中考幾何探究性問題研究

2019-05-28 09:23:04江蘇省宜興市實驗中學

中學數學雜志 2019年8期

☉江蘇省宜興市實驗中學劉媚

中考數學中，幾何問題幾乎占據“半壁江山”.在幾何試題中，幾何探究性問題最引人注目，在中考中主要出現以下三類問題：圖形變換問題、動態幾何問題和類比探究問題.本文分別加以舉例說明，供大家參考.

一、圖形變換問題

圖形變換問題主要包括圖形的軸對稱、圖形的平移及圖形的旋轉.在涉及圖形變化的考題中，解決問題的方法較多，關鍵在于解決問題的著眼點，從恰當的著眼點出發，再根據圖形變換的特點發現變化的規律很重要.近幾年各地的中考試題中，有較多問題需要利用圖形變換進行思考和求解.這類問題能更好地綜合考查考生的思維品質，并具有很好的選拔與區分功能，是一個炙手可熱的中考數學命題熱點.

例1（1）如圖1，在直角三角形ABC中，∠ABC是直角，先繞著點B將△ABC逆時針旋轉90°后，得到△A1BC1；再繞著點C將△ABC順時針旋轉90°后，得到△A2B1C.最后連接C1B1，那么C1B1與BC的位置關系為______.

（2）如圖2，當△ABC的最大角為銳角，且∠ABC=α（α≠60°）時，把△ABC仿照（1）中的變換方法旋轉α，再連接C1B1，這時C1B1與BC具有怎樣的位置關系？請證明你的結論.

圖1

圖2

圖3

解析：（1）由旋轉的有關性質，可知∠C1BC=∠B1CB=90°，BC1=BC=B1C，于是可推出CB1∥BC1，進一步可推知四邊形BCB1C1是平行四邊形，再由平行四邊形的性質定理就可以推知所求的結論了.

（2）經過點C1作C1E∥B1C交BC于點E，由此得出∠C1EB與∠B1CB相等.根據旋轉的有關性質知BC1=BC=B1C，且∠C1BC與∠B1CB相等，于是∠C1BC=∠C1EB.因為等角對等邊，故C1B=C1E，進而C1E=B1C，于是四邊形C1ECB1是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質定理就可得到所求結論.

（3）設C1B1與BC之間的距離為h，根據已知條件就可得到相似比與面積比都等于底邊的比，這樣結論就容易得出了.

評析：本題考查旋轉變換.圖形變換是中考命題中的熱點問題，也是難點問題，尤其是旋轉變換.在具體問題的解答過程中，我們應恰當應用旋轉變換的性質，抓住圖形特征，開闊思路，化難為易.從本題可以看出，對于圖形的旋轉變換問題，我們不僅要學會借助推理，更要借助直覺和觀察，在分析問題時要變換視角，讓數學直覺更敏銳，觀察更入木三分.

二、動態幾何問題

動態幾何問題，是探究幾何圖形（如點、直線、三角形、四邊形）運動變化過程中與圖形相關的某些量（如角度、線段、周長、面積及相關的關系）的變化或其中存在的函數關系的一類開放性題目.解答這類問題的關鍵是“動中求靜”，并靈活運用有關數學知識加以解決.這類問題形式多樣，難度較大，在中考中往往以壓軸題的身份出現.

圖4

圖5

例2如圖4，矩形ABCD的邊AB上，有一個動點E從A出發，沿AB→BC方向移動，一旦點E與點C重合，馬上停止移動，過點E作FE⊥AE，交CD于F點，令點E移動路程的長度為x，FC=y，圖5所表示的是y與x的函數關系的大致圖像，當點E在BC上移動時，FC的最大長度是，那么矩形ABCD的面積是（）.

解析：點E在BC上時，如圖6，由∠EFC與∠AEB互余，∠FEC與 ∠EFC互余，得∠CFE與∠AEB相等.

在△CFE和△BEA中，∠CFE=∠AEB，∠C=∠B=90°，所以△CFE △BEA.

圖6

評析：幾何與代數的綜合，體現了數形結合思想，歷來是中考命題熱點.本題不僅考查二次函數的圖像與性質，同時考查相似三角形的判定和性質及矩形面積的計算，試題體現了邏輯推理與數學運算的核心素養.

三、類比探究問題

類比是偉大的引路人.類比思想是數學探究中經常用到的思想方法，類比探究，也成為中考命題的重要考點.在中考試題中，類比探究問題的知識跨越大，綜合性較強，命題立意高，題意新穎，構思精巧，追求考題深度和難度.解答這類問題，考生必須有扎實的基本功，以及善于思考、樂于鉆研的創新能力.應在平時加強綜合能力訓練，只有這樣，才能以不變應萬變，才能在中考中順利攻克這類問題.

例3（1）劉剛同學特別喜歡數學，尤其喜歡鉆研數學競賽題，下面這道題請你也不妨來做做看：

假如已知圓內接六邊形ABCDEF的六條邊長分別為3個3和3個5，那么該六邊形ABCDEF的面積你會求嗎？

劉剛同學采用“同圓中相等的弦所對的圓心角相等”，把六邊形進行分割重組，得到圖9.能求出六邊形ABCDEF的面積等于______.

（2）繼續類比探究：假如圓內接八邊形各邊長度分別為4個2和4個3.試求這個八邊形的面積.同學們，請你仿照劉剛同學的做法，求出這個八邊形的面積.