shí)驗(yàn)研究了動(dòng)質(zhì)量對(duì)懸臂梁共振響應(yīng)的抑制效果；夏季等[18]獲得了帶多個(gè)集中質(zhì)量和彈性支承等截面均質(zhì)梁的振型函數(shù)，并建立了帶集中質(zhì)量簡支梁和懸臂梁、跨中帶彈性支承簡支梁的特征方程；閆安志[19]和郭金泉[20]等考慮了裂紋深度和裂紋位置對(duì)懸臂梁系統(tǒng)固有頻率的影響。

等直梁振動(dòng)響應(yīng)分析除兩端均為簡支邊界時(shí)有解析解外，僅對(duì)于一端為固支、另一端分別為簡支、固支和自由的3種等直梁有半解析解，對(duì)此Timoshenko等[1]依據(jù)Young和Felgar[21]給出的各種邊界條件下的振型數(shù)值表，給出了集中力作用下的振動(dòng)響應(yīng)解。該振型表是通過數(shù)值方法將廣義質(zhì)量歸一化，給出振型和各階導(dǎo)數(shù)分布的數(shù)值結(jié)果。對(duì)于除兩端簡支以外其他邊界條件的等直梁，其振型函數(shù)為含有雙曲函數(shù)和三角函數(shù)的四項(xiàng)多項(xiàng)式。Timoshenko等[1]認(rèn)為計(jì)算其分布力的廣義力存在數(shù)學(xué)上的困難，因而未給出相應(yīng)的解析解。但在數(shù)學(xué)手冊(cè)中雙曲函數(shù)與線性函數(shù)的乘積以及三角函數(shù)與冪函數(shù)的乘積均有解析積分式，因而可以得到均布力和線性分布力的廣義力的解析積分結(jié)果[22-23]。廣義質(zhì)量與廣義剛度分別是對(duì)振型函數(shù)與振型曲率的平方進(jìn)行積分，其被積函數(shù)包括10項(xiàng)，為2項(xiàng)三角函數(shù)與2項(xiàng)雙曲函數(shù)的二次展開式。該函數(shù)的積分是振動(dòng)響應(yīng)分析中最為繁雜的推導(dǎo)過程，是難于獲得相應(yīng)解析結(jié)果的主要原因。但由于雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的二次乘積均存在解析積分結(jié)果[22-23]，因此對(duì)于除兩端簡支以外的其他邊界條件，無論等直梁受集中力、均布力或是線性分布力作用，其振動(dòng)響應(yīng)的解析解均可獲得，只是表達(dá)式的形式比較繁瑣。

考慮到火箭減載結(jié)構(gòu)主要提供質(zhì)量和剛度約束效應(yīng)，為研究減載結(jié)構(gòu)的效果與設(shè)計(jì)方法，本文首先推導(dǎo)了帶質(zhì)量和彈簧約束懸臂梁的特征方程，并分析了不同附加質(zhì)量和彈簧剛度對(duì)固有頻率和彎曲振型的影響。其次根據(jù)特征值條件，創(chuàng)新性地提出了特征變換方法，將各階廣義質(zhì)量拆分為50%的廣義質(zhì)量與50%的廣義剛度除以固有頻率平方之和，化簡了廣義質(zhì)量積分的求解過程，獲得了帶約束懸臂梁廣義質(zhì)量和廣義剛度的解析解，并驗(yàn)證了廣義質(zhì)量推導(dǎo)結(jié)果的正確性。最后給出了均布力作用下帶約束懸臂梁振動(dòng)響應(yīng)的解析解，分析了根部彎矩、端部位移、速度和加速度放大系數(shù)的變化特征，總結(jié)了附加質(zhì)量和彈簧剛度對(duì)減載效果的影響規(guī)律，并據(jù)此給出了火箭減載結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的建議。

本文通過特征變換方法，得到了不同質(zhì)量和彈簧約束懸臂梁的振動(dòng)響應(yīng)解析解，豐富了結(jié)構(gòu)振動(dòng)理論，提供了便于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的參數(shù)化分析方法。采用本文的解析方法可以連續(xù)分析設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)可直接獲得設(shè)計(jì)結(jié)果。而采用有限元方法需要建立各個(gè)參數(shù)取不同數(shù)值時(shí)的多個(gè)模型，間斷分析各參數(shù)對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律；進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)需要反復(fù)進(jìn)行有限元模型的重構(gòu)與迭代，優(yōu)化效率和效果低于解析方法。

1 端部帶質(zhì)量和彈簧約束懸臂梁的模態(tài)

等直梁橫向彎曲振動(dòng)的位移通解w(x,t)為[1]

(1)

如圖1所示，受均布正弦載荷psin(ωt)作用、端部帶質(zhì)量M和彈簧(剛度系數(shù)為K)約束的懸臂梁，其邊界條件為

圖1 端部約束懸臂梁的振動(dòng)示意圖Fig.1 Vibration schematic of cantilever beam with tip constraints

(2)

(3)

(4)

由固支端邊界條件(式(2))可以確定：

(5)

由式(3)可得

(6)

(7)

1+cosλncoshλn+λn(cosλnsinhλn-

sinλncoshλn)/η=0

(8)

式(8)即為懸臂梁端部只有附加質(zhì)量M時(shí)的特征方程，與Swaminadham和Michael[12]、王棟[13]、夏季等[18]所獲得的結(jié)果一致。

將式(7)中的三角函數(shù)和雙曲函數(shù)分別進(jìn)行三階泰勒展開，化簡后可以得到特征值的近似特征方程為

(9)

由式(9)可以看出，當(dāng)附加質(zhì)量M增大時(shí)，η減小，導(dǎo)致λn減小，即梁的固有頻率ωn降低；當(dāng)附加彈簧剛度K增大時(shí)，ζ減小，導(dǎo)致λn增大，即梁的固有頻率ωn增大。由此可知，對(duì)端部帶質(zhì)量和彈簧約束的懸臂梁而言，附加質(zhì)量的增大降低結(jié)構(gòu)的固有頻率，此規(guī)律與Swaminadham和Michael[12]的數(shù)值結(jié)果規(guī)律一致；附加彈簧剛度的增大提高結(jié)構(gòu)的固有頻率。

特征方程式(7)的根可用數(shù)值方法求解。表1分別給出了梁在懸臂端無約束、有不同附加質(zhì)量和彈簧約束時(shí)的特征值，其中硬、中等和軟彈簧的剛度比分別取為ζ=0.03、ζ=0.1和ζ=0.3，大、中等和小質(zhì)量的質(zhì)量比分別取為η=0.2、η=0.5和η=2。

從表1可以看出：①對(duì)于一階固有頻率而言，只有梁懸臂端帶硬彈簧和小質(zhì)量約束時(shí)的特征值(見表1中黑體數(shù)據(jù))高于無約束時(shí)的特征值，且?guī)к洀椈珊痛筚|(zhì)量的特征值(見表1中黑體數(shù)據(jù))明顯低于無約束時(shí)的特征值，其他3種狀態(tài)的特征值均略低于且較接近無約束時(shí)的特征值。②對(duì)于二階以上固有頻率而言，梁懸臂端帶彈簧和質(zhì)量時(shí)的特征值均低于無約束時(shí)的特征值，彈簧硬度和附加質(zhì)量對(duì)同階固有頻率的影響很小，小質(zhì)量的頻率略高，中等以上質(zhì)量的頻率略低。③附加彈簧剛度的增大只能提高低頻段的固有頻率，并且附加質(zhì)量不能過大，附加彈簧剛度不能過小。④附加質(zhì)量降低高低頻段的固有頻率，并且降低程度隨著階數(shù)的增加而變小。⑤在高頻段由于以慣性力為主，附加彈簧的影響降低。因此，質(zhì)量效應(yīng)對(duì)固有頻率的影響高于彈簧效應(yīng)。

表1 端部帶不同質(zhì)量和彈簧約束懸臂梁的特征值λnTable 1 Eigenvalues λn of cantilever beam with different tip mass and spring constraints

由前述推導(dǎo)可知，端部帶質(zhì)量和彈簧約束懸臂梁的橫向彎曲振型φn為[1]

(10)

式中：Sn=-An/Bn；λn為表1中對(duì)應(yīng)不同附加質(zhì)量和彈簧剛度的懸臂梁彎曲振動(dòng)特征值。

由梁懸臂端無附加彈簧和質(zhì)量時(shí)的前四階振型(見圖2(a))可見，懸臂端在一階和三階、二階和四階的振型值分別為1、-1。由梁懸臂端帶中等附加彈簧和中等質(zhì)量時(shí)的前四階振型(見圖2(b))

可見，與圖2(a)相比，此時(shí)懸臂梁的一階振型變化不大，二階以上振型值隨著彈簧剛度和質(zhì)量的增大向零趨近。即增加端部約束后，約束點(diǎn)振型值的絕對(duì)值減小，中間位置的振型值變化較小。

圖2 懸臂梁的振型Fig.2 Vibration types of cantilever beam

2 端部帶質(zhì)量和彈簧約束懸臂梁的廣義質(zhì)量

由于梁的截面彎矩與振型曲率成比例，因此無量綱振型曲率φn與彎矩分布相關(guān)，其表達(dá)式可寫為[1]

(11)

不同參數(shù)懸臂梁的振型曲率差別不大。由于附加質(zhì)量和彈簧僅提供線位移約束，沒有角位移約束，因此其對(duì)振型斜率和振型曲率的影響較小。

對(duì)于圖1中的懸臂梁而言，其廣義力是分布力的振型加權(quán)積分，是與外激勵(lì)相關(guān)的非模態(tài)參數(shù)；其廣義質(zhì)量是質(zhì)量分布的振型平方加權(quán)積分，是與系統(tǒng)相關(guān)、與外激勵(lì)無關(guān)的模態(tài)參數(shù)。由于懸臂梁的廣義質(zhì)量解析計(jì)算比較繁雜，因此目前其振動(dòng)響應(yīng)沒有解析解[1]，更沒有帶質(zhì)量和彈簧約束懸臂梁的振動(dòng)響應(yīng)解析解。

為了獲得帶約束懸臂梁廣義質(zhì)量的解析解，本文參照Timoshenko等[1]對(duì)于懸臂梁廣義質(zhì)量和廣義剛度的定義，可得如圖1所示懸臂梁各階振型函數(shù)的廣義質(zhì)量mn為

(12)

廣義剛度kn為

(13)

(14)

(15)

式中：解析積分項(xiàng)Nn為

2Sn(cosh(2λn)-cos(2λn))]

(16)

由此結(jié)果也可獲得廣義剛度kn的解析解為

(17)

式(14)～式(17)化簡了雙曲函數(shù)二次項(xiàng)解析積分問題，獲得了簡潔的廣義質(zhì)量和廣義剛度的解析積分結(jié)果。但是本文提出的特征變換方法需要利用特征方程，僅限于特征值問題分析，不具備普適性，除非其控制方程與特征值問題類似。

在特征根已知的條件下，通過式(12)可以得到無量綱廣義質(zhì)量mn/m的數(shù)值積分結(jié)果，通過式(15)可以得到無量綱廣義質(zhì)量的解析積分結(jié)果。為了驗(yàn)證式(15)所獲得廣義質(zhì)量解析解的正確性，將上述數(shù)值法和解析法得到的結(jié)果列于表2。在表2的6種狀態(tài)中，采用這2種方法分別獲得的廣義質(zhì)量，除第一階因特征值的舍入誤差和數(shù)值積分的計(jì)算誤差而在萬分位有微小差別外，其余三階完全相同。由此證明了式(15)廣義質(zhì)量推導(dǎo)結(jié)果的正確性。對(duì)應(yīng)于本文定義的振型，表2中無約束懸臂梁的各階無量綱廣義質(zhì)量均為0.250 0，不同附加質(zhì)量和彈簧剛度對(duì)三階以上廣義質(zhì)量的影響小于2%，對(duì)二階廣義質(zhì)量的影響小于9%。隨著附加質(zhì)量和彈簧剛度的增大，一階廣義質(zhì)量均不同程度的增大。因此，可以只考慮附加質(zhì)量和彈簧剛度對(duì)一、二階廣義質(zhì)量的影響。

端部帶約束懸臂梁廣義質(zhì)量和剛度解析計(jì)算問題的解決，為其振動(dòng)響應(yīng)的解析分析奠定了基礎(chǔ)，是對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)理論的豐富和發(fā)展，所提出的特征變換方法也為振動(dòng)響應(yīng)問題的分析提供了一種新途徑。

表2 端部帶不同質(zhì)量和彈簧約束懸臂梁無量綱廣義質(zhì)量的解析解和數(shù)值解Table 2 Analytical and numerical solutions of dimensionless generalized mass for cantilever beam with different tip mass and spring constraints

注：表格中“/”前數(shù)據(jù)為解析解，“/”后數(shù)據(jù)為數(shù)值解，無“/”欄中的解析解與數(shù)值解相同。

3 均布力作用下端部帶質(zhì)量和彈簧約束懸臂梁的振動(dòng)響應(yīng)

懸臂梁在均勻分布的橫向穩(wěn)態(tài)激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫位移響應(yīng)，可以采用振型疊加原理進(jìn)行研究。設(shè)端部帶質(zhì)量和彈簧約束懸臂梁強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的橫向位移w(x,t)為[1]

(18)

沿懸臂梁上均勻分布的穩(wěn)態(tài)激勵(lì)力為psin(ωt)=(Q/L)sin(ωt)，Q為均布力p的合力，則相應(yīng)的廣義力Fn可寫為

(19)

式中：δn=[sinhλn-sinλn+Sn(2-coshλn-cosλn)]/(2λn)為均布力對(duì)應(yīng)的廣義力函數(shù)。

各階振型所對(duì)應(yīng)的平衡方程為[1]

(20)

去掉式(20)中的公共因子sin(ωt)，并代入式(17)，可以得到均布力作用下各階振型的廣義位移幅值Yn為

(21)

將式(21)代入式(18)，可得對(duì)應(yīng)的強(qiáng)迫位移響應(yīng)為

(22)

式(22)為本文的核心研究結(jié)果，給出了均布穩(wěn)態(tài)激勵(lì)力作用下端部帶質(zhì)量和彈簧約束懸臂梁的強(qiáng)迫位移響應(yīng)。

利用φn(λnx/L)|x=0=1，懸臂端的根部彎矩Mb可以通過對(duì)位移兩次微分得到

(23)

端部無約束懸臂梁的靜態(tài)根部彎矩為QL/2，考慮模態(tài)阻尼比ξ的根部彎矩放大系數(shù)βξ可寫為

(24)

與端部無約束懸臂梁的端部靜態(tài)位移響應(yīng)Q/(8k)對(duì)應(yīng)的位移放大系數(shù)βw為

(25)

當(dāng)η→∞，ζ→∞時(shí)，ωn0=(λn0/L)2a，式(22)、式(24)退化為無約束懸臂梁的振動(dòng)位移響應(yīng)和根部彎矩放大系數(shù)：

(26)

(27)

為了與Timoshenko等[1]得到的端部作用集中力Qsin(ωt)的響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，利用集中力的廣義力為

(28)

由式(15)和表2可知，Nn0/λn0=0.5，φn(λn0)=(-1)n+1，懸臂梁端部的位移響應(yīng)為

(29)

此結(jié)果與Timoshenko等[1]的解答一致，證明了推導(dǎo)結(jié)果是正確的。

4 懸臂梁端部位移和根部彎矩放大系數(shù)與減載效果

從圖3(a)可知，與無約束的懸臂梁相比，不論附加質(zhì)量大小和彈簧軟硬，帶質(zhì)量和彈簧約束懸臂梁的動(dòng)態(tài)根部彎矩一階響應(yīng)的諧振峰均降低。附加彈簧較硬時(shí)，低頻段的載荷衰減效應(yīng)較強(qiáng)，彈簧較軟時(shí)，低頻段的衰減效應(yīng)較弱。衰減效果與附加彈簧剛度的相關(guān)性較強(qiáng)，與附加質(zhì)量的相關(guān)性較弱。帶附加質(zhì)量和彈簧懸臂梁二、四階的諧振峰高于無約束懸臂梁，有載荷放大效應(yīng)；三階的諧振峰低于無約束懸臂梁，也低于其各自的二、四階諧振峰。在增加約束后，懸臂梁一階的減載效果比較明顯，對(duì)于附加中等以上彈簧的減載效果在5倍以上；二階以上的減載效果不大。懸臂梁在各種約束情況下的根部彎矩放大系數(shù)曲線在一階頻率區(qū)域差別比較明顯，從二階頻率開始逐漸靠攏，三階以上基本一致。即不同附加質(zhì)量和彈簧剛度對(duì)懸臂梁的低頻段影響較大，對(duì)高頻段的影響趨于一致。由此分析結(jié)果可知，減載結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，只要控制等效彈簧在中等硬度(彈簧剛度大于懸臂梁等效剛度的10倍)以上，就能獲得5倍以上的減載效果。即減載結(jié)構(gòu)質(zhì)量的影響低于彈簧剛度的影響，因此在進(jìn)行相關(guān)設(shè)計(jì)時(shí)可以放寬對(duì)質(zhì)量的要求。

圖3 不同約束懸臂梁的根部彎矩和端部位移放大系數(shù)Fig.3 Amplification factors of root bending moments and tip displacements for cantilever beam with different constraints

從圖3(b)可以看出，帶不同質(zhì)量和彈簧懸臂梁的靜態(tài)和一階端部動(dòng)態(tài)位移的變化特征與其各自的根部彎矩相似，根部彎矩和端部位移只受附加彈簧剛度的影響。在二階以上頻率時(shí)，端部位移與根部彎矩的變化特征有明顯差別：帶不同附加質(zhì)量和彈簧懸臂梁各階次的位移諧振峰均低于無約束懸臂梁，并且其三、四階諧振峰衰減更大；隨著階次增大，帶不同附加質(zhì)量和彈簧約束懸臂梁的諧振峰一直降低；在二階以上高頻衰減中，附加質(zhì)量的影響占主導(dǎo)，附加彈簧剛度的影響可以忽略不計(jì)。由此特征可知，減載荷與減位移響應(yīng)設(shè)計(jì)的異同之處在于：低頻衰減都是采用附加彈簧約束的方法，并且2種動(dòng)態(tài)響應(yīng)參數(shù)的衰減率相近；但對(duì)于二階以上的頻段，隨著附加質(zhì)量的增大，動(dòng)態(tài)位移諧振峰顯著降低，而根部彎矩的諧振峰基本不變。即附加質(zhì)量只能降低高頻位移，不能降低高頻彎矩載荷。

圖4 不同約束時(shí)火箭模型和等直梁的根部彎矩放大系數(shù)Fig.4 Root bending moment amplification factors of rocket model and constant section beam with different constraints

5 懸臂梁各響應(yīng)參數(shù)的放大系數(shù)

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圖5(a)、(b)分別給出了無約束懸臂梁、帶中等彈簧和質(zhì)量約束懸臂梁的端部加速度放大系數(shù)βa、端部速度放大系數(shù)βv、端部位移放大系數(shù)βw和根部彎矩放大系數(shù)βξ的計(jì)算結(jié)果。可以看出，βa、βv和βw曲線的變化規(guī)律有不同之處：端部加速度放大系數(shù)βa的諧振峰變化相對(duì)平緩，端部位移放大系數(shù)βw的諧振峰下降較快，端部速度放大系數(shù)βv諧振峰的變化介于兩者之間。這3條曲線從一階頻率之前的交點(diǎn)后的間距逐漸增大。根部彎矩放大系數(shù)βξ的變化規(guī)律比較復(fù)雜，其曲線形狀與βv、βa和βw3種曲線形狀的差別較大，一、三階反共振谷的差別最大；βξ的曲線在一階頻率范圍內(nèi)與βv的曲線接近；在二階頻率以后，對(duì)于懸臂梁狀態(tài)，βξ的諧振峰低于且接近于βv，對(duì)于帶中等質(zhì)量和彈簧約束的懸臂梁，βξ的諧振峰低于且接近于βa。因此，根部彎矩高頻分量的衰減程度介于加速度和速度之間，低于位移的衰減程度。結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn)可知，高頻位移響應(yīng)遠(yuǎn)小于低頻位移響應(yīng)，高頻加速度與低頻加速度在同一量級(jí)。在載荷分析中，只考慮一階載荷通常是不夠的，不能忽略高頻載荷，并且需要通過分析與比較來確定所關(guān)注高頻載荷的階次。載荷響應(yīng)分析階次應(yīng)介于速度和加速度的分析階次之間，高于位移的分析階次。但對(duì)于減載結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，由于一階廣義力遠(yuǎn)大于高階廣義力，因此主要關(guān)注靜態(tài)和一階根部彎矩。

圖5 懸臂梁的4種振動(dòng)響應(yīng)放大系數(shù)Fig.5 Four amplification factors of vibration response for cantilever beam

6 結(jié)論與討論

1) 獲取梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)解析解的關(guān)鍵——特征變換方法

① 對(duì)于端部帶彈簧和質(zhì)量約束懸臂梁的振動(dòng)響應(yīng)而言，不論邊界條件和特征方程復(fù)雜與否，其各階特征值的解總可以采用數(shù)值方法獲得。

② 振動(dòng)響應(yīng)解析解獲得的基礎(chǔ)是廣義力和廣義質(zhì)量的解析積分結(jié)果。其中，分布力的廣義力僅是雙曲函數(shù)和三角函數(shù)一次項(xiàng)的積分，其解析積分計(jì)算并不困難；廣義質(zhì)量的解析積分是雙曲函數(shù)和三角函數(shù)二次項(xiàng)的積分，計(jì)算比較繁雜。

③ 本文提出的特征變換方法，簡化了推導(dǎo)過程，得到了廣義質(zhì)量的解析結(jié)果，為火箭減載結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)與減載設(shè)計(jì)分析問題奠定了理論基礎(chǔ)。

2) 彈簧約束是影響火箭減載效果的主要因素

① 從帶約束懸臂梁的振動(dòng)響應(yīng)分析結(jié)果來看，減載效果主要在一階，二、四階載荷響應(yīng)有放大現(xiàn)象。

② 附加彈簧的剛度對(duì)靜態(tài)和一階載荷響應(yīng)有明顯影響，超過懸臂梁剛度10倍后減載效果超過5倍。

③ 附加質(zhì)量的減載效果較小，減載設(shè)計(jì)時(shí)可以放寬對(duì)附加質(zhì)量的限制。

④ 從不同振動(dòng)響應(yīng)參數(shù)的頻率特性來看，位移、速度和加速度的高頻衰減效應(yīng)依次降低，根部彎矩的高頻衰減特性介于速度和加速度之間，因此載荷響應(yīng)分析階次也應(yīng)介于速度和加速度的分析階次之間。

3) 等直梁在其他邊界條件和載荷形式下的振動(dòng)響應(yīng)解析解

① 采用本文獲得的均布力作用下帶不同約束懸臂梁動(dòng)響應(yīng)解析解方法，還可得到集中力、線性分布力作用時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)解析解，但得不到二次冪以上函數(shù)分布力作用時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)解析解。

② 對(duì)于端部有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角彈簧等角位移約束的懸臂梁，以及除懸臂梁之外的其他邊界條件等直梁，其振型和振型曲率函數(shù)表達(dá)式的形式均相同，僅在各項(xiàng)函數(shù)的系數(shù)上有區(qū)別，并且每種邊界約束類型下特征方程的數(shù)值解均可以獲得。

③ 當(dāng)端部約束為附加轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角彈簧時(shí)，廣義質(zhì)量和廣義剛度的定義需要調(diào)整，將端部振型改為振型斜率。即使端部約束為線、角位移四項(xiàng)約束的組合，導(dǎo)致特征方程進(jìn)一步復(fù)雜化，但也均可以利用本文的特征變換方法獲得廣義質(zhì)量和振動(dòng)響應(yīng)的解析解。